北师大版《认识二元一次方程（组）》教学案例分析

    李洋

    一、教学内容分析

    方程是刻画现实世界等量关系的有效数学模型，方程概念的本质是沟通已知量和未知量之间的关系，借助已知量，求出未知量。二元一次方程是属于方程的一个类型，因此获得其概念本质的过程要经历一个从特殊到一般的抽象概括的过程，从而建立二元一次方程（组）的模型。北师大版教材中把《认识二元一次方程（组）》安排在八年级上的第一节。由于是起始课，所以要让学生明白为什么要学习这个新的方程模型，在概念引入的时候可以采用实例引入和对比教学相结合的教学方法，有利于让学生体会到学习本节课的必要性。

    每一个科学概念都有其确定的内涵，概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性。教材中通过丰富情景，让学生不断地建立二元一次方程和二元一次方程组，学生类比一元一次方程定义，逐步抽象出二元一次方程的概念。学生在抽象出这个概念的过程中，不仅有利于发展学生的抽象思维和推理意识，还建立了具有二元一次方程模型的意识。教学中除了要引导学生得出形式化定义，更要关注学生的建模过程。在每个具体情境中可向学生提出类似于“题目中的已知量，未知量是什么”“已知量和未知量之间的关系是什么”“未知量的个数有几个”等这样的问题。帮助学生认清楚题目中有两个未知量，找到未知量和已知量之间的关系从而建立新的方程模型，这样的一个建模过程既丰富了学生解决实际问题的一般性策略，也在不断的建模和思考中揭示了所学新的概念的本质。

    内涵和外延是概念的两个方面，教学中不仅要关注概念的内涵还要注重概念的外延，外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。在形式上所有二元一次方程都可化为ax+by=c（a、b≠0）的一般形式与ax+by+c=0（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。我们所学的几元几次方程都是指整式方程，而整式方程都隶属于有理方程，所以二元一次方程不是分式方程，更不是无理方程。这一点在向学生讲解时，要适度把握二元一次方程概念外延的明晰，是建立在代数式的概念不断完善的基础上进行的。教学时我们可以在九年级学完相关内容后，对于学有余力的学生再进行相应的明确，界定外延。

    二、教育价值分析

    二元一次方程（组）一直是中考数学重点考查知识之一，对于它的学习可以培养学生观察、分析、比较、类比等思维能力，教学中合理设置教学环节将有利于发展学生“数学抽象”“数学建模”的核心素养，并有利于发展符号意识和应用意识。让学生经历在不同的情景中，用二元一次方程（组）来刻画问题的过程，体会二元一次方程（组）概念的本质，发展学生的推理能力和模型思想。

    三、知识间的联系

    1.纵向联系

    小学阶段：已经认识了方程的概念，并会用方程描述简单的数量关系，会用等式的基本性质解简易方程，进行求解。

    初中阶段：继初步建立方程概念后，又陆续学习了一元一次方程、二元一次方程及二元一次方程组、三元一次方程组（选学）、分式方程、一元二次方程，这些方程的研究方法基本相同，在方程的解法上都采用“转化”的数学思想。

    高中阶段：继续学习高次、多元方程的解法，以及研究二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。

    2.横向联系

    （1）初中阶段与二元一次方程有关的知识有：代数式、一元一次方程、二元一次方程（组）、一次函数、分式方程、一元二次方程。在学习了一元一次方程之后，学生明晰了“元”和“次”的概念后，又继而学习二元一次方程（组）。

    （2）一次函数与二元一次方程密切相关，只不过是各自侧重点不同。

    “形”的角度：从一次函数图象上理解二元一次方程和二元一次方程组的解，一条直线上所有点的坐标就是相应二元一次方程的解;两条直线交点的坐标就是相应二元一次方程组的解，因此可以借助做出两个一次函数的圖象，找到交点坐标，从而确定相应的二元一次方程组的解。

    “数”的角度：一次函数表达式的确定基于两个条件，通过待定系数法，具体求解时又要用到二元一次方程组。

    （3）在中考命题中，在作为代数建模能力考查问题时，通常把二元一次方程组和一元一次不等相联系一起考查。解决实际问题最优化时，二元一次方程又和一元一次不等式有着密切联系。

    （4）解二元一次方程组的本质是“消元”，把“二元”变为“一元”;解分式方程是通过去分母化为一元一次整式方程求解;解一元二次方程的方法是降次，分解成两个一元一次方程求解，这几个方程在解法上可以类比学习，有着内在联系。

    四、课标要求解读

    课标要求是能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

    其中的核心名词是“数量关系”，行为动词是“列出”。“数量关系”也就是等量关系，可以依据题意，从事情的变化结果中找等量关系，或根据常用的计算公式找等量关系，或根据“不变量”找等量关系。“列出”可以分解为“写出”。在教学中选择贴近学生生活的实例，让学生经历在具体问题中探索数量关系，体会模型的思想。按照课程标准的要求，以及上述教材和学情的分析，制定本节课的教学目标如下：

    （1）通过实例让学生感受到学习二元一次方程的必要性和优越性，并能列出二元一次方程及二元一次方程组，并能说出方程组中两个未知量所表示的意义相同。

    （2）能写出二元一次方程的解，并知道它的解有无数个以及二元一次方程组中每个方程的公共解才是二元一次方程组的解。

    （3）培养学生在解决实际问题时，能从数学的角度发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会数学与生活的联系.

    教学重点：（1）能说出二元一次方程（组）的概念，以及二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念。

    （2）会列出二元一次方程解决实际问题。

    教学难点：（1）能说出二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念，和其相应的解的个数，表示形式的理解。

    （2）会判断一组数值是否为二元一次方程及二元一次方组的解。

    五、经验与学习困难分析

    1.经验和基础

    （1）通过七年级一元一次方程概念的学习，学生可以类比一元一次方程的“元”和“次”去发现和认识二元一次方程的概念。

    （2）学生已经具有在实际情境中寻找等量关系的经验，并会设一个未知数去列方程，初步感受模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。

    （3）学生已经会利用等式基本性质求出一元一次方程的解，并知道一元一次方程未知数的解只有一个。

    （4）学生之前已学习了大量的数学概念，对数学概念的建立并不陌生，尤其是在学习一元一次方程时，已经经历了从具体的情境中抽象出一元一次方程概念的过程，初步具有建模思想。

    2.困惑和困难

    （1）由于90%以上的学生在解决应用问题时，已经习惯了设一个未知数去列方程，而这节课需要设两个未知数，找两个等量关系列方程，这在方程模型认知上是一个冲突，在列方程的方法上需要有一个过渡。

    （2）本节课所学习的二元一次方程的解有无数个，学生对解的个数的理解也要有一个新的认识。

    （3）二元一次方组的解是同时满足两个方程的公共解，是一组两个未知数的值，并用联立号连接，这在解的理解、表示形式上對学生来说也是一个新的认识。

    （4）学生对这种新的方程模型思想方法的理解，要更多地关注学生的建模过程，能否顺利地找到已知量和未知量之间的关系，从而列出二元一次方程（组）。

    六、设计教学策略

    策略1：引入学习二元一次方程模型的必要性及优越性

    具体设计：（1）出示鸡兔同笼的经典问题：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？”

    学生分别用假设法和一元一次方程解答，在学生回答的基础上做如下梳理：用方程比算术更容易表示数量关系！

    继续出示问题：（2）小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元;小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元，苹果和梨的单价各为多少元？

    受第一个问题解决方法的启发，学生会设苹果单价为x元，则梨的单价为元。教师引导这里梨的单价表示较为复杂，如果设苹果单价为x元，则梨的单价为y元。让学生进一步感受有些情况下只设一个未知数，表示另一个未知量时比较繁琐，不好表示，学生得出设两个未知数更容易表示题目中的数量关系，得出二元一次方程模型比一元一次方程模型更优越，让学生感受到学习本节课的必要性。

    策略2：讲解二元一次方程和二元一次方程组的概念

    具体设计：出示四个问题串：

    （1）某班共有55名同学。

    设该班有男生x人，女生y人，根据题意，数量关系可表示为：______________________。

    （2）某班要派全部男生和部分女生组成30人的队伍参加拔河比赛。

    设该班有男生x人，女生z人，根据题意，数量关系可表示为：______________________。

    （3）某班女生人数比男生人数的2倍少5人。

    设该班有男生x人，女生y人，根据题意，数量关系可表示为：______________________。

    （4）某班要派全部男生和部分女生组队参加拔河比赛，其中的男生是女生的2倍。

    设该班有男生x人，女生z人，根据题意，数量关系可表示为：______________________。

    通过设置四个问题串，让学生学会如何列二元一次方程，类比一元一次方程的概念，得出二元一次方程的概念。

    在问题背景不变的情况下把四个问题两两组合，问题（1）（3）组合，问题（2）（4）组合，教师把刚才列出的四个二元一次方程分别两两组合联立，并分析其形式上的特点，得出二元一次方程组的概念。

    策略3：得出二元一次方程的解和二元一次方程组的解

    具体设计：让学生尝试写出刚才其中两个二元一次方程x+y=55和2x-y=5的几组解，并借助Excel表格展示出这两个二元一次方程的解，学生直观地理解二元一次方程的解的概念，同时感受到二元一次方程的解有无数个。设置“比一比看谁的眼力快”的教学环节，让学生找到公共解后，再讲解二元一次方程组的解，并使学生明确二元一次方程组的解只有一组。

    策略4：在教学中要更多地关注建模过程，让学生感受二元一次方程概念的本质

    具体设计：从苹果梨的问题一直到四个问题的过程中，就要不断地向学生提出问题以下问题：（1）题目中的已知量，未知量是什么？（2）各个量之间的关系是什么？（3）题目中的等量关系有几个等这样的问题。对于较复杂的问题进行适当的分解，帮助学生寻找等量关系，不断地建立方程模型。

    编辑 温雪莲