探究转化模型 解法自然生成
摘 要:在数学教学中,例题、习题的教学是学生建构知识的重要平台.数学教育家乔治·波利亚指出:“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”因此如何充分发挥每道例题的功能,达到数学教学的目标,是摆在每一位教师面前的一个重要课题.本文从一道典型例题出发,探讨求三角形中线段长度的方法,通过对各种解法的梳理、比较、优化、拓展和延伸,寻找其内在的联系和规律.
关键词:解题教学;教育价值;解法探究
作者简介:齐欣(1976-),男,山东临清人,本科,中学高级教师,研究方向:初中数学教学.
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在第三学段(7~9年级)的“学段目标”中提出:经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.中考填空压轴题经过命题者精心设计,典型性是不言而喻的,能否探究挖掘例题的思维价值,充分发挥例题的辐射作用,使之有效服务于数学教学,提高数学教学效率,体现了一名数学教师的基本素养.
1 试题呈现
题目 (2015年上海中考第18题)已知在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,将△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C处,此时点C落在点D处,延长线段AD,交原△ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于多少?
2 教育价值分析
2.1 培养思维能力
本题用到解直角三角形、相似、勾股定理、等腰三角形性质、旋转的性质及一元一次方程、一元二次方程、分式方程、方程组、二次根式化简等知识,应用旋转变换的基础知识,画图分析问题、解决问题的能力,探究转化能力,建立有效数学模型的能力.这正是选择本题作为例题的意图.图形变换能很好地促进和发展学生的空间想象能力、逻辑思维能力[1].例题涵盖知识面广、解法多,有较大的探索空间,有利于学生探究及思维能力的培养.从不同的思维角度分析解答同一道题目,得到不同的解题方法.这种一题多解的训练,在教学中经常用到,它有利于培养学生的发散思维能力,增加题目涉及的知识广度,提高课堂教学效率.另外,对不同的解法进行比较,引导学生进行评价,能让他们更好地优化解题思路,总结解题规律,是一种聚合思维的训练.
2.2 体会转化思想
探究三角形中线段长度的求解方法,明确问题转化的方向,通过探究转化模型,优化解题方法,培养学生的思维能力和品质是教学的主要目标[2].为了更好地渗透“数形结合、转化”的数学思想和体现例题的辐射作用,训练学生的思维能力,提炼解题模块和基本图形,生成了7个转化模型.转化思想一方面体现在解题的具体操作过程中,更重要的是例题的不同解法表明:探究以上思路的可行性,更好地通过解题体会知识之间的转化过程,发现知识的相互联系,理清知识脉络,构建网络体系.
3 解法探究
3.1 “垂线”转化
解法9~14似乎将简单的问题复杂化了,但是,这样的思维却能使我们的探索更加深入.纵观添加了辅助线的各种解法,作垂线转化是共同之处,促进了知识的融会贯通.
5 结语
根据教学目标和知识特征,结合具体学情,采用适当的教学方法,有目的性、有针对性、有选择性、收放自如地引导学生学习,激发学生的求知欲,教给学生探究的方法和策略,培养科学的探究精神.在学习基础知识、掌握基本技能的同时,对基本的数学思想方法逐步深化认识,积累良好的基本活动经验.这就是对例题的教育价值进行的分析.是教师的真功夫,以便站在一定的高度上弄清例题的解法,把握编者或命题者的意图,使教学更加游刃有余[3].
这样做,从数学知识的角度来看,打通了知识之间的联系,形成良好的知识网络体系;从思想方法的角度来看,渗透了通过添加辅助线来转化思想方法;从问题的解决过程来看,加强了三角函数、勾股定理、三角形相似、图形面积之间的联系,巩固了一元二次方程、比例、分式方程、二次根式化简等知识,提高了运算能力.更重要的是提炼解题规律,积累解题模块和数学思想方法,使学生对解决同类问题有思路和方法可循.
初中数学的教学实践证明,例题教学的目的一定是积累解决问题的方法和解题经验,既能夯实基础知识,又能让学生感悟基本数学思想方法,积累基本解题活动经验及解题模块.探究转化模型的教学达到了让学生寻找联系、展开探究、激活思维的目的.数学的教学特别要重视提炼数学模型,积累解题模块,让学生学会以整体、联系、动态的观点进行思考,使零碎、隐性的解题经验显性化、系统化.
在解题教学中通过挖掘例题潜在的思维价值,激活学生思维,主动探究解决问题的方法并积累解题经验,这不就是数学教师追求的永恒主题吗?
参考文献:
[1]張春英.近五年上海中考第18题引发的教学思考[J].上海中学数学, 2015(Z1):22-23.
[2]齐欣.一题多变 贵在转化[J].福建中学数学, 2009(02):44.
[3]张振兴.一题多解,探寻教材例题的教学价值[J].中国数学教育,2012(23):41-44.
(收稿日期:2020-12-19)