绳、杆连接的物体模型分析

马继坤


高中物理力学问题中经常出现牵连运动,主要体现为“两个物体用轻绳(或轻杆)维系着向不同方向运动且速度不同,但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同”.
這种特殊的运动形式与一般意义的动力学连接体运动有很大的区别,通常不宜采用牛顿运动定律去求解,大多数可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析(标量运算)”,也可以用“微元法(借助三角函数)”来处理,能够准确地找到两物体之间的速度牵连关系(矢量运算)往往是求解这类问题的关键.
在这类模型中,求解关联速度的问题,是我们将要探究的重点.由于两个物体相互关联,一般地我们都要按“运动效果”分解成:沿着绳子(或杆)的速度分量[改变绳子(或杆)速度的大小]和垂直于绳子(或杆)方向的速度分量[改变绳子(或杆)速度的方向].
例1 如图1所示,汽车以速度v匀速行驶,当汽车到达图示位置时,绳子与水平方向的夹角是θ,此时物体M的上升速度大小为多少?(结果用v和θ表示)
解析 解法一:运动效果分解法
物体M与有段绳子上升的速率相同,而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v1是相等的.与车相连的端点的实际运动速度就是合速度,且与汽车速度v相同.分析左端绳子的运动可知,它其实同时参与了两个分运动,即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动.
将车速v分解为沿绳方向的速度v1和垂直绳子方向的速度v2,如图2所示.根据平行四边形定则可得v1= vcosθ.
所以,物体M上升速度的大小为
v' =vcos θ.
【点评】①物体的运动一定是合运动;②物体的运动才能分解成沿绳子(或杆)——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子(或杆)——改变绳子(或杆)运动方向的分量;③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质.
解法二:位移微元法
如图3所示,假设端点A水平向左匀速移动微小位移△s至B,此过程中左段绳子长度增大了△s1(过A向OB作垂线AP,因顶角很小,故0P≈OA),即物体上升了△sl,
【点评】这是一种数学的方法.这种方法揭示了“运动效果分解法”的本质,常常借助三角函数来求解,不失为一种很好的方法.
解法三:功能关系法
不计滑轮、绳子质量及一切摩擦,由功能关系可知,在汽车前行牵引物体上升的过程中,汽车对绳子的拉力F所做的功W(对应功率设为P)等于绳子对物体拉力F′所做的功W′(对应功率设为P')
设作用时间(相等)为△t,则
F=F′,W=W′,故W/△t=W′/△t,P=P′
又因为P= Fvcosθ,P′=F′v′
解得物体上升速度的大小为v′=vcos θ
[点评]这种方法从功能关系上揭示了“运动效果分解法”的本质,可以说是一种特别好理解的物理方法.这类问题从解法上常常与功能关系、动能定理联系起来,增加了题目的内涵.
例2 如图4所示,小船用绳索通过定滑轮牵引,设水对小船阻力不变,在小船以速度v匀速靠岸的过程中拉绳的速度v′应怎样变化?
解析 由题中已知条件,小船的实际运动是以速度v沿水平方向的匀速直线运动,可将其分解为绕滑轮转动和沿绳方向的直线运动.
如图5 所示,根据平行四边形法则画出小船运动的矢量图.
已知小船的速度为v,是题中所给的直接条件,因此我们可以直接求出拉绳的速度.
可得v′= vcosθ,并且逐渐变小.
例3 如图6所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上.A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时,测得A沿水平面运动的速度为v,这时细绳与水平面的夹角为θ,试分析计算B下降h过程中,地面摩擦力对A做的功?(滑轮的质量和摩擦均不计)
解析 把物体A、B看成一个整体,对该系统进行受力分析.B下降过程中,B的重力做正功mgh,摩擦力对A做负功,设为Wf.
由于A与水平面间的正压力是变化的,又不知动摩擦因数、Wf不能用功的定义求得,只能通过动能定理来求解Wf.
A的实际运动沿速度v的方向,它可以分解为分别是沿绳方向和绕滑轮转动两个分运动;画出如图7的矢量图;
由图可知,v1为绳的速度,也就是该时刻物体B的瞬时速度,v1= vcos θ.
对系统列动能定理表达式:
【点评】此题关键点是利用运动合成与分解的知识求出速度,才能列出动能定理表达式.由此可见,学好运动的合成与分解是至关重要的.
例4 如图8,重物M沿竖直杆下滑,并通过绳带动小车m沿斜面升高.则:当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角,且重物下滑的速率为v时,小车的速度v′为多少?
解析 物体朋的速度就是合运动的速度.它可以分解成沿着绳子的速度v′(即小车的速度)和改变绳子方向的速度v″.
由几何关系得小车的速度v′= vcosθ
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