微积分思想在物理教学中的渗透例谈
摘 要：微积分思想是人们进行科研、解决客观现实问题的重要有效手段.中学阶段有必要让学生接触微积分思想，让学生从小就有一种用微积分思想解决问题的潜意识，从小就形成一种用微积分思想分析问题、解决问题的习惯.这将对学生未来毕业参加工作，特别是科研工作大有裨益.同时，微积分思想教育渗透的过程，也增加了一项对学生素质教育、提高学生科学素养的新手段.
关键词：微积分；物理教学；渗透；举例
作者简介：曲波（1973-），男，大学，中学一级教师，主要研究如何通过实验教学实现素质教育.
微积分思想是人们进行科研、解决客观现实问题的重要有效手段.目前，我国的学段设置中，学生只有到了大学阶段（理工科），才开始接触学习微积分.笔者私下浅薄认为，学生此时接受微积分思想教育，为时已晚.微积分思想教育可以从中学、甚至小学就对学生渗透（并非系统地学习微积分知识），让学生从小就有一种用微积分思想解决问题的潜意识，从小就形成一种用微积分思想分析问题、解决问题的习惯.这将对学生未来毕业参加工作，特别是科研工作大有裨益.同时，微积分思想教育渗透的过程，也增加了一项对学生素质教育、提高学生科学素养的新手段.
多年来，笔者一直积极倡导将微积分思想教育纳入中小学科学课教育思想体系中，主张微积分思想教育要从“娃娃”抓起.为此，也做了不少努力.下面，笔者就以物理教学实践举例浅谈，希望引起教育专家侧目，也为下一步新教材编写工作提供一些研究素材.
1 微分思想教育渗透
教学片断：凸透镜、凹透镜对光的作用.
（1）如图1，利用光的折射规律，做出光通过玻璃后的折射光，发现折射后射出的光向底边（部）偏折了.
（2）将凸透镜、凹透镜分解成众多玻璃快，可看做凸透镜、凹透镜是由这众多玻璃快组成的（微分），如图2所示.
（3）根据上述步骤1中折射光向底边（部）偏折的规律，给学生出示未完成的残缺光路（如图3）让学生大胆猜想，合理推测光通过凸透镜、凹透镜后的折射光出射方向，并尝试完成残缺的那部分光路.学生完成后发现平行光通过凸透镜后会聚了，通过凹透镜后发散了.但这只是理论推测，真实情况是否如此，需通过实验来确认，此时学生已亟不可待想做实验，看是否和自己想的一样了.
（4）师生合作，利用准备好的凸透镜、凹透镜，共同完成课本（人教版）p92页凸透镜对光的会聚、凹透镜对光的发散实验.学生惊叹了：真的和自己想象的一样.自己刚才的猜想推测完全正确.学生体会到了成功的喜悦，有了情感体验，学生对知识的领会就更深刻，记忆更持久了.
2 积分思想教育渗透
以下是2015年江苏省湖州市一道中考压轴题（部分）：
匀速直线运动是指在任何相等的时间内通过相等路程的直线运动.匀加速直线运动是指在任何相等的时间内增加相同速度的直线运动，如从静止开始，1秒末的速度是2米/秒，
则2秒末的速度是4米/秒，3秒末的速度是6米/秒.
作匀速直线运动的物体在时间t内移动的距离s=vt.在它的v-t图象中（如图4），阴影矩形的边长正好是v和t.可见，做匀速直线运动的物体移动的距离对应着v-t图象中阴影的面积.匀加速直线运动的物体移动的距离也有类似的关系.
现有一辆汽车在教练场上由静止开始沿平直道路做匀加速运动，在10s末速度达到10米/秒，然后以此速度做50秒的匀速直线运动，最后减速慢慢停下.
（1）从汽车由静止开始运动计时，在如图4中做出汽车在1分钟内的v-t图象.
（2）求这1分钟内汽车行驶的距离.
解析：此题以阅读材料的形式呈现给学生，考察了学生的应变能力.根据要求，学生通过阅读迅速获取有用信息，现学现用，领会后马上用新知识去解决新问题.仅靠考前的那点“死记硬背”学生是答不来的.
文中第二段材料本质上是积分思想在解决物理问题中的具体应用.尽管初中学段，物体做匀加速运动学生还未涉猎，但题目巧用积分思想，告诉学生做匀加速运动的物体通过的路程就是物体做匀加速运动图像下所包含的面积，二者在数值上是相等的.此处巧用积分“搭桥”，把物理上的路程求解问题转换成数学上的面积求解问题，真是妙不可言.
求解完毕，相信学生一定会受到一场思维上的深刻“洗礼”、“启迪”，学生突然发现，原来可将物理上的一些“疑难”问题转换成简易的数学问题（模型）来处理，这给学生以后解决物理问题提供了一种新思路.
再看生活中两个和微积分思想密切相关的实例：
（1）地球明明是圆的，但为什么地平线看上去却是平的、直的（图5）
（2）有一种广场健身娱乐器材（如图6），由多根直棒套接搭建成半球网状结构，平放于地面，供儿童钻进钻出玩耍.明明宏观上看到的是个弯曲的球面，为什么却能用直棒搭建而成？
所谓“长而曲之，大曲若直；无限细分，曲中见直”，有了微积分思想，学生就不难理解其中原委了.
最后具体到物理上，很多物理问题实际上就是微积分在物理上的具体体现.例如，速度是路程对时间的微分，反之，路程是速度对时间的积分，（速度、加速度关系也是如此）.
物理上诸如此类的情况很多，此处不再一一例举.
综上所述，一言以蔽之，在中小学科学课设置中，增加對学生的微积分思想渗透，是十分必要的，也是可行的.
关键词：微积分；物理教学；渗透；举例
作者简介：曲波（1973-），男，大学，中学一级教师，主要研究如何通过实验教学实现素质教育.
微积分思想是人们进行科研、解决客观现实问题的重要有效手段.目前，我国的学段设置中，学生只有到了大学阶段（理工科），才开始接触学习微积分.笔者私下浅薄认为，学生此时接受微积分思想教育，为时已晚.微积分思想教育可以从中学、甚至小学就对学生渗透（并非系统地学习微积分知识），让学生从小就有一种用微积分思想解决问题的潜意识，从小就形成一种用微积分思想分析问题、解决问题的习惯.这将对学生未来毕业参加工作，特别是科研工作大有裨益.同时，微积分思想教育渗透的过程，也增加了一项对学生素质教育、提高学生科学素养的新手段.
多年来，笔者一直积极倡导将微积分思想教育纳入中小学科学课教育思想体系中，主张微积分思想教育要从“娃娃”抓起.为此，也做了不少努力.下面，笔者就以物理教学实践举例浅谈，希望引起教育专家侧目，也为下一步新教材编写工作提供一些研究素材.
1 微分思想教育渗透
教学片断：凸透镜、凹透镜对光的作用.
（1）如图1，利用光的折射规律，做出光通过玻璃后的折射光，发现折射后射出的光向底边（部）偏折了.
（2）将凸透镜、凹透镜分解成众多玻璃快，可看做凸透镜、凹透镜是由这众多玻璃快组成的（微分），如图2所示.
（3）根据上述步骤1中折射光向底边（部）偏折的规律，给学生出示未完成的残缺光路（如图3）让学生大胆猜想，合理推测光通过凸透镜、凹透镜后的折射光出射方向，并尝试完成残缺的那部分光路.学生完成后发现平行光通过凸透镜后会聚了，通过凹透镜后发散了.但这只是理论推测，真实情况是否如此，需通过实验来确认，此时学生已亟不可待想做实验，看是否和自己想的一样了.
（4）师生合作，利用准备好的凸透镜、凹透镜，共同完成课本（人教版）p92页凸透镜对光的会聚、凹透镜对光的发散实验.学生惊叹了：真的和自己想象的一样.自己刚才的猜想推测完全正确.学生体会到了成功的喜悦，有了情感体验，学生对知识的领会就更深刻，记忆更持久了.
2 积分思想教育渗透
以下是2015年江苏省湖州市一道中考压轴题（部分）：
匀速直线运动是指在任何相等的时间内通过相等路程的直线运动.匀加速直线运动是指在任何相等的时间内增加相同速度的直线运动，如从静止开始，1秒末的速度是2米/秒，
则2秒末的速度是4米/秒，3秒末的速度是6米/秒.
作匀速直线运动的物体在时间t内移动的距离s=vt.在它的v-t图象中（如图4），阴影矩形的边长正好是v和t.可见，做匀速直线运动的物体移动的距离对应着v-t图象中阴影的面积.匀加速直线运动的物体移动的距离也有类似的关系.
现有一辆汽车在教练场上由静止开始沿平直道路做匀加速运动，在10s末速度达到10米/秒，然后以此速度做50秒的匀速直线运动，最后减速慢慢停下.
（1）从汽车由静止开始运动计时，在如图4中做出汽车在1分钟内的v-t图象.
（2）求这1分钟内汽车行驶的距离.
解析：此题以阅读材料的形式呈现给学生，考察了学生的应变能力.根据要求，学生通过阅读迅速获取有用信息，现学现用，领会后马上用新知识去解决新问题.仅靠考前的那点“死记硬背”学生是答不来的.
文中第二段材料本质上是积分思想在解决物理问题中的具体应用.尽管初中学段，物体做匀加速运动学生还未涉猎，但题目巧用积分思想，告诉学生做匀加速运动的物体通过的路程就是物体做匀加速运动图像下所包含的面积，二者在数值上是相等的.此处巧用积分“搭桥”，把物理上的路程求解问题转换成数学上的面积求解问题，真是妙不可言.
求解完毕，相信学生一定会受到一场思维上的深刻“洗礼”、“启迪”，学生突然发现，原来可将物理上的一些“疑难”问题转换成简易的数学问题（模型）来处理，这给学生以后解决物理问题提供了一种新思路.
再看生活中两个和微积分思想密切相关的实例：
（1）地球明明是圆的，但为什么地平线看上去却是平的、直的（图5）
（2）有一种广场健身娱乐器材（如图6），由多根直棒套接搭建成半球网状结构，平放于地面，供儿童钻进钻出玩耍.明明宏观上看到的是个弯曲的球面，为什么却能用直棒搭建而成？
所谓“长而曲之，大曲若直；无限细分，曲中见直”，有了微积分思想，学生就不难理解其中原委了.
最后具体到物理上，很多物理问题实际上就是微积分在物理上的具体体现.例如，速度是路程对时间的微分，反之，路程是速度对时间的积分，（速度、加速度关系也是如此）.
物理上诸如此类的情况很多，此处不再一一例举.
综上所述，一言以蔽之，在中小学科学课设置中，增加對学生的微积分思想渗透，是十分必要的，也是可行的.
