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标题 高考数学必做客观题——平面向量与解三角形
范文 汤小梅
1 平面向量的线性运算与平面向量的基本定理
（ ）必做1 设向量 =（3，1）， =（1，3），若 =λ +μ ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（ ）
A B
C D
精妙解法 法1（特取法）：取λ=1.5， μ=1.1，画出向量 ，则点C落在选项D的阴影内，故排除A、B、C，选D.
法2：设C（x，y），因为 =λ +μ ，所以x=3λ+μ，y=λ+3μ，解得λ= ，μ= .因为λ≥μ≥1，所以 ≥ ≥1，即3x-y-8≥0，x-3y+8≤0，x≥y，故选D.
极速突击 此类题以平行四边形为载体，考查平面向量的坐标表示、平面向量的基本定理的应用等基础知识，意在考查同学们的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.破解此类题的关键：一是熟悉平面向量的基本定理，以及平面向量的加、减法的法则，求和向量抓住“首尾相连”，求差向量盯住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”；二是掌握平面向量坐标运算的方法，并且在计算时要认真、细心；三是会用图，如解法一，通过特取与观察，提升了解题速度.
（ ）必做2 已知向量 =（3，-4）， =（6，-3）， =（2m，m+1）. 若 ∥ ，则实数m的值为（ ）
A. -3 B. -
C. - D.
精妙解法 = - =（3，1），因为 ∥ ，所以3（m+1）-2m=0，解得m=-3，故选A.
极速突击 本题考查平面向量共线的坐标表示、平面向量的加减法运算等基础知识，意在考查同学们的应用能力、运算求解能力. 破解此类题的关键：一是求出两共线向量的坐标；二是利用平面向量共线的坐标表示，寻找关于参数的方程；三是通过解方程即可求出参数的值.
误点警示 此类题易混淆的地方有两处：一是“向量平行”与“直线平行”，向量共线也称向量平行，向量平行则包括共线（重合）的情况，直线平行不包括共线（重合）的情况；二是向量的平行与垂直的坐标运算的判定条件，其突破的口诀是“平行交差，垂直相加”，即对于非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），a∥b 圳x1y2=x2y1；而a⊥b 圳x1x2+y1y2=0.
金刊提醒
平面向量的线性运算与平面向量的基本定理是历年高考的常考内容. 此类试题常以熟知的平面图形为背景进行考查，求解此类问题的得分秘籍：
一是在用平面向量的基本定理时应把握“向量几何意义”这一利器，一般先选择一组基底，再运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，最后通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.
二是有关向量共线求参数值的问题，常利用向量共线定理（向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使b=λa）得到关于参数的方程（组），通过待定系数这一桥梁，使得这类难题变得平凡、简单.
2 平面向量的数量积及其夹角
（ ）必做1 在△ABC中，BC=2，∠A=45°，∠B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则 · 的取值范围是（ ）
A. （-2，2 ]
B. （-2 ，2]
C. （-2 ，2 ]
D. [-2 ，2 ]
精妙解法 因为BC=2，∠A=45°，所以2R= 圯R= . 建立如图1所示的直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），O（0，1），求得圆O：x2+（y-1）2=2. 设A（x，y）（-1极速突击 本题的命制特点是单一考查平面向量数量积的概念，意在考查同学们的思维能力、数形结合能力、运算求解能力. 破解此类题的关键：一思“图形”，画出题意中的草图； 二懂“建系”，即建立直角坐标系，把所求的平面向量的数量积问题转化为用坐标来表示，从而把推理转化为运算；三会“应用”，应用平面向量的数量积的坐标公式，即可得到所求的数量积的取值范围.
误点警示 此类题的易错点有两处：一是将△ABC的外接圆的方程求错，导致结果出错；二是忽视题目条件的限制而致错，如本题由角B为锐角，可得-1（ ）必做2 已知向量a=（3，-4），向量b的模长为2，若a·b=-5，那么向量a与b的夹角为（ ）
A. B. C. D.
精妙解法 cos〈a，b〉= = =- ，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为 ，故选C.
极速突击 本题考查平面向量的夹角等基础知识，意在考查同学们的应用能力、运算求解能力. 破解此类题的关键：一会“转化”，即把所求的平面向量的夹角往可求模长的向量转化；二会用“公式”，即利用平面向量的数量积的定义，得到两个向量的夹角公式为cos〈a，b〉= ；三会求“夹角”，即利用两个向量的夹角〈a，b〉的取值范围为[0，π]，求出两个向量夹角的大小.
（ ）必做3 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则a-3b等于（ ）
A. 2 B. C. D. 3
精妙解法 a-3b2=a2-6a·b+9b2=a2-6abcos60°+9b2=1-3+9=7，所以a-3b= ，故选C.
极速突击 平面向量的模与平面向量的数量积之间存在着密切的关系，在解题中要善于利用这个关系.若条件中的平面向量是点坐标的形式，如向量a=（x，y），求向量a的模只需利用公式a= 即可破解；若平面向量不放在坐标系中研究，求解平面向量的模的关键是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：a= .
金刊提醒
平面向量的数量积与夹角在平面向量章节中扮演着举足轻重的角色，是历年高考命题的热点，求解此类问题的思路是将几何问题代数化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.其得分秘籍：
一是记清平面向量的数量积的两个公式：①a·b=abcos〈a，b〉；②a·b=x1x2+y1y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
二是选准平面向量的夹角公式：若已知条件中两个向量都是以坐标表示的，则一般考虑利用公式cos〈a，b〉= ，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）；若已知条件中两个向量的模长与夹角值都可求，一般用公式cos〈a，b〉= .
3 解三角形的基本量
（ ）必做1 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A=60°，若S△ABC= ，且5sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（ ）
A. 8+ B. 14
C. 10+3 D. 18
精妙解法 因S△ABC= bcsinA= bc× = ，所以bc=15.又因为5sinB=3sinC，根据正弦定理得5b=3c. 由bc=15，5b=3c，解得b=3，c=5. 又由余弦定理可得a= = ，所以△ABC的周长为a+b+c=8+ ，故选A.
极速突击 破解三角形的边长问题的关键：一是知“一边和两角”，常用正弦定理求其余的两边；二是知“两边和夹角”，常用余弦定理求第三边；注意角与边的对应.
（ ）必做2 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a2=b2+c2- bc，则∠C等于（ ）
A. B. C. D.
精妙解法 在△ABC中，因为a2=b2+c2- bc，所以cosA= = . 因为A∈（0，π），所以∠A= . 又因为c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinC（2sinB-1）=0. 因为sinC≠0，所以sinB= ，所以∠B= 或∠B= （舍），所以∠C=π- - = . 故选D.
极速突击 破解此类题的关键：首先，正确分析已知等式的边角关系，合理地设计“边”往“角”化，还是“角”往“边”化；其次，利用正弦定理、余弦定理等工具进行三角形中边角关系的互化；最后，利用三角公式、三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量.
误点警示 一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
金刊提醒
解三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等.求解此类题的得分秘籍：
一是掌握正弦定理的三种变式，①“边”化为“角”：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②“角”化为“边”：sinA= ，sinB= ，sinC= ；③“边角”互化：a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC.
二是掌握余弦定理的一个变形和一个延伸，①变形：cosA= ，cosB= ，cosC= ；②延伸：a2>b2+c2 圳A为钝角；a2=b2+c2 圳A为直角；a2b 圳sinA>sinB 圳A>B.
4 三角形的面积
（ ）必做1 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin2C+2cos2C+1=3，c= . 若2sinA=sinB，则△ABC的面积为________.
精妙解法 由已知 sin2C+2cos2C+1=3，所以 sin2C+cos2C+2=3，所以2sin2C+ +2=3，即sin2C+ = . 又因为0由①②解得a=1，b=2，所以△ABC的面积S△ABC= absinC= ×1×2× = ，故答案为 .
极速突击 破解三角形面积问题的关键：一会“化简”，即会利用倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行三角恒等变换；二会用“定理”，根据已知条件，灵活选用正弦定理与余弦定理进行边角互化；三会套用“公式”，会用任意三角形的面积公式求三角形的面积.
（ ）必做2 已知两点A（-4，0），B（0，3），若点P是圆x2+y2-2x=0上的动点，则△PAB的面积的最大值为_________.
精妙解法 设点P到直线AB的距离为h，则△PAB的面积S△PAB= ABh= h，因为圆x2+y2-2x=0的圆心M的坐标为（1，0），半径r=1，故圆心M到直线AB：3x-4y+12=0的距离为 =3，所以h≤3+r=4，所以S△PAB≤ ×4=10.
极速突击 本题的“闪光”之处是以圆上的动点为载体，将圆与求三角形的面积巧妙地结合起来. 破解此题的关键是将面积问题转化为点到直线的距离问题.
金刊提醒
求三角形的面积是高考的一棵“常青树”，求解此类题的得分秘籍：对三角形的五个面积公式记清用活，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，r为△ABC内切圆的半径，则①已知边a和这个边上的高ha，则S△= aha；②已知两边a，b和夹角C，则S△= absinC；③S△=2R2sinAsinBsinC；④S△= r（a+b+c）；⑤海伦公式：S△= ，其中p= （a+b+c）. 这五个公式中，最常用的是前两个公式.
金刊提醒
平面向量的数量积与夹角在平面向量章节中扮演着举足轻重的角色，是历年高考命题的热点，求解此类问题的思路是将几何问题代数化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.其得分秘籍：
一是记清平面向量的数量积的两个公式：①a·b=abcos〈a，b〉；②a·b=x1x2+y1y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
二是选准平面向量的夹角公式：若已知条件中两个向量都是以坐标表示的，则一般考虑利用公式cos〈a，b〉= ，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）；若已知条件中两个向量的模长与夹角值都可求，一般用公式cos〈a，b〉= .
3 解三角形的基本量
（ ）必做1 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A=60°，若S△ABC= ，且5sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（ ）
A. 8+ B. 14
C. 10+3 D. 18
精妙解法 因S△ABC= bcsinA= bc× = ，所以bc=15.又因为5sinB=3sinC，根据正弦定理得5b=3c. 由bc=15，5b=3c，解得b=3，c=5. 又由余弦定理可得a= = ，所以△ABC的周长为a+b+c=8+ ，故选A.
极速突击 破解三角形的边长问题的关键：一是知“一边和两角”，常用正弦定理求其余的两边；二是知“两边和夹角”，常用余弦定理求第三边；注意角与边的对应.
（ ）必做2 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a2=b2+c2- bc，则∠C等于（ ）
A. B. C. D.
精妙解法 在△ABC中，因为a2=b2+c2- bc，所以cosA= = . 因为A∈（0，π），所以∠A= . 又因为c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinC（2sinB-1）=0. 因为sinC≠0，所以sinB= ，所以∠B= 或∠B= （舍），所以∠C=π- - = . 故选D.
极速突击 破解此类题的关键：首先，正确分析已知等式的边角关系，合理地设计“边”往“角”化，还是“角”往“边”化；其次，利用正弦定理、余弦定理等工具进行三角形中边角关系的互化；最后，利用三角公式、三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量.
误点警示 一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
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解三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等.求解此类题的得分秘籍：
一是掌握正弦定理的三种变式，①“边”化为“角”：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②“角”化为“边”：sinA= ，sinB= ，sinC= ；③“边角”互化：a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC.
二是掌握余弦定理的一个变形和一个延伸，①变形：cosA= ，cosB= ，cosC= ；②延伸：a2>b2+c2 圳A为钝角；a2=b2+c2 圳A为直角；a2b 圳sinA>sinB 圳A>B.
4 三角形的面积
（ ）必做1 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin2C+2cos2C+1=3，c= . 若2sinA=sinB，则△ABC的面积为________.
精妙解法 由已知 sin2C+2cos2C+1=3，所以 sin2C+cos2C+2=3，所以2sin2C+ +2=3，即sin2C+ = . 又因为0由①②解得a=1，b=2，所以△ABC的面积S△ABC= absinC= ×1×2× = ，故答案为 .
极速突击 破解三角形面积问题的关键：一会“化简”，即会利用倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行三角恒等变换；二会用“定理”，根据已知条件，灵活选用正弦定理与余弦定理进行边角互化；三会套用“公式”，会用任意三角形的面积公式求三角形的面积.
（ ）必做2 已知两点A（-4，0），B（0，3），若点P是圆x2+y2-2x=0上的动点，则△PAB的面积的最大值为_________.
精妙解法 设点P到直线AB的距离为h，则△PAB的面积S△PAB= ABh= h，因为圆x2+y2-2x=0的圆心M的坐标为（1，0），半径r=1，故圆心M到直线AB：3x-4y+12=0的距离为 =3，所以h≤3+r=4，所以S△PAB≤ ×4=10.
极速突击 本题的“闪光”之处是以圆上的动点为载体，将圆与求三角形的面积巧妙地结合起来. 破解此题的关键是将面积问题转化为点到直线的距离问题.
金刊提醒
求三角形的面积是高考的一棵“常青树”，求解此类题的得分秘籍：对三角形的五个面积公式记清用活，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，r为△ABC内切圆的半径，则①已知边a和这个边上的高ha，则S△= aha；②已知两边a，b和夹角C，则S△= absinC；③S△=2R2sinAsinBsinC；④S△= r（a+b+c）；⑤海伦公式：S△= ，其中p= （a+b+c）. 这五个公式中，最常用的是前两个公式.
金刊提醒
平面向量的数量积与夹角在平面向量章节中扮演着举足轻重的角色，是历年高考命题的热点，求解此类问题的思路是将几何问题代数化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.其得分秘籍：
一是记清平面向量的数量积的两个公式：①a·b=abcos〈a，b〉；②a·b=x1x2+y1y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
二是选准平面向量的夹角公式：若已知条件中两个向量都是以坐标表示的，则一般考虑利用公式cos〈a，b〉= ，其中a=（x1，y1），b=（x2，y2）；若已知条件中两个向量的模长与夹角值都可求，一般用公式cos〈a，b〉= .
3 解三角形的基本量
（ ）必做1 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A=60°，若S△ABC= ，且5sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（ ）
A. 8+ B. 14
C. 10+3 D. 18
精妙解法 因S△ABC= bcsinA= bc× = ，所以bc=15.又因为5sinB=3sinC，根据正弦定理得5b=3c. 由bc=15，5b=3c，解得b=3，c=5. 又由余弦定理可得a= = ，所以△ABC的周长为a+b+c=8+ ，故选A.
极速突击 破解三角形的边长问题的关键：一是知“一边和两角”，常用正弦定理求其余的两边；二是知“两边和夹角”，常用余弦定理求第三边；注意角与边的对应.
（ ）必做2 在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a2=b2+c2- bc，则∠C等于（ ）
A. B. C. D.
精妙解法 在△ABC中，因为a2=b2+c2- bc，所以cosA= = . 因为A∈（0，π），所以∠A= . 又因为c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinC（2sinB-1）=0. 因为sinC≠0，所以sinB= ，所以∠B= 或∠B= （舍），所以∠C=π- - = . 故选D.
极速突击 破解此类题的关键：首先，正确分析已知等式的边角关系，合理地设计“边”往“角”化，还是“角”往“边”化；其次，利用正弦定理、余弦定理等工具进行三角形中边角关系的互化；最后，利用三角公式、三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量.
误点警示 一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
金刊提醒
解三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等.求解此类题的得分秘籍：
一是掌握正弦定理的三种变式，①“边”化为“角”：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②“角”化为“边”：sinA= ，sinB= ，sinC= ；③“边角”互化：a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC.
二是掌握余弦定理的一个变形和一个延伸，①变形：cosA= ，cosB= ，cosC= ；②延伸：a2>b2+c2 圳A为钝角；a2=b2+c2 圳A为直角；a2b 圳sinA>sinB 圳A>B.
4 三角形的面积
（ ）必做1 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin2C+2cos2C+1=3，c= . 若2sinA=sinB，则△ABC的面积为________.
精妙解法 由已知 sin2C+2cos2C+1=3，所以 sin2C+cos2C+2=3，所以2sin2C+ +2=3，即sin2C+ = . 又因为0由①②解得a=1，b=2，所以△ABC的面积S△ABC= absinC= ×1×2× = ，故答案为 .
极速突击 破解三角形面积问题的关键：一会“化简”，即会利用倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行三角恒等变换；二会用“定理”，根据已知条件，灵活选用正弦定理与余弦定理进行边角互化；三会套用“公式”，会用任意三角形的面积公式求三角形的面积.
（ ）必做2 已知两点A（-4，0），B（0，3），若点P是圆x2+y2-2x=0上的动点，则△PAB的面积的最大值为_________.
精妙解法 设点P到直线AB的距离为h，则△PAB的面积S△PAB= ABh= h，因为圆x2+y2-2x=0的圆心M的坐标为（1，0），半径r=1，故圆心M到直线AB：3x-4y+12=0的距离为 =3，所以h≤3+r=4，所以S△PAB≤ ×4=10.
极速突击 本题的“闪光”之处是以圆上的动点为载体，将圆与求三角形的面积巧妙地结合起来. 破解此题的关键是将面积问题转化为点到直线的距离问题.
金刊提醒
求三角形的面积是高考的一棵“常青树”，求解此类题的得分秘籍：对三角形的五个面积公式记清用活，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，r为△ABC内切圆的半径，则①已知边a和这个边上的高ha，则S△= aha；②已知两边a，b和夹角C，则S△= absinC；③S△=2R2sinAsinBsinC；④S△= r（a+b+c）；⑤海伦公式：S△= ，其中p= （a+b+c）. 这五个公式中，最常用的是前两个公式.
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更新时间：2025/2/5 22:52:02