大学经济数学
田东红 李玲娜
[摘 要]大多数经济类专业学生在学习大学经济数学——微积分时，存在热情不高、学习能力较弱、为考试过关而学习等现象。如何有效地改变学生的学习状态，是每个任课教师都应该思考的问题。实例教学设计是一种导向，通过经济管理领域内的实际问题，将经济学与数学有效地结合在一起，引入数学建模思想，改变教学方式和方法，以期调动学生的学习积极性。
[关键词]经济数学；微积分；教学方法；数学建模；案例教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）02-0068-02
一、引言
我给经济类专业学生讲授经济数学——微积分课程已有好几年了，经过这些年与经济类专业学生接触，总结出他们在学习该门课程时的几个特点：一是大多数经济类专业学生是文科生，数学基础较薄弱，运算能力和逻辑推理能力普遍较差，学生学习该课程时经常出现畏难情绪；二是与理工科学生相比，大多数经济类专业学生学习数学课程的热情较低，觉得数学课程跟专业课关系不大，没有意识到数学知识对专业课程的作用而应付了事；三是他们应用数学知识解决实际问题的能力普遍较差，缺乏运用数学知识解决经济管理中实际问题的意识。
如何在经济数学——微积分课程的教学中，有效地改变学生的学习状态、调动学生的主动性、提高学生解决实际问题的能力，使得课堂不再枯燥无味是亟待解决的问题。本文主要探讨教师在经济数学——微积分授课中进行案例教学以及渗透数学建模思想，从而将数学与经济学有效结合，以期收到更好的教学效果。
二、将经济管理中的问题渗透到教学中
在经济管理中，有很多理论与现象都跟数学知识紧密联系，教师在讲解经管院的数学课程时，要注意将数学与经济学相结合。但是将两者结合时，要注意在肯定经济分析中数学重要作用的同时，也不能过分强调数学的作用，否则，学生会对数学学习产生畏难情绪甚至会厌烦数学。授课过程中，极限、导数、积分、微分方程、差分方程、无穷级数等重要知识点都可以结合经济问题讲解，具体的教学设计可以参考“经济——数学——经济”的模式展开，即从实际经济现象出发，引导学生思考，再应用数学理论方法分析问题的实质，从而引出数学知识点，最后再用所学知识点指导学生分析类似的经济问题。比如，导数是微积分中的重要概念，在经济中也有广泛应用，在讲解导数时，可以按照下面的教学设计展开。
（一）精心选取引例
教师通过具体实例，提出经济管理中边际的概念。边际是经济学中进行经济分析时经常用到的一个概念，在微观经济学中是指自变量增加一个单位时所引起的因变量的增加量。但是对于大多数大一学生来说，他们还没有听说过边际的概念，教师不宜选取复杂的引例，而应给学生举一些生活中常见的实例，引导学生思考。比如，一个人肚子很饿，打算买馒头吃，第一个馒头带给他的效益最大，因为那时候他最饿；第二个馒头的效益就比第一个馒头减少了，因为有一个馒头已经进肚了，不是那么饿了……第五个的效益最小甚至为负，因为那个时候他几乎已经吃饱甚至都要吃撑了。每支出一个馒头的价钱产生的效益，也就是你感觉花每一份钱买来的价值，就是边际效益。这样教学就能生动地引入经济管理中边际的概念。
（二）讲解数学概念
在引例的基础上，提出数学中导数的概念。当一个变量（效益）随另一个变量（馒头数量）发生变化时，导数提供了关于这种变化的大小和方向的信息，这样就可以与引例呼应。假设产品数量是连续变化的，于是产品单位可无限细分。若产品数量从x增加到x+Δx，由此引起的总效益增量为ΔR=R（Δx+x）-R（x），两者的比值■=■表示在x和x+Δx之间总效益的平均变化率。当Δx → 0时，若■■存在，则将此极限称为边际效益，在数学上称为效益函数的导数，记为R′（x）。于是，经济学中求边际效益的问题就转化为数学上求导数的问题。
（三）強化经济学与数学的结合
教师讲解完导数的概念后，再引导学生回到经济管理中的边际问题，如边际成本、边际收入、边际需求、边际利润等。举一个边际利润的实例：通过历史销售数据分析发现，总利润L（元）与每月产量x（支）之间的函数关系为L（x）=250x-50x2，请学生确定每月产量为20支时的边际利润。该问题类似于引例中的边际效益，可引导学生根据边际效益计算边际利润。所求的边际利润应为总利润函数在自变量为20时的导数：L′（20）=■■=50。可知当x=20支时，每增加1支产量，利润增加50元。
三、将数学建模思想渗透到经济数学教学中
素质教育是数学教育的本质。教师在数学教育中不仅要让学生学会一些概念、定理和公式，更要让学生领会到数学精神，学会“用数学”。但是，长期以来的传统教育显然是不够重视对学生“用数学”能力的培养，学生学习数学时感到十分吃力，甚至产生畏难情绪，这种现象在文科生中更为明显。基于这种现状，任课教师应考虑将数学建模思想渗透到经济数学教学中。通过具体实例的建模过程，学生将体会到数学学习的重要性，更加积极主动地运用数学知识解决实际问题。如何在教学中渗透数学建模思想是一个值得探讨的问题。一般情况下，数学知识不能直接解决实际问题，需要依据变量和变量之间的关系建立数学模型。教师可以参考下面的案例进行教学设计。
（一）案例准备，提出问题
为了提高学生解决实际问题的能力，更好地理解所学知识，教师讲授完一个重要知识点或章节后，要精心准备实际问题，除了要与理论知识密切联系外，还要讲究趣味性，另外要注意结合学生的实际水平，不能选太复杂的问题。比如，在讲完函数的极值与最值知识点之后，可花一个学时来讲解类似下面的建模问题。
有甲、乙两家企业生产同一种产品，边际成本函数分别为C1和C2，该产品的价格关于需求量的函数为P（Q）=a-bQ，其中Q=q1+q2为两家企业的总产量，a，b均为非负常数。若乙企业先宣布其产量为q2，那么两家企业该怎样安排生产，才能使各自的利润达到最大值？
（二）分析问题，建立数学模型
本题实际上是一个合理安排生产量的问题，目标应该是两个企业的利润各自达到最大值，需要用到数学中求极值与最值的知识。
依据“利润是收入与成本的差额”的经济学思想，教师引导学生写出甲、乙两家企业各自的利润函数：Ri（q1，q2）=p（Q）qi-Ciqi，i=1，2，其中i=1代表甲企业，i=2代表乙企业。乙企业已经先宣布产量为q2，对于甲企业来说，目标应为在乙企业产量为q2时确定产量 ■，使利润达到最大值。然而对于乙企业来说，可以预测到甲企业的产量将为 ■ ，乙企业必然会在甲企业产量 ■ 的条件下，确定最优产量 ■，以使利润达到最大值。于是目标函数可建为 maxR1（q1，q2）=[a-b（q1+q2）]q1-C1q1
maxR2（■，q2）=[a-b（■+q2）]q2-C1q2
（三）求解模型，分析结果
根据极值的相关理论，求极大值的问题可以转化为求驻点的问题，于是应有■=a-2bq1-bq2-C1=0，从而可以解出甲企业的最优产量 ■ =■。同理可建立方程■=0，将 ■ 代入方程即可解得 ■ =■。
此时， ■ 和 ■ 满足斯塔克尔伯格均衡。斯塔克尔伯格模型是一个产量领导模型，厂商之间存在着行动次序的区别。产量的决定依据以下次序：领导性厂商决定一个产量，跟随厂商可以观察到这个产量，然后根据领导性厂商的产量来决定自己的产量。需要注意的是，领导性厂商在决定产量的时候，会充分了解到跟随厂商将如何行动。因此，领导性厂商自然会预期到决定的产量对跟随厂商的影响。对于这种问题，我们可以使用数学中求最值的思路建立数学模型解决。由此可见，数学建模在经济管理中起着重要作用，有利于资源有效配置。
（四）模型检验和改进
该模型还需要进一步检验和改进，此处省略。
四、结语
传统的经济数学——微积分课程的授课方式还有很多值得探讨的地方，本文所提出的实例教学设计是一种导向，通过经济管理领域内的实际问题，将经济学与数学有效地结合在一起，引入数学建模思想，改变教学方式和方法，以期调动学生的学习积极性。任课教师应根据具体的授课内容和授课对象，多选取经济管理领域内的实际例子进行教学设计，使经济类专业学生喜欢上数学，提高他们运用数学知识解决问题的能力。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 吴建国.面向创新教育的经济数学课程改革思考[J].大学数学，2007（1）.
[2] 吳传生， 李艳馥.经济数学课程教学资源建设的探索与实践[J].中国大学教学，2007（4）.
[3] 张丽娟.导数的应用浅析[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2009（9）.
[4] 杨月梅.经济数学在金融经济分析中的应用浅析[J]. 廊坊师范学院学报（自然科学版），2013（2）.
[5] 刘富豪，张丽莉，蒋汉军.浅谈大学教学中数学建模研究与实践[J].大学教育，2014（3）.
[责任编辑：钟伟芳]
[摘 要]大多数经济类专业学生在学习大学经济数学——微积分时，存在热情不高、学习能力较弱、为考试过关而学习等现象。如何有效地改变学生的学习状态，是每个任课教师都应该思考的问题。实例教学设计是一种导向，通过经济管理领域内的实际问题，将经济学与数学有效地结合在一起，引入数学建模思想，改变教学方式和方法，以期调动学生的学习积极性。
[关键词]经济数学；微积分；教学方法；数学建模；案例教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）02-0068-02
一、引言
我给经济类专业学生讲授经济数学——微积分课程已有好几年了，经过这些年与经济类专业学生接触，总结出他们在学习该门课程时的几个特点：一是大多数经济类专业学生是文科生，数学基础较薄弱，运算能力和逻辑推理能力普遍较差，学生学习该课程时经常出现畏难情绪；二是与理工科学生相比，大多数经济类专业学生学习数学课程的热情较低，觉得数学课程跟专业课关系不大，没有意识到数学知识对专业课程的作用而应付了事；三是他们应用数学知识解决实际问题的能力普遍较差，缺乏运用数学知识解决经济管理中实际问题的意识。
如何在经济数学——微积分课程的教学中，有效地改变学生的学习状态、调动学生的主动性、提高学生解决实际问题的能力，使得课堂不再枯燥无味是亟待解决的问题。本文主要探讨教师在经济数学——微积分授课中进行案例教学以及渗透数学建模思想，从而将数学与经济学有效结合，以期收到更好的教学效果。
二、将经济管理中的问题渗透到教学中
在经济管理中，有很多理论与现象都跟数学知识紧密联系，教师在讲解经管院的数学课程时，要注意将数学与经济学相结合。但是将两者结合时，要注意在肯定经济分析中数学重要作用的同时，也不能过分强调数学的作用，否则，学生会对数学学习产生畏难情绪甚至会厌烦数学。授课过程中，极限、导数、积分、微分方程、差分方程、无穷级数等重要知识点都可以结合经济问题讲解，具体的教学设计可以参考“经济——数学——经济”的模式展开，即从实际经济现象出发，引导学生思考，再应用数学理论方法分析问题的实质，从而引出数学知识点，最后再用所学知识点指导学生分析类似的经济问题。比如，导数是微积分中的重要概念，在经济中也有广泛应用，在讲解导数时，可以按照下面的教学设计展开。
（一）精心选取引例
教师通过具体实例，提出经济管理中边际的概念。边际是经济学中进行经济分析时经常用到的一个概念，在微观经济学中是指自变量增加一个单位时所引起的因变量的增加量。但是对于大多数大一学生来说，他们还没有听说过边际的概念，教师不宜选取复杂的引例，而应给学生举一些生活中常见的实例，引导学生思考。比如，一个人肚子很饿，打算买馒头吃，第一个馒头带给他的效益最大，因为那时候他最饿；第二个馒头的效益就比第一个馒头减少了，因为有一个馒头已经进肚了，不是那么饿了……第五个的效益最小甚至为负，因为那个时候他几乎已经吃饱甚至都要吃撑了。每支出一个馒头的价钱产生的效益，也就是你感觉花每一份钱买来的价值，就是边际效益。这样教学就能生动地引入经济管理中边际的概念。
（二）讲解数学概念
在引例的基础上，提出数学中导数的概念。当一个变量（效益）随另一个变量（馒头数量）发生变化时，导数提供了关于这种变化的大小和方向的信息，这样就可以与引例呼应。假设产品数量是连续变化的，于是产品单位可无限细分。若产品数量从x增加到x+Δx，由此引起的总效益增量为ΔR=R（Δx+x）-R（x），两者的比值■=■表示在x和x+Δx之间总效益的平均变化率。当Δx → 0时，若■■存在，则将此极限称为边际效益，在数学上称为效益函数的导数，记为R′（x）。于是，经济学中求边际效益的问题就转化为数学上求导数的问题。
（三）強化经济学与数学的结合
教师讲解完导数的概念后，再引导学生回到经济管理中的边际问题，如边际成本、边际收入、边际需求、边际利润等。举一个边际利润的实例：通过历史销售数据分析发现，总利润L（元）与每月产量x（支）之间的函数关系为L（x）=250x-50x2，请学生确定每月产量为20支时的边际利润。该问题类似于引例中的边际效益，可引导学生根据边际效益计算边际利润。所求的边际利润应为总利润函数在自变量为20时的导数：L′（20）=■■=50。可知当x=20支时，每增加1支产量，利润增加50元。
三、将数学建模思想渗透到经济数学教学中
素质教育是数学教育的本质。教师在数学教育中不仅要让学生学会一些概念、定理和公式，更要让学生领会到数学精神，学会“用数学”。但是，长期以来的传统教育显然是不够重视对学生“用数学”能力的培养，学生学习数学时感到十分吃力，甚至产生畏难情绪，这种现象在文科生中更为明显。基于这种现状，任课教师应考虑将数学建模思想渗透到经济数学教学中。通过具体实例的建模过程，学生将体会到数学学习的重要性，更加积极主动地运用数学知识解决实际问题。如何在教学中渗透数学建模思想是一个值得探讨的问题。一般情况下，数学知识不能直接解决实际问题，需要依据变量和变量之间的关系建立数学模型。教师可以参考下面的案例进行教学设计。
（一）案例准备，提出问题
为了提高学生解决实际问题的能力，更好地理解所学知识，教师讲授完一个重要知识点或章节后，要精心准备实际问题，除了要与理论知识密切联系外，还要讲究趣味性，另外要注意结合学生的实际水平，不能选太复杂的问题。比如，在讲完函数的极值与最值知识点之后，可花一个学时来讲解类似下面的建模问题。
有甲、乙两家企业生产同一种产品，边际成本函数分别为C1和C2，该产品的价格关于需求量的函数为P（Q）=a-bQ，其中Q=q1+q2为两家企业的总产量，a，b均为非负常数。若乙企业先宣布其产量为q2，那么两家企业该怎样安排生产，才能使各自的利润达到最大值？
（二）分析问题，建立数学模型
本题实际上是一个合理安排生产量的问题，目标应该是两个企业的利润各自达到最大值，需要用到数学中求极值与最值的知识。
依据“利润是收入与成本的差额”的经济学思想，教师引导学生写出甲、乙两家企业各自的利润函数：Ri（q1，q2）=p（Q）qi-Ciqi，i=1，2，其中i=1代表甲企业，i=2代表乙企业。乙企业已经先宣布产量为q2，对于甲企业来说，目标应为在乙企业产量为q2时确定产量 ■，使利润达到最大值。然而对于乙企业来说，可以预测到甲企业的产量将为 ■ ，乙企业必然会在甲企业产量 ■ 的条件下，确定最优产量 ■，以使利润达到最大值。于是目标函数可建为 maxR1（q1，q2）=[a-b（q1+q2）]q1-C1q1
maxR2（■，q2）=[a-b（■+q2）]q2-C1q2
（三）求解模型，分析结果
根据极值的相关理论，求极大值的问题可以转化为求驻点的问题，于是应有■=a-2bq1-bq2-C1=0，从而可以解出甲企业的最优产量 ■ =■。同理可建立方程■=0，将 ■ 代入方程即可解得 ■ =■。
此时， ■ 和 ■ 满足斯塔克尔伯格均衡。斯塔克尔伯格模型是一个产量领导模型，厂商之间存在着行动次序的区别。产量的决定依据以下次序：领导性厂商决定一个产量，跟随厂商可以观察到这个产量，然后根据领导性厂商的产量来决定自己的产量。需要注意的是，领导性厂商在决定产量的时候，会充分了解到跟随厂商将如何行动。因此，领导性厂商自然会预期到决定的产量对跟随厂商的影响。对于这种问题，我们可以使用数学中求最值的思路建立数学模型解决。由此可见，数学建模在经济管理中起着重要作用，有利于资源有效配置。
（四）模型检验和改进
该模型还需要进一步检验和改进，此处省略。
四、结语
传统的经济数学——微积分课程的授课方式还有很多值得探讨的地方，本文所提出的实例教学设计是一种导向，通过经济管理领域内的实际问题，将经济学与数学有效地结合在一起，引入数学建模思想，改变教学方式和方法，以期调动学生的学习积极性。任课教师应根据具体的授课内容和授课对象，多选取经济管理领域内的实际例子进行教学设计，使经济类专业学生喜欢上数学，提高他们运用数学知识解决问题的能力。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 吴建国.面向创新教育的经济数学课程改革思考[J].大学数学，2007（1）.
[2] 吳传生， 李艳馥.经济数学课程教学资源建设的探索与实践[J].中国大学教学，2007（4）.
[3] 张丽娟.导数的应用浅析[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2009（9）.
[4] 杨月梅.经济数学在金融经济分析中的应用浅析[J]. 廊坊师范学院学报（自然科学版），2013（2）.
[5] 刘富豪，张丽莉，蒋汉军.浅谈大学教学中数学建模研究与实践[J].大学教育，2014（3）.
[责任编辑：钟伟芳]
