斯特瓦特定理的简证
文[1]用纯几何的方法证明了斯特瓦特定理，笔者对其通过构造三角形的外接圆，以及作出两对等角进而使命题获得证明的方法表示由衷地赞赏.赞赏的同时也引发笔者深深地思考，有无更为简洁的方法？几经探究，发现用勾股定理可以简洁、巧妙地证明斯氏定理.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
文[1]用纯几何的方法证明了斯特瓦特定理，笔者对其通过构造三角形的外接圆，以及作出两对等角进而使命题获得证明的方法表示由衷地赞赏.赞赏的同时也引发笔者深深地思考，有无更为简洁的方法？几经探究，发现用勾股定理可以简洁、巧妙地证明斯氏定理.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
文[1]用纯几何的方法证明了斯特瓦特定理，笔者对其通过构造三角形的外接圆，以及作出两对等角进而使命题获得证明的方法表示由衷地赞赏.赞赏的同时也引发笔者深深地思考，有无更为简洁的方法？几经探究，发现用勾股定理可以简洁、巧妙地证明斯氏定理.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
文[1]用纯几何的方法证明了斯特瓦特定理，笔者对其通过构造三角形的外接圆，以及作出两对等角进而使命题获得证明的方法表示由衷地赞赏.赞赏的同时也引发笔者深深地思考，有无更为简洁的方法？几经探究，发现用勾股定理可以简洁、巧妙地证明斯氏定理.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
文[1]用纯几何的方法证明了斯特瓦特定理，笔者对其通过构造三角形的外接圆，以及作出两对等角进而使命题获得证明的方法表示由衷地赞赏.赞赏的同时也引发笔者深深地思考，有无更为简洁的方法？几经探究，发现用勾股定理可以简洁、巧妙地证明斯氏定理.
斯特瓦特定理如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
分析待证结论是非常规形式，注意到待证式两边的项中，过点A的线段AB、AC、AP均是以平方形式呈现，因此可以考虑过点A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2进行转化，再借助恒等变形，可以简洁、巧妙地证明定理.
证明（1）如图1，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC上.
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③
①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④
②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤
因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）
=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥
把④、⑤代入⑥中，得：
AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC
=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP
=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP
=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（2）如图2，过点A作BC的垂线，垂足H恰好于点C重合.
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧
⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.
所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=
AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=
（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=
（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=
（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.
所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
（3）如图3，过点A作BC的垂线，垂足H在底边BC延长线上.证明同（1）.
综上，斯氏定理得证.
当P在△ABC底边BC延长线上时（如图4），原结论不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨
比对图1与图4，可发现图4中的字母C、P互换位置后便是图1，因此将斯氏定理结论中的字母C、P互换即得⑨.事实上，在图4中，也可直接运用斯氏定理得到⑨.
当P在△ABC底边CB延长线上时，可有类似⑨的结论，限于篇幅不再赘述.
参考文献
[1]丁位卿.斯特瓦特定理的纯几何证法[J].中学数学杂志，2014（6），51-51.
作者简介杨云奎，男，1970年1月生，江苏省灌云人，中学高级教师，连云港初中数学学科带头人，连云港市孙朝仁名师工作室成员，发表论文20余篇.
