标题 | 到底是“科学性错误”还是“基于学情” |
范文 | 万姝玮++蒋亦![]() ![]() ![]() [摘 要] 一切学习在本质上都是自我学习,教学要基于学生. 数学家加德纳说:“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和数学问题. ”教师通过恰当地设问和追问与学生对话,并通过对话暴露学生的思维过程,然后生成的东西才是学生真正所拥有的、长久的知识. [关键词] 函数的奇偶性;教学设计 最近上了一堂赛课,课题是《函数的奇偶性》(教材:苏教版必修1第41至43页),下午4:00以后公布课题,次日上午上课. 时间很短,紧张思考,仓促准备,上完课,感觉无论是学生还是听课的教师和评委都被吸引住了,应该不差. 可没想到的是得到的评价却是“毁誉参半”!有人认为这是一堂精彩的课,也有人认为这堂课犯了“科学性错误”. 这让笔者思考良久…… [?] 回顾 1. 教学实录 日常生活中,可以观察到许多对称现象:美丽的蝴蝶,泰姬陵和她在水中的倒影,徽章和风车……(PPT演示) 图1 教师:这些对称可以分为两类,大家可以说说是哪两类吗? 学生:关于直线对称和关于点中心对称. 问题1:在已经学过的函数中,也有一些函数的图像是对称的,大家能否举出一些例子? 学生:f(x)=x2, f(x)=(x-1)2, f(x)=x,f(x)=x+1, f(x)=(几何画板绘图). 教师: 对称关于直线对称——关于y轴对称, 关于点对称——关于原点对称. 我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数,图像关于原点对称的函数叫奇函数. 比如说,刚才大家举的例子中,哪些是偶函数,哪些是奇函数? 学生:偶函数有f(x)=x2,奇函数有f(x)=x,f(x)=. 问题2:函数f(x)=x+的奇偶性是怎样的? 学生:……(面面相觑) 教师:大家之所以感到为难,是因为不清楚f(x)=x+的图像的特征. 因此,我们有必要从代数的角度来理解函数图像的对称性. 问题3:请大家观察函数f(x)=x2的图像,函数值对应表是如何体现图像关于y轴对称的[1]? 学生:f(-2)=4=f(2), f(-1)=1=f(1),f(-3)=9=f(3)…… 教师:那是否对所有x0,都有f(x0)=f(-x0)? 学生:是的, f(-x)=x2=f(x). 教师:请大家看课本第34页例2,函数y=x的图像是关于y轴对称的,有类似的性质吗?哪位同学来说说[2]? 学生:f(-2)=2=f(2), f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3)……一般地,对任意x0,都有 f(x0)= x0 =f(-x0). 问题4:一般地,对任意一个图像关于y轴对称的函数来说,都有f(-x)=f(x)吗? 学生:是的. 教师:一般地,从代数角度来理解函数图像关于y轴对称的方法是f(-x)=f(x). 一般地,如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)的图像关于y轴对称,此时也称函数y=f(x)为偶函数. 板演:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A. 偶函数:对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x). 注:偶函数的图像关于y轴对称. 问题5:请大家观察函数f(x)=的图像,函数值对应表是如何体现图像关于原点对称的? 学生: f(-3)=-=-f(3), f(-2)= -=-f(2), f(-1)=-1=-f(1)…… 一般地, f(-x)=-=-f(x). 教師:f(x)=x的图像也是关于原点对称的,有类似的性质吗? 学生:…… 问题6:你能类比偶函数得出一个定义吗? 学生:一般地,如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)的图像关于原点对称,此时也称函数f(x)为奇函数. 板演:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A. 奇函数:对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x). 注:奇函数的图像关于原点对称. 教师:我们从代数的角度来理解了函数图像的对称性. 再看问题2(函数f(x)=x+的奇偶性). 学生:奇函数,因为f(-x)=-x-= -f(x). 辨析题(课本第43页练习4):对于定义在R上的函数f(x),下列判断是否正确? (1)若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2); (2)若f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数; (3)若f(-2)≠f(2),则f(x)不是偶函数. 有些学生对(2)的判断有误,追问:若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),…,f(-n)=f(n)(n∈N*),则f(x)是偶函数吗?由此强调定义中的关键字“任意的”. 对(3)学生用反证法说明了理由,追问:还有其他的否定方法吗? 学生:(沉默) 教师:随便x取什么值,都有f(-x)=f(x). 这个结论怎么否定? 学生(齐):举反例. 教师:这也是生活中常用的方法,比如说怎么否定“天下乌鸦一般黑”? 学生:只要找到一只乌鸦不是黑的就行了. 问题7:下列函数具有奇偶性吗?(如图4)由此,有何结论? 学生:没有奇偶性. 教师:对于f(x)=x2,x∈[-3,2]而言,不是有f(-x)=f(x)么?怎么沒有奇偶性呢? 学生:f(3)无意义. 教师:那么奇(偶)函数的定义域有何特征? 学生:区间端点互为相反数. 教师:很好,能不能也用“对称”的说法来刻画? 学生:奇(偶)函数的定义域关于原点对称. 教师:非常精彩!不仅奇(偶)函数的图像对称,而且其定义域也是关于原点对称的. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-1; (2)f(x)=2x; (3)f(x)=(x-1)2; (4)f(x)=. 小结:(1)判断函数奇偶性的两种方法:定义和图像. (2)用定义判断函数奇偶性的步骤:先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;再确定f(x)与f(-x)的关系,得出结论. (40分钟到,下课铃声响,匆忙小结) 教师(课堂小结):本节课数形结合思想贯穿始终,从图像的特征发现了点坐标之间的关系,从而得出了数学结论. 这种研究函数性质的方法还要延续. 2. 设计说明 虽然准备时间仓促,但笔者还是认真阅读了教材§2.2.2《函数的奇偶性》三遍才开始写教案. 两小时完工后再回看,感觉不自然,重新细看教材后发现教材的思路“日常生活中的对称现象→基本函数图像中类似的对称性→数量关系刻画→定义→例题和说明”不自然,特别是对难点“如何用数量关系来刻画函数图像的对称性”的突破显得混乱. 先由图像感知(教材旁注中还插图折纸演示),下面又由特值举例说明,似乎不符合认知规律. “应该先由特值感知到结论,再从图像进行一般说明才对啊!”抱着疑问,笔者又翻开了人教版教材,果然是先从列表画图中发现了数量关系f(-2)=4=f(2)……再由两个特例y=x2,y=x得到了偶函数的定义. 整个流程比苏教版自然流畅,更符合高一新生的学情,因此笔者设计了问题3和问题4. 另一方面,苏教版的情境引入又给人美感,所以设计了问题1和问题2. 但万没想到的是这两个自认为精彩的设计成了评委的争议! 3. 评价点评 评委意见分为两类,一类认为:问题设计别致,整堂课由问题驱动,自然生成了几乎所有结论,学生积极思考,课堂结构完整(也是唯一一位把例题教学和课堂小结都完成的选手). 另一类认为:选手是通过两个特例y=x2,y=x来说明“一般地,对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f(-x)=f(x)”这个数量关系的,仅凭归纳猜想得出结论,是科学性错误,应该一票否决;另外,在引入时,选手说“图像关于y轴对称的函数叫偶函数,图像关于原点对称的函数叫奇函数”,如此给函数的奇偶性下定义,书上没有,欠妥. 这节课成为争议,真是毁誉参半. [?] 思考 1. 陷入困惑 反思自己:为了使课堂引入出彩,努力抓住学生的注意力,设计了问题1和问题2,结果得到了一个“不符合教材说法,欠妥”的评论;为了使课堂自然流畅,从学情出发,设计了问题3和问题4,结果弄出了“科学性错误”. 那么试问什么课堂才是精彩?四平八稳、千篇一律、因循守旧的教学设计才可能是优质课吗?难道创新就会导致错误?想了几天还是不能接受,大胆提出一个猜想:也许自己是对的呢?事实上也只是一部分评委反对而已! 2. 深入思考 “图像关于y轴对称的函数叫偶函数,图像关于原点对称的函数叫奇函数”这个说法是否“欠妥”?教材定义:如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数. 这个定义是怎么来的?不还是根据函数图像关于y轴对称,用数量关系刻画得出的吗?根本原因还是函数图像关于y轴对称. 事实上,“函数图像关于y轴对称”的充要条件就是“对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x)”. 因此,笔者认为这个说法完全正确,没有“欠妥”! 通过两个特例y=x2,y=x来说明“一般地,对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f(-x)=f(x)”这个数量关系,用归纳猜想得出的结论,是科学性错误?言外之意,就是必须严格论证了. 让我们看看教材:“观察函数f(x)=x2的图像,我们发现,函数f(x)=x2的图像关于y轴对称(并附了一张图)”“f(-2)=4=f(2)……实际上,对于函数f(x)=x2定义域R内任意一个x,都有f(-x)=x2=f(x). 这时我们称函数f(x)=x2为偶函数”. 教师用书旁注:“用数学符号语言刻画函数图像的对称性,可以先从点的对称出发(如点(x0,y0)关于y轴的对称点是(-x0,y0),关于原点的对称点是(-x0,-y0)等),再过渡到点在函数图像上y0如何用x0表示,最后归纳到奇偶性的概念.”这也只是教学参考,不是教学必须遵循的标准答案(唯一的教学方案). 更何况无论是苏教版还是人教版教材,正文根本没有给出任何严格的论证,都是由特例得到偶函数的定义的. 教材中类似的论述还有很多,比如复合函数求导法则,这些都是科学性错误吗?肯定不是,只是针对学生目前知识不够的权宜之计,是基于学情的不得已. 这种教学处理方法最多只是“有待商讨”,谈不上“科学性错误”. 现在就商讨要不要给出严格论证呢?初中数学教材中将“轴对称图形”描述为“沿某一直线翻折后与其另一部分完全重合的图形”[3],事实上,苏教版教材旁注了一张折纸演示函数f(x)=x2图像的对称性,知道高一新生对对称性仅仅是“描述性定义”[3]的认知水平. 要实现教师用书的教学建议,也许对重点高中学生还行,但是对于这个普通高中的学生是不合适的,设计的问题3和问题4正是基于学情的. 事实表明,基于人教版教材的问题3和问题4使课堂自然流畅. 相反,采用教师用书建议的课堂是低效的,没有有效突破教学的重点、难点. 因此,笔者的教学处理方案不仅没有科学性错误,反而是明智的选择. 3. 在路上 经常听同行说,每个人的教学观念和经验不同,对同一个教学内容往往有不同的教学处理方法,也没有唯一正确的教学方案可言. 这句话在很大程度上是对的,笔者也一直在学习各种不同的教学处理方案和评价,在对比中汲取营养不断成长. 笔者尊重与自己相左的教学处理方案和评价,因为他们给了笔者思考;也非常欣赏与笔者相同的教学处理方案和评价,因为他们给了笔者鼓舞. 但是,每当笔者对比各种不同的教学处理方案和评价时,常常发现总是有一种比较好的,并不是样样都行. 到底哪种方案最好?需要我们不断地追问、思考、钻研和学习. 让我们一起走在专业成长的路上…… 参考文献: [1] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1(人教版). 人民教育出版社,2013. [2] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1(苏教版)教师用书. 人民教育出版社,2015. [3] 陈姝妮. 由图形的对称性讲函数的“奇偶性”一课[J].上海中学数学,2012,(12):9-11. |
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