基于数学史的中位数和众数的教学实践
吴骏+杜珺+邱宁+殷从全
中位数和众数是继平均数之后，表示数据集中趋势的两个统计量.在对学生的调查中发现，当需要表示一组数据的平均水平时，学生往往认为平均数才是这组数据的代表，而忽视了对中位数和众数的选择使用.究其原因，主要是学生不了解为何要学习中位数和众数，也不知道如何运用这两个统计量，这需要从概念的历史产生过程中寻求解决问题的方案.为此，我们对中位数和众数的历史起源进行考察，设计符合学生认知发展的概念教学案例，并在八年级进行了教学实践.1 教学案例的设计与实践
历史现象学为学生理解中位数和众数概念提供了丰富的素材.然而，历史现象学和教学现象学却是不同的，其差异主要体现在学生缺乏相关的历史背景知识，而且他们也拥有了前人未知的一些知识，因此，在实际教学中，教师需要遵循学生的认知发展规律，把历史现象转化为教学现象，采用自然的方式呈现所教的知识[1].
1.1 从“数”的角度引入中位数，激发学习动机
历史现象 在历史上，中位数几乎是作为平均数的代替品而出现的.1874年，费歇尔（G. T. Fechner， 1801—1887）借助于天文学中行之有效的方法，使用中位数来描述社会和心理现象.埃其渥斯（F. Y. Edgeworth，1845-1926）发现平均数对极端值的敏感性，而中位数比平均数更稳健（robustness）（稳健性用于描述对极端值的不敏感性），因此选择了中位数代替平均数.这可能源于埃其渥斯对经济学的兴趣，因为经济学中大多是一些不规则的数据.现在，中位数的稳健性是使用它的主要原因.
教学案例1 在汶川大地震的捐款活动中，某校八年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.这组数据的平均数能比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗？
设计说明 学生习惯于把平均数作为数据的平均水平，他们对平均数的选择使用往往优于中位数和众数.该案例的设计拟合了中位数的历史发展规律，即采用一组带有极端值的不规则数据，让学生产生认知冲突，激发论证中位数代替平均数的合理性.
教学实践 任课教师认为，如果先介绍中位数起源的历史，则学生自然会想到用中位数作为平均水平的代表，这就失去了激发学生学习动机的目的.因此，教学中需要先讲案例，引入中位数概念，再介绍中位数的历来起源.以下是关于该案例的一段师生对话：
教师：你能求出这组数据的平均数吗？
学生：能.（过了一会）平均数为106.
教师：平均数能反映全班同学捐款的“平均水平”吗？
学生：捐款超过106的人数只有1个，因而不能代表全班同学捐款的平均水平.
教师：为什么会出现这种情况？
学生：最大值和最小值差异过大，其中最大值80远远大于其余的数据，拉大了这组数据的平均水平.
教师：也就是说，当数据中出现极端值时，平均数不能作为这组数据的代表，这时我们需要学习另外一个表示集中趋势的概念，即中位数.
1.2 从“形”的角度考察中位数，强化概念理解
历史现象 1882年，高尔顿（F. Galton，1822—1911）第一次使用“中位数”这个术语.与数学历史经常发生的情况一样，高尔顿在使用这个术语之前就已经知道了这个概念，但他使用其他的术语，如“最中间的值”，“中等的”等.1874年，他在一次演讲中给出了下列描述：“一个占据中间位置的物体具有这样的性质，比它多的物体的数目等于比它少的物体的数目.”[2]
教学案例2 如下图，数轴的上方有一些质点，每个质点的取值用数轴上的坐标来表示，如何寻找这些质点的中位数位置[3]？
设计说明 数据的分布是决定使用平均数和中位数的关键所在，而大多数学生还没有形成数据呈现偏态分布的意识，因此，当数据呈不规则分布时，他们容易混淆对平均数和中位数的理解.该案例改编自历史现象，要求在偏态分布中，学生能够区分平均数和中位数所处的位置.
教学实践 有学生错误地认为，中位数就是质点最大坐标与最小坐标的中点值，或数轴的最大值与最小值的平均数，还有学生干脆把印发材料的那张纸对折，中间那条印痕就是中位数所在的位置.通过讨论，大家澄清了各种错误认识，认为中位数所处位置应该使左右两边质点的个数相等，即在数轴上坐标34偏左一点.
课后有一个学生说，可以把右边比较分散的点移到坐标34～36的上面，把左边分散的点移到坐标30～32的上面，这时质点比较集中，就容易看出中位数的位置在坐标34附近.这个想法可谓别出心裁，大大超出教师和研究者的想象.研究者对该生进行了访谈：
研究者：你是如何想到移动质点这个方法的？
赵同学：这些质点一个一个地数就太多了，可以把它们移动了放在一起，两边相互对称就容易找到中位数的位置了.
可见，该同学寻找质点中位数位置的方法与高尔顿描述的方法具有历史相似性.
教学反思 在实际教学中，学生对中位数的理解比平均数更困难.（1）“献爱心”捐款活动，中位数的引入遵循历史发展顺序，学生感受到中位数存在的意义与必要.（2）设计质点中位数问题，从“形”的视角加深对中位数意义的理解.同时也发现，学生思维的活跃性不可低估.
1.3讲述古代战争故事，引入众数概念
相对来说，众数容易理解.第一个使用众数的例子，可能出现在雅典和斯巴达战争中发生的故事.
教学案例3 在公元前428年冬天，普拉铁阿人被伯罗奔尼撒人和皮奥夏人包围.不久，他们开始出现粮食短缺，处于绝望之中.由于从雅典人那里获得援助已经没有希望了，也看不到其他安全突围的方法，普拉铁阿人和被包围的一些雅典人计划弃城而去，他们打算做梯子翻过敌人的城墙.由于梯子的高度要与敌人城墙的高度一样，为此，可以数敌人城墙上砖块的层数来计算城墙的高度.在相同的时间，很多人数了砖块的层数.问：如何确定砖块的层数[2]？
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
中位数和众数是继平均数之后，表示数据集中趋势的两个统计量.在对学生的调查中发现，当需要表示一组数据的平均水平时，学生往往认为平均数才是这组数据的代表，而忽视了对中位数和众数的选择使用.究其原因，主要是学生不了解为何要学习中位数和众数，也不知道如何运用这两个统计量，这需要从概念的历史产生过程中寻求解决问题的方案.为此，我们对中位数和众数的历史起源进行考察，设计符合学生认知发展的概念教学案例，并在八年级进行了教学实践.1 教学案例的设计与实践
历史现象学为学生理解中位数和众数概念提供了丰富的素材.然而，历史现象学和教学现象学却是不同的，其差异主要体现在学生缺乏相关的历史背景知识，而且他们也拥有了前人未知的一些知识，因此，在实际教学中，教师需要遵循学生的认知发展规律，把历史现象转化为教学现象，采用自然的方式呈现所教的知识[1].
1.1 从“数”的角度引入中位数，激发学习动机
历史现象 在历史上，中位数几乎是作为平均数的代替品而出现的.1874年，费歇尔（G. T. Fechner， 1801—1887）借助于天文学中行之有效的方法，使用中位数来描述社会和心理现象.埃其渥斯（F. Y. Edgeworth，1845-1926）发现平均数对极端值的敏感性，而中位数比平均数更稳健（robustness）（稳健性用于描述对极端值的不敏感性），因此选择了中位数代替平均数.这可能源于埃其渥斯对经济学的兴趣，因为经济学中大多是一些不规则的数据.现在，中位数的稳健性是使用它的主要原因.
教学案例1 在汶川大地震的捐款活动中，某校八年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.这组数据的平均数能比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗？
设计说明 学生习惯于把平均数作为数据的平均水平，他们对平均数的选择使用往往优于中位数和众数.该案例的设计拟合了中位数的历史发展规律，即采用一组带有极端值的不规则数据，让学生产生认知冲突，激发论证中位数代替平均数的合理性.
教学实践 任课教师认为，如果先介绍中位数起源的历史，则学生自然会想到用中位数作为平均水平的代表，这就失去了激发学生学习动机的目的.因此，教学中需要先讲案例，引入中位数概念，再介绍中位数的历来起源.以下是关于该案例的一段师生对话：
教师：你能求出这组数据的平均数吗？
学生：能.（过了一会）平均数为106.
教师：平均数能反映全班同学捐款的“平均水平”吗？
学生：捐款超过106的人数只有1个，因而不能代表全班同学捐款的平均水平.
教师：为什么会出现这种情况？
学生：最大值和最小值差异过大，其中最大值80远远大于其余的数据，拉大了这组数据的平均水平.
教师：也就是说，当数据中出现极端值时，平均数不能作为这组数据的代表，这时我们需要学习另外一个表示集中趋势的概念，即中位数.
1.2 从“形”的角度考察中位数，强化概念理解
历史现象 1882年，高尔顿（F. Galton，1822—1911）第一次使用“中位数”这个术语.与数学历史经常发生的情况一样，高尔顿在使用这个术语之前就已经知道了这个概念，但他使用其他的术语，如“最中间的值”，“中等的”等.1874年，他在一次演讲中给出了下列描述：“一个占据中间位置的物体具有这样的性质，比它多的物体的数目等于比它少的物体的数目.”[2]
教学案例2 如下图，数轴的上方有一些质点，每个质点的取值用数轴上的坐标来表示，如何寻找这些质点的中位数位置[3]？
设计说明 数据的分布是决定使用平均数和中位数的关键所在，而大多数学生还没有形成数据呈现偏态分布的意识，因此，当数据呈不规则分布时，他们容易混淆对平均数和中位数的理解.该案例改编自历史现象，要求在偏态分布中，学生能够区分平均数和中位数所处的位置.
教学实践 有学生错误地认为，中位数就是质点最大坐标与最小坐标的中点值，或数轴的最大值与最小值的平均数，还有学生干脆把印发材料的那张纸对折，中间那条印痕就是中位数所在的位置.通过讨论，大家澄清了各种错误认识，认为中位数所处位置应该使左右两边质点的个数相等，即在数轴上坐标34偏左一点.
课后有一个学生说，可以把右边比较分散的点移到坐标34～36的上面，把左边分散的点移到坐标30～32的上面，这时质点比较集中，就容易看出中位数的位置在坐标34附近.这个想法可谓别出心裁，大大超出教师和研究者的想象.研究者对该生进行了访谈：
研究者：你是如何想到移动质点这个方法的？
赵同学：这些质点一个一个地数就太多了，可以把它们移动了放在一起，两边相互对称就容易找到中位数的位置了.
可见，该同学寻找质点中位数位置的方法与高尔顿描述的方法具有历史相似性.
教学反思 在实际教学中，学生对中位数的理解比平均数更困难.（1）“献爱心”捐款活动，中位数的引入遵循历史发展顺序，学生感受到中位数存在的意义与必要.（2）设计质点中位数问题，从“形”的视角加深对中位数意义的理解.同时也发现，学生思维的活跃性不可低估.
1.3讲述古代战争故事，引入众数概念
相对来说，众数容易理解.第一个使用众数的例子，可能出现在雅典和斯巴达战争中发生的故事.
教学案例3 在公元前428年冬天，普拉铁阿人被伯罗奔尼撒人和皮奥夏人包围.不久，他们开始出现粮食短缺，处于绝望之中.由于从雅典人那里获得援助已经没有希望了，也看不到其他安全突围的方法，普拉铁阿人和被包围的一些雅典人计划弃城而去，他们打算做梯子翻过敌人的城墙.由于梯子的高度要与敌人城墙的高度一样，为此，可以数敌人城墙上砖块的层数来计算城墙的高度.在相同的时间，很多人数了砖块的层数.问：如何确定砖块的层数[2]？
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
设计说明 历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣.在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念.
教学实践 教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中.学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度.随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数.
1.4 联系现实生活问题，拓展众数应用
历史现象 还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题.在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了.在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点.随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则.根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定.
教学案例4 如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？
设计说明 当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量.本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色.把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解.实际上，美国Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad，glad，glad，mad，sad的众数是sad和glad.
教学实践 学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃.讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：
教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？
学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等.
教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？
学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表.
教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？
学生：选票.
教师：如何确定选举产生的科代表？
学生：票数最多的当选.
教师：用哪一个数表示票数的多少？
学生：众数.
教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？
学生：白色鞋子.
教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？
学生：（思考之后得出）得票最多的同学.
教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？
学生：不一定.
教学反思 （1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中.（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的.
2 学生反馈
2.1 问卷测试
为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示.
前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由.
后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由.
从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多.教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上.学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识.为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确.究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关.
2.2 个别访谈
梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步.叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬.为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈.下面是研究者对梁同学的访谈片段：
研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？
梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法.
研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？
梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣.这一节，既讲了故事又学习了知识.
由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性.下面是对叶同学访谈的一个片段：
研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？
叶同学：有用.这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念.
研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？
叶同学：中位数.
研究者：为什么最喜欢这个内容？
叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）.
从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质.
综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果.
参考文献
[1] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗
[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗
[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗
