| 标题 | 设元建模型，方程解应用 |
| 范文 | 李保民 [摘 要] 以一元二次方程为基础的应用题成为近年来中考的热门题型，对于该类题，要紧密结合模型思想，通过设元的方式建立模型，通过方程来解决问题. 本文结合实例，简要讲解了该类题的解题思路，并开展了相应的教学思考. [关键词] 一元二次方程；应用题； 模型；思维；素养 一元二次方程应用题在初中代数中有着极其重要的地位，不仅是对“数学来源于生活”理念的充分体现，还可以有效考查学生模型思想的掌握情况，因而近几年的中考题中涌现出一批设计精妙、紧密联系生活的该类型的应用题. 真题呈现，试题点评 1. 真题呈现 （2016年广西贺州中考卷第24题）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元. （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由. 2. 试题解析 分析 （1）求增长率问题可先设元，通常情况增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设增长率为x，则2015年要投入的经费为2900（1+x）万元，在2015年经费的基础上再增长x就是2016年教育经费的投入数额，从而可以列出方程. （2）利用（1）中所求得的增长率来计算2018年该地区的经费投入量，比较后即可求得答案. 解答 （1）假设增长率为x，由题意可得2015年投入经费为2900（1+x）万元，2016年投入经费为2900（1+x）2，则可列出方程2900（1+x）2=3509，解得x=0.1=10%或者x=-2.1（不符合题意，舍去），因此这两年投入的教育经费的年平均增长率为10%. （2）利用（1）问中的增长率，则2018年该地区投入的教育经费為3509（1+10%）2=4245.89（万元），4245.89<4250，因而按照（1）中的经费的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元. 3. 试题点评 本题目为关于一元二次方程的应用题，主要考查学生根据实际情况建立数学模型、利用解方程的技巧解决实际问题的能力. 上述解题过程紧扣“增长率”的相关概念，通过设元的方式，建立了衡量该概念的数学模型，然后利用方程思想来求解问题，实现了抽象问题的具体、形象化，思路清晰，求解简洁. 模型思想是解决一元二次方程应用题的核心思想，设元法是打开问题突破口的关键，合理利用解方程的方法技巧可实现求解过程的简单化，同时该解题思路可推广到同类型的应用题. 试题衔接，思路剖析 模型思想和方程思想是解决一元二次方程应用题的重要的思想方法，同时配合使用相应的解方程技巧可以简化求解过程，具体思路为：基于模型思想，把握问题的等量关系，通过设元的方式建立解题方程，然后利用相应技巧来求解，例如根的判别式、参数变量求最值等方法. 试题1 （2015年四川广元中考卷第22题） 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由. 分析 （1）两正方形的面积之和已经固定，可采用设元的方式求解，设剪成的较短的一段为x cm，较长的一段为（40-x） cm，根据上述两段长度即可表示两个正方形的面积之和，从而建立方程求解. （2）假设剪成的较短的一段长为m cm，较长的一段为（40-m）cm，就可以表示该两个正方形的面积，建立方程，如果方程有解则说明李明的说法是错误的，否则为正确. 解答 （1）设剪成的较短的一段为x cm，较长的一段为（40-x）cm，根据题意建立方程得：=28；当x=12时，较长的一段为28 cm；当x=28时，较长的一段为40-28<28（舍去），则李明应该把铁丝分别剪成12 cm和28 cm两段. （2）设剪成的较短的一段为m cm，较长的一段为（40-m） cm，根据题意列方程可得2=48，可化简为m2-40m+416=0，因为Δ=（40）2-4×416= -64<0，则原方程无实数根，因此李明的说法是正确的，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2. 试题2 （2016年四川内江中考卷第27题）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由周长为30米的篱笆围成. 已知墙长为18米（如图1所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米. （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x. （2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由. （3）略. 分析 （1）已知园圃面积和篱笆总长，则可用含有x的参数表示另一边的长，利用面积公式即可建立方程. （2）求园圃的最值首先需要求园圃一边的取值范围，即不小于8米，且不大于18米，在此范围内来求园圃的最值即可. 解答 （1）苗圃园与墙平行的一边为（30-2x）米，根据题意列方程，可得x（30-2x）=72，即x2-15x+36=0，即x=3，x=12. （2）依题意可知8≤30-2x≤18，解得6≤x≤11，该苗圃园的面积为S=x（30-2x）=-2x-2+（6≤x≤11）. 当x=时，S有最大值，且S；当x=11时，S有最小值，且S=88. 上述两道题均为一元二次方程应用题，解题过程都渗透了模型思想和方程思想，试题1要求用特定长度的铁丝来合围相应面积的正方形，解题时从中抽象出相应的数学模型，然后利用解方程的方式，运用根的判别式来解决问题；试题2则是对试题1的深度变式，即用篱笆靠一边墙来围园圃，解题过程同样是采用建模的方式来研究边长对面积的影响，同时结合了函数的求最值方法的来求解. 解后反思，教学思考 1. 变式习题，思维提升 无论是增长率问题，还是围面积问题都是对课本习题的深度变式，与题源相比只是增加了数量关系的复杂性，本质没有改变，但这正是中考题型的特点，从习题中演变，注重对学生深层思维的考查. 因此在实际教学中要引导学生关注课本习题，深入挖掘习题的本质特性，结合相应的基础知识适当开展拓展变式，引导学生进行问题的多维度思考，学习体会问题各环節的分析思路，从而促进学生思维水平的发展、解题能力的提升. 2. 体验建模，素养提升 上述问题的解决离不开数学模型思想的应用，解法过程在很大程度上可以理解为是对数学模型抽象、建立和分析的过程，建模思想是解决一元二次方程应用题的最核心的思想方法. 因此在教学中教师要结合实例使学生深刻体会该类题的解题过程，通过细致分析，思路讲解的方式使学生体会建模思想的重要性，例如可以引导学生学习合理设元，等量关系提取、代数方程建立，方程求解等建模过程来理解模型思想，通过主动参与实践活动的方式来发展学生的建模素养. 3. 体会应用，表述提升 数学的思想方法以及解题技巧的学习都是以“学以致用”为出发点的，尤其是一元二次方程的应用题，都充分体现了数学的应用性，教材中的习题也充分挖掘了生活中的数学知识，是对生活材料的数学化. 在教学中教师要引导学生还原数学知识的生活背景，学习使用数学语言表述实际问题的能力，感受生活中的数学，体会数学的应用价值，培养学生学习使用数学的眼光衡量实际问题， 调动学生学习的积极性，增强探知欲. 总结提高 一元二次方程应用题大多是对生活实际问题的抽象，解题的思路也应该是立足建模思想，通过建立方程的方式来实现问题的数学化、具体化、简洁化，利用数学模型的便利性来解决问题. 在课堂教学中要把握习题本质，通过习题变式的方式促进学生思维的深度提升；体验应用题的分析过程，学习建模方法，发展学生的建模素养；挖掘生活中的数学问题，学习数学语言的表述方法，提升应用能力. |
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