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标题	用放缩法证明“数列型不等式”的实施策略
范文	鲁智锋 摘 要：放缩法证明数列不等式是高考数学的难点. 由于其灵活多变，让许多学生觉得没有规律、无从着手. 为突破这个难点，我们可以在思维策略上加以点拨，提升其能力. 要能明确放缩目标，放缩成“等比型”与“裂项相消型”，放缩法的难点在于减小放缩的误差，可以采用延后放缩，但如果前面留下的项过多，计算量就会大. 缩小误差的另一种方法是构造变量，目标驱动，引入参数，用待定系数处理. 有些“数列型不等式”需通过对目标进行分析，采用构造函数、比较法等方法处理，在思维上降低了难度. 这些都是放缩法处理“数列型不等式”常见策略. 关键词：数列型不等式；放缩法；策略 证明数列型不等式最重要的方法为放缩法. 放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，对照着目标进行合情合理的放缩. 但放缩程度很难把握，裂项技巧性又太强，常常因找不到放缩、裂项的途径而导致证明的失败. 如何找到放缩、裂项的一般途径呢？放缩过程中最难处理的是减小放缩的误差，这又如何处理呢？ 对通项进行化简，先求和再放缩 例1 已知数列an=，设数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<. 分析：对于这道题，思考的问题是先放缩还是先求和，看看条件中{an}的通项公式，分母中有递推式：n2，（n+2）2，那么，就可以改写成“递推相减”的形式，所以，此题应采用先求和后放缩. 这里的变量r、i与q称为控制变量，作为误差调整的手段，还要兼顾从第几项开始实施放缩. 对于前三种的处理方法，显然第三种处理方法要烦一点，从前面的分析中，我们要学会如果来选择变量控制误差，以及变量取什么值. 从目标入手，目标驱动想法，这种分析问题的意识很重要. 想法二：放缩成“裂项相消型”，如何恰到好处地放缩成“裂项相消型”，思维着力点：把原式放缩成一个具有递推关系的结构，通常是将分式结构中的分母放缩成递推式，然后裂成“递推相减”的形式. 在问题研究的过程中，放缩的方向就是朝着“可求和”数列进行放缩，在“裂项相消型”的放缩中，问题的关键是将分母朝着“递推式”进行放缩. 在控制误差方面，一方面可以考虑延后放缩，另一方面可以考虑待定系数引入参数控制误差，而引入参数的方法不唯一，所以此类问题处理也比较灵活. 构造递推不等式（等差型，等比型） 我们前面研究的“数列和”不等式的题型，条件中的通项都是给出的. 如果条件给出的是递推公式，研究“数列和”不等式，那么我们首先要考虑的是，能否将数列的通项公式求出，如果通项公式求不出，那么我们常见的想法就是从目标入手，对题目中的目标进行研究，将递推公式朝着等差数列进行放缩，或者朝着等比数列进行放缩，总之，也是朝着“可求和”的数列进行放缩. 如果是朝着等差数列进行放缩，通过对目标的研究，得到放缩的公差是多少，假设公差为d，也就是说，我们放缩成类似于：an+1≥an+d形式，那么，由递推关系，便得到：an≥a1+（n-1）d，且Sn≥na1+d. 如果是朝着等比数列进行放缩，也是通过对目标的研究，得到放缩的公比是多少，假设公比为q（q>0），也就是说，将递推公式放缩成类似于：an+1≥an·q形式，那么，同样由递推关系，我们便得到：an≥a1·qn-1，且Sn≥（1-qn）. 下面举例说明. 从上述例题，看出递推放缩的数列与不等式的综合题，解决的关键在于放缩，放缩是一种不等变形，没有目标的指向，很难有效放缩，如果我们将其放缩成等差数列、等比数列，再从目标研究，放缩的公差、公比是多少，那么放缩的指向性明显加强，从而降低了此类问题的解决难度. 此外，根据对目标的分析，确定放缩的目标，可以利用比较法（作差或作商）来解决，在思维上也降低了难度. 本文对数列与不等式的综合题的处理方法作了分析与研究，数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其他多种数学思想方法. 处理数列型不等式最重要的方法就是放缩法. 放缩过程中，我们需要考虑是先求和还是先放缩，如果通项能求和，这样问题还是容易处理，如果通项不能求和，就需要先放缩再求和，朝着“可求和”的数列进行放缩，常见的是朝“等比型”和“裂项相消型”进行放缩，在放缩过程中经常会出现放缩过大，那么需要减少误差，在两种减小误差的方法中，相对而言引入恰当参数控制误差方便一些. 当然，我们也可以根据数列的特征，构造函数，利用函数的单调性等方法进行放缩. 对于条件给出的是递推公式的数列不等式，我们应该朝着等差数列或等比数列进行放缩，但如果我们能对目标进行恰当的分析，找到需要放缩的目标，直接采用比较法将问题解决，相当方便一些. 只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口.
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