数学拓展式课堂教学及案例分析
傅海伦++权奎?ッ锨炝?++刁桂兰
【摘要】本文提出并分析了数学拓展式课堂教学的概念，分析了数学拓展式课堂教学主要四个方面的模块特征；并以北师大版八下数学第六章平行四边形第4节“多边形的内角和导学案”为案例，说明了数学拓展式课堂教学的基本操作程序和主要做法，并对案例进行了评析.
【关键词】数学拓展式课堂教学；概念；特征；案例分析
在当前全面推进基础教育课程与教学改革的过程中，重视开展拓展式数学课堂教学是全面提升学生数学素养的主要渠道之一.数学课堂教学中，教师如果能通过在深入研究教材的基础上，适度借鉴、合理吸收并整合不同版本的教材内容，巧妙地将数学知识内容和方法相互交叉、渗透，并对学生的思维进行适度的拓展和提升，不仅可以提高学习效率，也将会对学生综合素质的提高起到积极的推动作用.山东师范大学第二附属中学是山东省教育厅直属的一所现代化初级中学.学校领导荆兆晶校长、毛利新副校长高度重视课题研究和课堂教学改革，聘请山东师范大学博士生导师傅海伦教授为指导专家，带领全体数学组老师，组成教学科研团队，开展课题研究.傅教授针对学校的优势、教师的情况和具体的学情，在学校探索学生自主合作学习并已取得良好效果的基础上，以初中数学课堂教学改革为突破口，以提高学生的综合能力和创新精神为目标，提出了“在数学课堂中实施拓展式教学，全面提升学生的数学素养”的理念，并组织开展初中数学拓展式课堂教学的探索，现已进入全面实施阶段.
1数学拓展式课堂教学概念界定及特征描述
1.1概念界定
数学拓展式课堂教学是教师依据数学课程标准和教学目标，整合、优化数学教学内容，深入挖掘数学思想方法，对数学知识、数学思维过程和方法以及数学文化进行适度的拓展和延伸，以优化教学过程，提升学生数学素养的教学活动.
数学拓展式课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性地发展，提升学生数学素养.
随着《数学课程标准》（2011年）的贯彻实施，拓展式的数学课堂教学已成为数学课堂教学的重要组成部分，它不同于传统教学只注重知识的传授，而是从更高的层次对教师和学生提出了要求.“教材中学习素材的选择，图片、情境、实例与活动栏目等的设置，拓展内容的编写，以及其他课程资源的利用，都应当与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学实质的理解，有利于提高学生对所学内容的兴趣”[1].同时，对于习题的选择和编排，明确提出应“突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等”[2].
开展数学拓展式课堂教学是在新课改背景下，学校教学创新的需要，是落实素质教育，全面提升数学素养特别是核心素养的重要途径.1.2特征描述
数学拓展式课堂教学的内容可以是时空的拓展，也可以是不同知识内容、形态和类别的拓展，甚至是不同知识的综合、整合和交叉.但必须与数学课堂教学文本的教学目标、目的形成一个整体，数学课内的内容与拓展的内容有相关性和类比性.
数学拓展式课堂教学致力于学生数学拓展能力的培养[3].教师在拓展式课堂教学过程中要准确把握教学方向，教学设计要科学、合理有序，选择教学文本精准，教学思路清晰，教学方法得当，引导及时、有效，激发和启示作用明显，避免脱离学情和教学实际.
数学拓展式课堂教学的方式方法是多样的，可以是专题的，可以是不同阶段不同梯度的，对学生可以是口头的、文字的、动手操作的、形体的，课内的或课外有所准备的等等，采用什么方式方法是由数学教学内容决定的.
数学拓展式课堂教学主要体现四个方面的模块特征：
1.第一模块：数学知识的拓展.
数学知识的拓展，要做到在具体的数学知识内容的教学上，既尊重教材又不拘泥于教材，在教材的现有知识呈现的基础上，适度调整、整合和拓展，从现实生活和学生的实际需要出发，使学习内容在更为现实和广阔的背景上获得充实、深化和提高，这将与时俱进，更好地体现数学知识之间本来的内在联系，也能极大地满足学生学习的需要.
2.第二模块：数学思维的拓展.拓展学生的数学思维能力，是初中数学教学的基本教学目标之一.（1）注重思维方法的训练：注重合理推理和演绎推理的联系和适当结合应用.（2）由学生的差异，进行数学思维拓展[4].在数学教学中，教师应搭建平台，尊重学生的思维方式和探索精神，给学生展示自我的空间，从而使开发并拓展数学思维成为可能.
3.第三模块：数学文化的拓展.数学拓展式课堂应充分展示数学文化的魅力，激发学生学习数学的兴趣.在教学中穿插数学史的内容，体现文化价值[5]；引导学生进行数学应用，联系社会和生活实际，价现应用价值；体现数学美、欣赏美的美学价值.
4.第四模块：教学生成资源的拓展.（1）问题资源.这是数学拓展式课堂教学生成资源的一条主线.有了问题资源，数学才有激发学生去探索的动力，才有研究的价值.（2）“奇思妙想”资源.在数学学习中，学生是富有好思、好学、好问的教学主体，又是具有灵性的个体.面对数学学习的对象和问题，学生的思维往往散发出奇特的想法或看法，其中不乏一些新的创意，新的思路，甚至突发奇想，这是十分重要的数学拓展式课堂生成资源.（3）错误资源.学生在数学学习过程中出现错误是难免的，关键是我们教师怎样看待，如何处理.合理利用学生的错误，变学习错误为学生纠错练习的方法，不仅可以纠正学生的学习错误，而且拓展了课堂教学的生成资源.2数学拓展式课堂教学的基本操作程序
2.1拓展式备课——形成拓展式导学案
在传统的备教材、备学情和备教法的基础上，更注重搜集、借鉴和整合各种课程和教材资源，形成丰富的、现实的和适于学生学习的学习资料、素材和文本.这其中包括最重要的导学案的备课与教学设计，最后形成拓展式导学案.
2.2拓展式教学——形成拓展式课堂
开展拓展式课堂教学活动，一般采取：情境创设，问题驱动——探求发现，形成新知——问题变式，思维提升——知识归纳，拓展应用——文化渗透，课外延伸的总体教学程序.
具体在数学课堂上，应体现三个拓展模块的教学活动，主要考虑设计了以下三个栏目：①知识拓展：加油站；②思维拓展：步步高（或挑战自我，或凌绝顶）.③文化拓展：广角镜.（根据课题需要具体可冠之于“史海漫游”或“穿越历史星空”，或“文化走廊”，或“数学美拾趣”，或“生活中的数学”，或“好玩的数学”等等）.以上这三个模块是拓展式课堂教学活动标志性的特色栏目.
2.3拓展式反思——拓展式资源
①问题贴：主要记录学生提出的问题，特别是好问题.②错误源：主要记录学生常常暴露出的典型错误，以及如何利用错误资源的方式、方略.③金点子：主要记录学生的“奇思妙想”，或具有创造性的解法.
拓展式反思是课下完成的.这集中反映了课堂的生成性资源，体现了学生的发展性.需要老师记录、回忆和总结.拓展式资源的呈现方式可以是教师对学生课堂中表现材料的归并和汇总，但需要老师的处理和点评.
（七）学以致用、分层作业
1.基础性作业：课本P155习题67知识技能第1题、第2题.
2.提高性作业：课本问题解决4.
3.写一篇关于《平面图形的密铺》的小论文.
案例分析
本案例是体现数学拓展式课堂教学的成功案例，教师从数学拓展式课堂教学的特征与要求出发，精准设计教学过程.整个课堂教学设计共7个大的环节，环环相扣，步步深入，既体现了数学学科一般的教学规律和要求，又较完整地体现出数学拓展式课堂教学的基本操作程序.特别是，教师从（三）问题变式，思维提升开始，较好地具体实施数学拓展式课堂，再通过（四）知识归纳，拓展应用、（五）文化渗透，课外拓展、（六）课堂小结，反思提升、（七）学以致用、分层作业，从内容设计到实践教学，都从不同角度反映出数学知识的拓展、数学思维的拓展、数学文化的拓展、教学生成资源的拓展这四个模块拓展的主要特征.加油站、步步高、挑战自我等栏目及时巧妙地成为本节数学拓展式课堂教学的标志性栏目.本节课数学知识的拓展适当，数学思维的拓展开放有梯度，以平面图形的密铺作为数学文化的拓展十分恰当，学生感到很亲切和自然，富有情趣.其中以数学问题作为主线贯穿始终，引导学生积极主动思考，锻炼了学生的思维能力，课外拓展进一步引发学生的积极思考和探索，课后要求学有余力的学生完成一篇关于《平面图形的密铺》的小论文，更进一步培养了学生的综合素养.
参考文献
[1][2]义务教育数学课程标准（2011年）[M].北京：北京师范大学出版集团，2012：64，67
[3]贺君林.浅谈学生数学拓展能力的培养[J].山东教育（中学刊），2006（7）：89-90
[4]刘秋香，徐丹，傅海伦.对数学课堂教学模式的再认识[J].教育科学研究，2013（10）：51-56
[5]傅海伦.数学新课程教学论[M].山东教育出版社，2014：31-32
作者简介
傅海伦，男，1970年出生，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究.
权奎，男，1992年出生，全日制教育硕士专业学位（数学）研究生，主要从事中学数学教学研究；
孟庆玲，女，1978年出生，中学高级，主要从事初中数学课堂教学研究.
刁桂兰，女，1958年出生，中学高级，数学组教研组长，主要从事初中数学课堂教学研究.
【摘要】本文提出并分析了数学拓展式课堂教学的概念，分析了数学拓展式课堂教学主要四个方面的模块特征；并以北师大版八下数学第六章平行四边形第4节“多边形的内角和导学案”为案例，说明了数学拓展式课堂教学的基本操作程序和主要做法，并对案例进行了评析.
【关键词】数学拓展式课堂教学；概念；特征；案例分析
在当前全面推进基础教育课程与教学改革的过程中，重视开展拓展式数学课堂教学是全面提升学生数学素养的主要渠道之一.数学课堂教学中，教师如果能通过在深入研究教材的基础上，适度借鉴、合理吸收并整合不同版本的教材内容，巧妙地将数学知识内容和方法相互交叉、渗透，并对学生的思维进行适度的拓展和提升，不仅可以提高学习效率，也将会对学生综合素质的提高起到积极的推动作用.山东师范大学第二附属中学是山东省教育厅直属的一所现代化初级中学.学校领导荆兆晶校长、毛利新副校长高度重视课题研究和课堂教学改革，聘请山东师范大学博士生导师傅海伦教授为指导专家，带领全体数学组老师，组成教学科研团队，开展课题研究.傅教授针对学校的优势、教师的情况和具体的学情，在学校探索学生自主合作学习并已取得良好效果的基础上，以初中数学课堂教学改革为突破口，以提高学生的综合能力和创新精神为目标，提出了“在数学课堂中实施拓展式教学，全面提升学生的数学素养”的理念，并组织开展初中数学拓展式课堂教学的探索，现已进入全面实施阶段.
1数学拓展式课堂教学概念界定及特征描述
1.1概念界定
数学拓展式课堂教学是教师依据数学课程标准和教学目标，整合、优化数学教学内容，深入挖掘数学思想方法，对数学知识、数学思维过程和方法以及数学文化进行适度的拓展和延伸，以优化教学过程，提升学生数学素养的教学活动.
数学拓展式课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性地发展，提升学生数学素养.
随着《数学课程标准》（2011年）的贯彻实施，拓展式的数学课堂教学已成为数学课堂教学的重要组成部分，它不同于传统教学只注重知识的传授，而是从更高的层次对教师和学生提出了要求.“教材中学习素材的选择，图片、情境、实例与活动栏目等的设置，拓展内容的编写，以及其他课程资源的利用，都应当与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学实质的理解，有利于提高学生对所学内容的兴趣”[1].同时，对于习题的选择和编排，明确提出应“突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等”[2].
开展数学拓展式课堂教学是在新课改背景下，学校教学创新的需要，是落实素质教育，全面提升数学素养特别是核心素养的重要途径.1.2特征描述
数学拓展式课堂教学的内容可以是时空的拓展，也可以是不同知识内容、形态和类别的拓展，甚至是不同知识的综合、整合和交叉.但必须与数学课堂教学文本的教学目标、目的形成一个整体，数学课内的内容与拓展的内容有相关性和类比性.
数学拓展式课堂教学致力于学生数学拓展能力的培养[3].教师在拓展式课堂教学过程中要准确把握教学方向，教学设计要科学、合理有序，选择教学文本精准，教学思路清晰，教学方法得当，引导及时、有效，激发和启示作用明显，避免脱离学情和教学实际.
数学拓展式课堂教学的方式方法是多样的，可以是专题的，可以是不同阶段不同梯度的，对学生可以是口头的、文字的、动手操作的、形体的，课内的或课外有所准备的等等，采用什么方式方法是由数学教学内容决定的.
数学拓展式课堂教学主要体现四个方面的模块特征：
1.第一模块：数学知识的拓展.
数学知识的拓展，要做到在具体的数学知识内容的教学上，既尊重教材又不拘泥于教材，在教材的现有知识呈现的基础上，适度调整、整合和拓展，从现实生活和学生的实际需要出发，使学习内容在更为现实和广阔的背景上获得充实、深化和提高，这将与时俱进，更好地体现数学知识之间本来的内在联系，也能极大地满足学生学习的需要.
2.第二模块：数学思维的拓展.拓展学生的数学思维能力，是初中数学教学的基本教学目标之一.（1）注重思维方法的训练：注重合理推理和演绎推理的联系和适当结合应用.（2）由学生的差异，进行数学思维拓展[4].在数学教学中，教师应搭建平台，尊重学生的思维方式和探索精神，给学生展示自我的空间，从而使开发并拓展数学思维成为可能.
3.第三模块：数学文化的拓展.数学拓展式课堂应充分展示数学文化的魅力，激发学生学习数学的兴趣.在教学中穿插数学史的内容，体现文化价值[5]；引导学生进行数学应用，联系社会和生活实际，价现应用价值；体现数学美、欣赏美的美学价值.
4.第四模块：教学生成资源的拓展.（1）问题资源.这是数学拓展式课堂教学生成资源的一条主线.有了问题资源，数学才有激发学生去探索的动力，才有研究的价值.（2）“奇思妙想”资源.在数学学习中，学生是富有好思、好学、好问的教学主体，又是具有灵性的个体.面对数学学习的对象和问题，学生的思维往往散发出奇特的想法或看法，其中不乏一些新的创意，新的思路，甚至突发奇想，这是十分重要的数学拓展式课堂生成资源.（3）错误资源.学生在数学学习过程中出现错误是难免的，关键是我们教师怎样看待，如何处理.合理利用学生的错误，变学习错误为学生纠错练习的方法，不仅可以纠正学生的学习错误，而且拓展了课堂教学的生成资源.2数学拓展式课堂教学的基本操作程序
2.1拓展式备课——形成拓展式导学案
在传统的备教材、备学情和备教法的基础上，更注重搜集、借鉴和整合各种课程和教材资源，形成丰富的、现实的和适于学生学习的学习资料、素材和文本.这其中包括最重要的导学案的备课与教学设计，最后形成拓展式导学案.
2.2拓展式教学——形成拓展式课堂
开展拓展式课堂教学活动，一般采取：情境创设，问题驱动——探求发现，形成新知——问题变式，思维提升——知识归纳，拓展应用——文化渗透，课外延伸的总体教学程序.
具体在数学课堂上，应体现三个拓展模块的教学活动，主要考虑设计了以下三个栏目：①知识拓展：加油站；②思维拓展：步步高（或挑战自我，或凌绝顶）.③文化拓展：广角镜.（根据课题需要具体可冠之于“史海漫游”或“穿越历史星空”，或“文化走廊”，或“数学美拾趣”，或“生活中的数学”，或“好玩的数学”等等）.以上这三个模块是拓展式课堂教学活动标志性的特色栏目.
2.3拓展式反思——拓展式资源
①问题贴：主要记录学生提出的问题，特别是好问题.②错误源：主要记录学生常常暴露出的典型错误，以及如何利用错误资源的方式、方略.③金点子：主要记录学生的“奇思妙想”，或具有创造性的解法.
拓展式反思是课下完成的.这集中反映了课堂的生成性资源，体现了学生的发展性.需要老师记录、回忆和总结.拓展式资源的呈现方式可以是教师对学生课堂中表现材料的归并和汇总，但需要老师的处理和点评.
（七）学以致用、分层作业
1.基础性作业：课本P155习题67知识技能第1题、第2题.
2.提高性作业：课本问题解决4.
3.写一篇关于《平面图形的密铺》的小论文.
案例分析
本案例是体现数学拓展式课堂教学的成功案例，教师从数学拓展式课堂教学的特征与要求出发，精准设计教学过程.整个课堂教学设计共7个大的环节，环环相扣，步步深入，既体现了数学学科一般的教学规律和要求，又较完整地体现出数学拓展式课堂教学的基本操作程序.特别是，教师从（三）问题变式，思维提升开始，较好地具体实施数学拓展式课堂，再通过（四）知识归纳，拓展应用、（五）文化渗透，课外拓展、（六）课堂小结，反思提升、（七）学以致用、分层作业，从内容设计到实践教学，都从不同角度反映出数学知识的拓展、数学思维的拓展、数学文化的拓展、教学生成资源的拓展这四个模块拓展的主要特征.加油站、步步高、挑战自我等栏目及时巧妙地成为本节数学拓展式课堂教学的标志性栏目.本节课数学知识的拓展适当，数学思维的拓展开放有梯度，以平面图形的密铺作为数学文化的拓展十分恰当，学生感到很亲切和自然，富有情趣.其中以数学问题作为主线贯穿始终，引导学生积极主动思考，锻炼了学生的思维能力，课外拓展进一步引发学生的积极思考和探索，课后要求学有余力的学生完成一篇关于《平面图形的密铺》的小论文，更进一步培养了学生的综合素养.
参考文献
[1][2]义务教育数学课程标准（2011年）[M].北京：北京师范大学出版集团，2012：64，67
[3]贺君林.浅谈学生数学拓展能力的培养[J].山东教育（中学刊），2006（7）：89-90
[4]刘秋香，徐丹，傅海伦.对数学课堂教学模式的再认识[J].教育科学研究，2013（10）：51-56
[5]傅海伦.数学新课程教学论[M].山东教育出版社，2014：31-32
作者简介
傅海伦，男，1970年出生，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究.
权奎，男，1992年出生，全日制教育硕士专业学位（数学）研究生，主要从事中学数学教学研究；
孟庆玲，女，1978年出生，中学高级，主要从事初中数学课堂教学研究.
刁桂兰，女，1958年出生，中学高级，数学组教研组长，主要从事初中数学课堂教学研究.
