王勇红 题目 关于m,n的方程5m2-6mn+7n2=2 011是否存在整数解?若存在,请写出一组解;若不存在,请说明理由. 这是2011年北京市中学生数学竞赛(初二)试卷的第四大题,笔者在阅读文[1]时发现它的分析和解法都过于复杂,让人们感觉该题很难,其实该题并不难解,可以直接用整数的奇偶性来解答. 解 因为2 011是奇数,故m,n不能同奇偶. (1)当m=2k,n=2s+1时(k,s为整数), 则5m2-6mn+7n2=2011k(5k-3)+7s(s+1)-6ks=501. 不论k,s的奇、偶性如何,k(5k-3)+7s(s+1)-6ks都是偶数,故无整数解. (2)当m=2k+1,n=2s时(k,s为整数), 则5m2-6mn+7n2=2 01110k2+10k-6s+14s2-12sk=1 003, 10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶數,故也无整数解. 故方程不存在整数解. |