一道中考填空压轴题的命制
蔡卫兵
笔者有幸参加了2015年浙江宁波中考命题工作，在此谈谈具体的命制历程和体会，以期与大家交流、研讨.
1命题立意
一是反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不变性可分别看作反比例函数的代数不变性和几何不变性，它们反映了双曲线的代数与几何的统一性，也是双曲线的核心性质，是初中数学的核心知识，理应成为考查的重点；二是反比例函数容易与其他知识建立联系，使试题具有综合性和灵活性.命题组在商定命题双向细目标时达成共识，确定在填空题部分命制一道以反比例函数为载体的压轴题，但要避免思路陈旧，方法雷同问题，主要涉及方程、函数、图形与坐标、简单的几何图形的位置关系与数量关系等知识，要求借助几何直观与函数问题对数形结合、方程、函数等数学思想方法进行综合考查，融观察、发现、计算、探究于一体，体现对学生探究能力、实践能力和创新能力等数学素养的考查.
2命题过程
2.1寻题根，思题源
原题1如图1，函数y=1x和y=-3x的图象分别是l1和l2.PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为.
原题2如图2，函数y=1x和y=-3x的图象分别是l1和l2.PA⊥x轴，交l2于点A，PB⊥y轴，交l2于点B，以PA，PB为边作矩形PACB，则矩形PACB的面积为.
命题组查阅了大量习题，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来，较好地将知识与能力融合在一起，考查的题型广泛，考查方法灵活，转化思想引领，数形结合搭桥，使解决问题时化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果.诸如原题1和原题2，在陈述信息上突出函数图象、垂直坐标轴和面积，借助反比例函数图象上的点的坐标特点或利用反比例函数k的几何意义便能求解，但不管求△PAB的面积还是求矩形PACB的面积，甚至求△OAB的面积等等看似“旧貌换新颜”，实质是“穿新鞋走老路”，学生完全可以通过题海战术掌握解题规律，大大降低考查的效度.依据不使用成题的命题原则，命题组决定在直观图形中将三角形或矩形隐藏起来，在陈述信息上不出现面积，由此进行改造得到如下初稿.
2.2试编题，品初稿
初稿1如图3，点A、B分别为函数y=1x（x>0）和y=-3x（x<0）的图象上的点，AB∥x轴，平行四边形ABCD的顶点D在y轴上，AB=2，AB与CD的距离为5，则点C的坐标为.
初稿1利用两条双曲线和平行四边形组合构造图形，主要涉及函数、图形与坐标、平行四边形的性质等知识，同时渗透数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法，解题方法也比较灵活多样，如解法1（代数解法）：设A（（a，1a），B（a-2，-3a-2），则1a=-3a-2，所以a=12，即A（（12，2），所以D（0，7）或D（0，-3），所以C（-2，7）或C（-2，-3）.解法2（几何解法）：如图4，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，根据反比例函数的几何意义可知矩形ABFE的面积为4，因为AB=2，所以AE=2，所以点D的纵坐标为7或-3，所以C（-2，7）或C（-2，-3）.比较两种解法，显然设点代入的代数解法的思维要求较低，计算难度不大，一方面学生都会选择此种解法，不能有效地考查反比例函数的几何不变性，另一方面难度偏低，不能在填空压轴上进行明显的区分，不能很好地体现选拔性.
命题组在研讨中意识到因为给定解析式而造成容易求出相关点的坐标，能否改造问题的问法，已知点C的坐标，求反比例函数中的k值，同时渗透更多的数学思想的考查，以进一步提升题目的难度，达到压轴目的，为此进行再次改造得到如下初稿.
初稿2如图5，点A（-2，-2），点B（1，-2），平行四边形ABCD的另两个顶点C、D分别为函数y=ax（a>0）和y=bx（b<0）的图象上的点，AB与CD的距离为5，则a-b的值为.
23研究题，定正稿
如此修改，进一步在直观图形中隐去图形，需要学生根据平行四边形的特征以及ABCD的书写要求进行实验、操作、猜想、验证、计算、探究等基本数学活动，学生对于解决问题的思考，由图6采用设而求之的代数解法和几何意义的面积求法都易求得a-b=9，在求解过程中体现了转化思想和整体思想.但也意识到部分学生误将点C的坐标当成（1，3），点D的坐标当成（-2，3），而结果求得仍然正确，也会部分学生因忽视ABCD的书写要求而进行分类讨论，求得当CD在AB的下方时a-b=21，这样必然影响试题的信度和效度.几番周折，几番打磨，基本达到预设的目标.
已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则的值是.
题意含蓄，内容丰富，借助学生数学活动经验的积累，把画图操作、观察发现、计算探究融合在一起来考查学生的几何直观、数感、符号意识、运算能力，思维水平较高，在压轴的难度设计要求上是充分的.但由于隐去图形以及A，B，C，D的位置，根据要求画出满足要求的图形的难度较大，而且分类讨论情形复杂（A，C在同一分支或不同分支，相应的AB与CD在轴同侧或异侧），需要逐一尝试和排除，在计算中也有较大的迷惑性，一道填空题所花时间过多，在一定程度上也影响试卷的信度和效度.考虑到学生的探究能力，决定给出图形和添加限制条件的措施降低难度，形成定稿.图7
如图7，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
思考梳理上述思维过程，不难发现解法1与解法2抓住双曲线上的关键点，利用反比例函数中的坐标乘积不变性进行巧设元，通过攻破一点，再击其余.先设点C的坐标，然后表示点D，A，B的坐标，通过这一方法能将特殊的数量关系与位置关系进行沟通与关联，有理有据，但用字母表示图中有关点的坐标或线段的长度或关系，体现出符号意识，特别是A，B的坐标的表示需要通过代数式的运算进行数式的变形是进行数学思考和表达的重要形式，过程比较灵活，结果有点繁琐，同时所得的方程组稍许复杂，解方程组需要一定的技巧性处理，更多地是对方程组m-mba=2，mba-5m-maa-5m=3缺乏整体思想和目标意识而无从下手，从而导致半途而废.解法3中所用到反比例函数的几何意义是解决本题的关键和添加辅助线的重要信息源，基于学生的经验积累和解题策略，联想构造矩形，易得a即为反比例函数y=ax（a>0）的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，-b即为反比例函数y=bx（b<0）的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，要求的a-b的值与矩形CDHG、矩形ABFE的面积相等，较好地运用了构造、化归、方程等思想方法.用此方法甚是简单，选择解法3的优势是不言而喻，但辅助线的添加与矩形的构造有一定的难度，需要善于联想与善于转化，否则思路易于受阻.综合而言，难度系数04左右，能发挥中考的选拔功能.
25变式题，悟通法
反比例函数的几何不变性隐约闪现的“矩形”，可使题中量之间关系变得简单明了，可谓朴实蕴藏奇异，那它能成为通性通法吗？为此继续探究将问题进行变式：
变式1如图9，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b>0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的同侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
变式2如图10，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥y轴，AB，CD在y轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
变式3如图11，已知点A，C在反比例函数y=ax的图象上，点B，D在反比例函数y=bx的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
不难发现，位置“变”了，图形“变”了，条件“变”了，但图形基本构件及问题本质“没变”，a-b的几何意义“没变”，问题的解决思路“没变”，解题方法也“没变”，这种立足于学生的已有经验和最近发展区的能以“不变”应“万变”的通法符合学生的常规思维和认知规律，我们应让综合问题的条件加以分析并运用双曲线的核心性质的“几何意义法”成为“自然解法”！3结束语
本题以反比例函数为载体设置问题，实现双曲线与平行线图形的完美组合，突出考查反比例函数的基础知识、曲线上点的坐标与方程的关系、方程思想的应用，体现数形结合、转化、整体、方程等数学思想，皆在考查学生应用相应的数学思想方法解决问题的能力.试题的改编和修正着眼学生现有的知识水平和能力储备，以能力立意，关注核心知识为载体，既关注了知识的融合创新，又注重了解题策略和方法的多样性，不断尝试，不断变化，体现“含而不露”的命题情怀.
笔者有幸参加了2015年浙江宁波中考命题工作，在此谈谈具体的命制历程和体会，以期与大家交流、研讨.
1命题立意
一是反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不变性可分别看作反比例函数的代数不变性和几何不变性，它们反映了双曲线的代数与几何的统一性，也是双曲线的核心性质，是初中数学的核心知识，理应成为考查的重点；二是反比例函数容易与其他知识建立联系，使试题具有综合性和灵活性.命题组在商定命题双向细目标时达成共识，确定在填空题部分命制一道以反比例函数为载体的压轴题，但要避免思路陈旧，方法雷同问题，主要涉及方程、函数、图形与坐标、简单的几何图形的位置关系与数量关系等知识，要求借助几何直观与函数问题对数形结合、方程、函数等数学思想方法进行综合考查，融观察、发现、计算、探究于一体，体现对学生探究能力、实践能力和创新能力等数学素养的考查.
2命题过程
2.1寻题根，思题源
原题1如图1，函数y=1x和y=-3x的图象分别是l1和l2.PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为.
原题2如图2，函数y=1x和y=-3x的图象分别是l1和l2.PA⊥x轴，交l2于点A，PB⊥y轴，交l2于点B，以PA，PB为边作矩形PACB，则矩形PACB的面积为.
命题组查阅了大量习题，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来，较好地将知识与能力融合在一起，考查的题型广泛，考查方法灵活，转化思想引领，数形结合搭桥，使解决问题时化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果.诸如原题1和原题2，在陈述信息上突出函数图象、垂直坐标轴和面积，借助反比例函数图象上的点的坐标特点或利用反比例函数k的几何意义便能求解，但不管求△PAB的面积还是求矩形PACB的面积，甚至求△OAB的面积等等看似“旧貌换新颜”，实质是“穿新鞋走老路”，学生完全可以通过题海战术掌握解题规律，大大降低考查的效度.依据不使用成题的命题原则，命题组决定在直观图形中将三角形或矩形隐藏起来，在陈述信息上不出现面积，由此进行改造得到如下初稿.
2.2试编题，品初稿
初稿1如图3，点A、B分别为函数y=1x（x>0）和y=-3x（x<0）的图象上的点，AB∥x轴，平行四边形ABCD的顶点D在y轴上，AB=2，AB与CD的距离为5，则点C的坐标为.
初稿1利用两条双曲线和平行四边形组合构造图形，主要涉及函数、图形与坐标、平行四边形的性质等知识，同时渗透数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法，解题方法也比较灵活多样，如解法1（代数解法）：设A（（a，1a），B（a-2，-3a-2），则1a=-3a-2，所以a=12，即A（（12，2），所以D（0，7）或D（0，-3），所以C（-2，7）或C（-2，-3）.解法2（几何解法）：如图4，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，根据反比例函数的几何意义可知矩形ABFE的面积为4，因为AB=2，所以AE=2，所以点D的纵坐标为7或-3，所以C（-2，7）或C（-2，-3）.比较两种解法，显然设点代入的代数解法的思维要求较低，计算难度不大，一方面学生都会选择此种解法，不能有效地考查反比例函数的几何不变性，另一方面难度偏低，不能在填空压轴上进行明显的区分，不能很好地体现选拔性.
命题组在研讨中意识到因为给定解析式而造成容易求出相关点的坐标，能否改造问题的问法，已知点C的坐标，求反比例函数中的k值，同时渗透更多的数学思想的考查，以进一步提升题目的难度，达到压轴目的，为此进行再次改造得到如下初稿.
初稿2如图5，点A（-2，-2），点B（1，-2），平行四边形ABCD的另两个顶点C、D分别为函数y=ax（a>0）和y=bx（b<0）的图象上的点，AB与CD的距离为5，则a-b的值为.
23研究题，定正稿
如此修改，进一步在直观图形中隐去图形，需要学生根据平行四边形的特征以及ABCD的书写要求进行实验、操作、猜想、验证、计算、探究等基本数学活动，学生对于解决问题的思考，由图6采用设而求之的代数解法和几何意义的面积求法都易求得a-b=9，在求解过程中体现了转化思想和整体思想.但也意识到部分学生误将点C的坐标当成（1，3），点D的坐标当成（-2，3），而结果求得仍然正确，也会部分学生因忽视ABCD的书写要求而进行分类讨论，求得当CD在AB的下方时a-b=21，这样必然影响试题的信度和效度.几番周折，几番打磨，基本达到预设的目标.
已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则的值是.
题意含蓄，内容丰富，借助学生数学活动经验的积累，把画图操作、观察发现、计算探究融合在一起来考查学生的几何直观、数感、符号意识、运算能力，思维水平较高，在压轴的难度设计要求上是充分的.但由于隐去图形以及A，B，C，D的位置，根据要求画出满足要求的图形的难度较大，而且分类讨论情形复杂（A，C在同一分支或不同分支，相应的AB与CD在轴同侧或异侧），需要逐一尝试和排除，在计算中也有较大的迷惑性，一道填空题所花时间过多，在一定程度上也影响试卷的信度和效度.考虑到学生的探究能力，决定给出图形和添加限制条件的措施降低难度，形成定稿.图7
如图7，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
思考梳理上述思维过程，不难发现解法1与解法2抓住双曲线上的关键点，利用反比例函数中的坐标乘积不变性进行巧设元，通过攻破一点，再击其余.先设点C的坐标，然后表示点D，A，B的坐标，通过这一方法能将特殊的数量关系与位置关系进行沟通与关联，有理有据，但用字母表示图中有关点的坐标或线段的长度或关系，体现出符号意识，特别是A，B的坐标的表示需要通过代数式的运算进行数式的变形是进行数学思考和表达的重要形式，过程比较灵活，结果有点繁琐，同时所得的方程组稍许复杂，解方程组需要一定的技巧性处理，更多地是对方程组m-mba=2，mba-5m-maa-5m=3缺乏整体思想和目标意识而无从下手，从而导致半途而废.解法3中所用到反比例函数的几何意义是解决本题的关键和添加辅助线的重要信息源，基于学生的经验积累和解题策略，联想构造矩形，易得a即为反比例函数y=ax（a>0）的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，-b即为反比例函数y=bx（b<0）的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，要求的a-b的值与矩形CDHG、矩形ABFE的面积相等，较好地运用了构造、化归、方程等思想方法.用此方法甚是简单，选择解法3的优势是不言而喻，但辅助线的添加与矩形的构造有一定的难度，需要善于联想与善于转化，否则思路易于受阻.综合而言，难度系数04左右，能发挥中考的选拔功能.
25变式题，悟通法
反比例函数的几何不变性隐约闪现的“矩形”，可使题中量之间关系变得简单明了，可谓朴实蕴藏奇异，那它能成为通性通法吗？为此继续探究将问题进行变式：
变式1如图9，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b>0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的同侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
变式2如图10，已知点A，C在反比例函数y=ax（a>0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b<0）的图象上，AB∥CD∥y轴，AB，CD在y轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
变式3如图11，已知点A，C在反比例函数y=ax的图象上，点B，D在反比例函数y=bx的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.
不难发现，位置“变”了，图形“变”了，条件“变”了，但图形基本构件及问题本质“没变”，a-b的几何意义“没变”，问题的解决思路“没变”，解题方法也“没变”，这种立足于学生的已有经验和最近发展区的能以“不变”应“万变”的通法符合学生的常规思维和认知规律，我们应让综合问题的条件加以分析并运用双曲线的核心性质的“几何意义法”成为“自然解法”！3结束语
本题以反比例函数为载体设置问题，实现双曲线与平行线图形的完美组合，突出考查反比例函数的基础知识、曲线上点的坐标与方程的关系、方程思想的应用，体现数形结合、转化、整体、方程等数学思想，皆在考查学生应用相应的数学思想方法解决问题的能力.试题的改编和修正着眼学生现有的知识水平和能力储备，以能力立意，关注核心知识为载体，既关注了知识的融合创新，又注重了解题策略和方法的多样性，不断尝试，不断变化，体现“含而不露”的命题情怀.
