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标题 线段公理在代数中的应用
范文

    李中文

    线段公理(两点间线段最短)在平面几何中的应用是众所周知的.本文仅谈一谈它在研究和解决代数问题中的应用.

    请看一个解析几何问题.设A(a,b),B(c,d)是坐标平面上的两点,其中b>0,d>0.试在x轴上找一点,使它到A,B两点的距离的和最小;或到A,B两点的距离的差最大.如图所示,设M(x,0)是x轴上的任一点,B1(c,-d)是点B关于x轴的对称点,M到A,B两点的距离的和为|MA|+|MB|.由线段公理可知|MA|+|MB|=|MA|+|MB1|≥|AB1|,当且仅当M在A,B1的连接线上P点位置时,上式等号成立.

    ∵P(x,0)在A,B1的连接线上,∴ba-x=dx-c.

    于是,有结论Ⅰ:

    (x-a)2+b2+(x-c)2+d2

    ≥(a-c)2+(b+d)2.(﹡)

    当且仅当x=bc+add+b时,(﹡)式中的等号成立,即此时M到A,B两点的距离的和最小.

    又M到A,B两点的距离的差是||MA|-|MB||.

    同理,||MA|-|MB||≤|AB|,

    当且仅当M在AB的延长线上的N点位置时(如上图所示),等号成立.

    ∵N(x,0)在AB延长线上,∴bx-a=dx-c.

    从而有结论Ⅱ:|(x-a)2+b2-(x-c)2+d2|≤(a-c)2+(b-d)2,(﹡﹡)

    当且仅当x=bc-adb-d(b≠d)时,(﹡﹡)式中的等号成立,即此时M点到A,B两点的距离的差最大.

    可以证明,上述结论及公式对任意a,b,c,d都成立.

    上面的结论,应用颇多.请看以下例子:

    例1解方程|4x2+4x+26-x2+4x+20|=x2-2x+2.

    解由公式(﹡﹡)得

    |4x2+4x+26-x2+4x+20|

    =|(2x+1)2+52-(x+2)2+42|

    =|[x-(-1-x)]2+52-[x-(-2)]2+42|

    ≤[(-1-x)-(-2)]2+(5-4)2

    =x2-2x+2.

    由结论Ⅱ可知,要上式等号成立,当且仅当x=5×(-2)-(-1-x)×45-4=-6+4x,解此方程,得x=2,故x=2是此方程的解.

    例2a,b是小于1的正数,求证

    a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22,当且仅当a=b=12时,上式等号成立.

    证明由公式(﹡)a2+b2+(1-a)2+(1-b)2≥(0-1)2+(b+1-b)2=2.

    再由结论Ⅰ得,当且仅当(1):a=b×1+0×(1-b)b+(1-b)=b时等号成立.同理有(1-a)2+b2+a2+(1-b)2≥(1-0)2+(b+1-b)2=2,当且仅当(2):a=1×(1-b)+b×0b+(1-b)=1-b时,等号成立.

    综上所述,有a2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+b2+(1-a)2+(1-b)2≥22.

    联立(1)(2)解方程组可知,当且仅当a=b=12时,上式等号成立.证毕.

    例3在宽为2千米的河的两岸,各有一点(记为A,B),它们各自离岸边3千米.已知A,B间的距离为10千米,有一人在陆地上行走速度为10千米/时,在水中游泳速度为1千米/时,问此人游泳的起点应在河岸何处,才能使这个人由A到B的时间最短?

    解因为陆上的行走速度是游泳速度的10倍,故此人游泳的距离最短为宜,即应垂直河岸游去.如图所示,设E为下水点,CE=x,则

    AE=x2+32,

    AN=AC+CM+MN=3+2+3=8,

    ∴BN=AB2-AN2=102-82=6,于是DF=6-x,

    BF=DF2+BD2=(6-x)2+32.

    设由A到B所用時间为T(x),由题意有

    T(x)=2+110[x2+32+(6-x)2+32].

    由结论Ⅱ可知,当x=0×3+3×63+3=3时,Τ(x)达到最小值,此x即为所求.

    故,此人游泳时的起点应在距离C点3千米处,才能使这个人由A到B所用时间最短.

    以上数例可看出,利用线段公理推出的两个解析几何结论与公式去解决代数问题,方法巧妙,且可大大简化求解过程.

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更新时间:2025/3/10 13:10:12