英国初中代数课程“数形结合”思想研究
杨 彦
に罩荽笱数学系 215006
オ
1 序 言
代数的抽象性使得学生在学习时遇到不少困难，往往需要结合一些具体的直观形象来辅助学习，这与我国课程所提倡的“数形结合”思想不谋而合. 英国作为世界课程改革的先驱之一，其课程注重实用性和能力培养，具有鲜明的国家特征. 本文试通过对其初中代数课程进行仔细研读，将课程呈现过程中“数形结合”的特点加以介绍，对比我国同类课程进行一定反思.
2 英国代数课程简介
2000年，英国重新制定了新的国家数学课程. 新课程初中阶段的代数课程是以数与代数相结合的形式呈现，其中代数部分是由方程、公式与恒等式（记为①），序列与函数（记为②），及函数图像（记为③）三部分组成. ①主要是代数式、方程等传统代数知识；②提供了大量几何、序数等序列模式，对模式与关系进行探求，延伸到函数知识；③除了基本函数图像之外，还涉及了许多有关函数图像的实际问题. 在此之前的课程中并未涉及任何正式代数内容，因此，课程是如何从算术自然过渡到抽象的代数内容，正是本文的关注点.
3 代数课程中的“数形结合”思想
英国的数学课程是按照学生能力水平进行设计，因此本文对“数形结合”特点的介绍也遵从这一特征，按照代数课程不同的水平层次结构，分层进行介绍.
层次1 “由数知形”且“由形识数”
代数课程中蕴含了大量抽象的数量关系以及符号表示，与直观形象的几何模式形成鲜明对比. 解析几何的出现，使得这两种截然相反的模式有了联结和相互表征的可能性. 在英国初中的代数课程中就包含了部分解析几何的知识，对某些特定内容（如：函数、不等式解集）要求了解其几何形式，将其蕴含之义立体化. 同样的，课程还设计了大量具体、特殊的几何模式，来归纳总结出一些形式化的代数知识，充分体现了英国课程对代数的理解：代数是从算术、从特殊例子、模式和序列中归纳总结的一种方式.
ネ1
例1 （7年级，③）开始考虑一次线性函数的性质，y是根据x的取值要确定的. 比如，建立表格并用坐标纸画出如下函数的图形(如图1)，对其进行解释说明：
注意到函数y=mx的图像：
均为过原点的直线;
不同的函数倾斜度不同;
和倍数的图像相同, 但它是连续的, 而不是离散的.
例2 （8年级，②）生成整数序列并加以描述，将之与其几何模式联系起来.
ダ如：
2的乘幂(图2)ネ2
将2的乘幂看作是：2个点组成的一排；4个点组成的方阵；2个4点方阵组成的纵排；4个4点方阵组成的方阵.
递增的矩形（图3）ネ3
如图3，根据序列是递增或递减，以及递增或递减的步长是否相等来对熟悉的序列进行分类
层次2 “以形助数”，帮助理解抽象代数知识
代数的形式化与符号化，容易造成学生认知上的困难. 为了帮助学生从算术成功过度到代数，课程在呈现方程、代数式等传统代数知识的过程中，安排了相当多的具体事例，以一种真实、形象化的手法，借助技术与现实帮助学生从几何直观的角度去看待抽象的代数知识. 对于某些抽象难懂的数学概念与性质，改由观察其“形”或者构建有效的几何模式，来帮助学生多角度理解与记忆. 从“数”与“形”两种相反的性质着手，达到优势互补的效果ネ4
例3 （9年级，①）利用几何方法来建议一些代数结果.
使用纸笔、坐标纸或者图形计算器画出方程的图像
*来解方程组：x+3y=11,5x-2y=4.
ト缤4，两条直线的交点(2,3)给出了方程的近似解 . ね5
*y=x
y=x2+3.
ト缤6，将方程的解x=6，y=6与首项为1，“除以2，加上3”，代数表达式为x→x2+3的序列极限联系起来.
ね6图7
例4 （9年级，①）用几何论据来说明这些结论.
展开下列代数式并化简，证明他们是等价的.
a2-b2;
a(a-b)+b(a-b);
2b(a-b)+(a-b)(a-b) ;
(a-b)(a+b).
采用不同方式来计算如图7的面积，利用几何论据来说明以上代数式是等价的.
层次3 “数形结合”，解决实际问题
英国的数学教育重视实用性，“用数学”的意识和能力的培养贯穿课程始终，不论是在目标、还是手段和方式上都凸显这一特征. 代数课程不再拘泥于严格的逻辑体系，重视模式与关系的探求，用符号表示一般规律(经验公式)，解释表示现实生活情境的图表与图示，并学习如何用“形”帮助解决问题. 因此，教材中设计了相当多源自现实生活或跨学科的内容，借助技术在解决这些复杂的问题过程中，将数形结合的思想灌输其中，潜移默化的内化成学生数学应用的一种意识.ネ8
例5 （7年级，③）对科学或地理中的直线图像加以讨论，并做出解释. 比如：学生们在不同体积的罐子（200cm2—500cm2不等）下方点燃蜡烛，记录下燃烧时间，制成如图8.(1）讨论图像性质：这些点可以连接起来吗？需要几个这样的点才可以画出精确的图像？应该用直线把这些点连起来吗?
(2)回答问题：如果罐子体积是450cm2，蜡烛可以燃烧多久？600cm2呢？
(3）下面哪句话最精确描述了体积与燃烧时间的关系？
A 体积越大，蜡烛越快熄灭；
B 最大的罐子，蜡烛灭的最慢；
C 体积增加，燃烧时间加长；
D 最小的罐子，蜡烛灭的最快
例6 （9年级，③）如图9，根据两变量间的大概关系画出直线草图，并同某个熟悉的情境联系起来比如：水流以恒定速度流入各种形状的瓶子里，画出水面深度与时间关系的图像,若换成其他形状的瓶子，画出相应的图像,根据图像的性质，来预测瓶子的形状.
ね9
4比较与反思
4.1 浓墨重彩VS蜻蜓点水
综上所述，英国初中课程强调从算术“自然”过度到代数，为此在课程中安排了各种由形到数的铺垫. 采用大量来自现实的丰富素材，恰当地辅之以信息技术，在数的抽象与形的具体之间建立起潜移默化的联结，注重形到数的理解，并在理解的基础上强调现实问题解决，整个代数课程中渗透了数形结合的思想. 反观我国初中数学，虽也有形到数的过度，但类似素材在课程中相对贫乏或者有点形式化，重解题轻理解，有蜻蜓点水之嫌. 如何从算术自然过渡到代数是改革的重点.
4.2 思想方法VS解题工具
数形结合在英国初中代数课程中主要表现为一种理念和思想方法，是学生遇到代数抽象知识时帮助理解的处理手段，最终内化为解决现实问题的自觉意识. 而其对我国的师生来讲，更多的是一种行之有效的解题工具，屡试不爽. 数学能力的培养离不开解题，但在各种国际测试中，擅长解题的中国学生在解决实际问题时，并没比英国学生表现出更大的优势，甚至稍显颓势. 一些英国初中的课题，在我国要到高一才开始涉及，这一现象值得我们深思. 将一种非常有用的数学思想方法仅用作解题，岂不可惜？
げ慰嘉南
ぃ1］ Department for Education and Employment:2001,Key Stage1-4,Mathematics-The National Curriculum for England.
ぃ2］ 国家教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［S］.北京:北京师范大学出版社，2001.
ぃ3］ 邹坚.对初中学生“数形结合”能力的调查研究［J］. 数学教学,2006.(5).
プ髡呒蚪椋貉钛澹女，1983年生. 江苏苏州人，苏州大学数学课程论专业研究生.研究方向为中学数学课程与教学论
に罩荽笱数学系 215006
オ
1 序 言
代数的抽象性使得学生在学习时遇到不少困难，往往需要结合一些具体的直观形象来辅助学习，这与我国课程所提倡的“数形结合”思想不谋而合. 英国作为世界课程改革的先驱之一，其课程注重实用性和能力培养，具有鲜明的国家特征. 本文试通过对其初中代数课程进行仔细研读，将课程呈现过程中“数形结合”的特点加以介绍，对比我国同类课程进行一定反思.
2 英国代数课程简介
2000年，英国重新制定了新的国家数学课程. 新课程初中阶段的代数课程是以数与代数相结合的形式呈现，其中代数部分是由方程、公式与恒等式（记为①），序列与函数（记为②），及函数图像（记为③）三部分组成. ①主要是代数式、方程等传统代数知识；②提供了大量几何、序数等序列模式，对模式与关系进行探求，延伸到函数知识；③除了基本函数图像之外，还涉及了许多有关函数图像的实际问题. 在此之前的课程中并未涉及任何正式代数内容，因此，课程是如何从算术自然过渡到抽象的代数内容，正是本文的关注点.
3 代数课程中的“数形结合”思想
英国的数学课程是按照学生能力水平进行设计，因此本文对“数形结合”特点的介绍也遵从这一特征，按照代数课程不同的水平层次结构，分层进行介绍.
层次1 “由数知形”且“由形识数”
代数课程中蕴含了大量抽象的数量关系以及符号表示，与直观形象的几何模式形成鲜明对比. 解析几何的出现，使得这两种截然相反的模式有了联结和相互表征的可能性. 在英国初中的代数课程中就包含了部分解析几何的知识，对某些特定内容（如：函数、不等式解集）要求了解其几何形式，将其蕴含之义立体化. 同样的，课程还设计了大量具体、特殊的几何模式，来归纳总结出一些形式化的代数知识，充分体现了英国课程对代数的理解：代数是从算术、从特殊例子、模式和序列中归纳总结的一种方式.
ネ1
例1 （7年级，③）开始考虑一次线性函数的性质，y是根据x的取值要确定的. 比如，建立表格并用坐标纸画出如下函数的图形(如图1)，对其进行解释说明：
注意到函数y=mx的图像：
均为过原点的直线;
不同的函数倾斜度不同;
和倍数的图像相同, 但它是连续的, 而不是离散的.
例2 （8年级，②）生成整数序列并加以描述，将之与其几何模式联系起来.
ダ如：
2的乘幂(图2)ネ2
将2的乘幂看作是：2个点组成的一排；4个点组成的方阵；2个4点方阵组成的纵排；4个4点方阵组成的方阵.
递增的矩形（图3）ネ3
如图3，根据序列是递增或递减，以及递增或递减的步长是否相等来对熟悉的序列进行分类
层次2 “以形助数”，帮助理解抽象代数知识
代数的形式化与符号化，容易造成学生认知上的困难. 为了帮助学生从算术成功过度到代数，课程在呈现方程、代数式等传统代数知识的过程中，安排了相当多的具体事例，以一种真实、形象化的手法，借助技术与现实帮助学生从几何直观的角度去看待抽象的代数知识. 对于某些抽象难懂的数学概念与性质，改由观察其“形”或者构建有效的几何模式，来帮助学生多角度理解与记忆. 从“数”与“形”两种相反的性质着手，达到优势互补的效果ネ4
例3 （9年级，①）利用几何方法来建议一些代数结果.
使用纸笔、坐标纸或者图形计算器画出方程的图像
*来解方程组：x+3y=11,5x-2y=4.
ト缤4，两条直线的交点(2,3)给出了方程的近似解 . ね5
*y=x
y=x2+3.
ト缤6，将方程的解x=6，y=6与首项为1，“除以2，加上3”，代数表达式为x→x2+3的序列极限联系起来.
ね6图7
例4 （9年级，①）用几何论据来说明这些结论.
展开下列代数式并化简，证明他们是等价的.
a2-b2;
a(a-b)+b(a-b);
2b(a-b)+(a-b)(a-b) ;
(a-b)(a+b).
采用不同方式来计算如图7的面积，利用几何论据来说明以上代数式是等价的.
层次3 “数形结合”，解决实际问题
英国的数学教育重视实用性，“用数学”的意识和能力的培养贯穿课程始终，不论是在目标、还是手段和方式上都凸显这一特征. 代数课程不再拘泥于严格的逻辑体系，重视模式与关系的探求，用符号表示一般规律(经验公式)，解释表示现实生活情境的图表与图示，并学习如何用“形”帮助解决问题. 因此，教材中设计了相当多源自现实生活或跨学科的内容，借助技术在解决这些复杂的问题过程中，将数形结合的思想灌输其中，潜移默化的内化成学生数学应用的一种意识.ネ8
例5 （7年级，③）对科学或地理中的直线图像加以讨论，并做出解释. 比如：学生们在不同体积的罐子（200cm2—500cm2不等）下方点燃蜡烛，记录下燃烧时间，制成如图8.(1）讨论图像性质：这些点可以连接起来吗？需要几个这样的点才可以画出精确的图像？应该用直线把这些点连起来吗?
(2)回答问题：如果罐子体积是450cm2，蜡烛可以燃烧多久？600cm2呢？
(3）下面哪句话最精确描述了体积与燃烧时间的关系？
A 体积越大，蜡烛越快熄灭；
B 最大的罐子，蜡烛灭的最慢；
C 体积增加，燃烧时间加长；
D 最小的罐子，蜡烛灭的最快
例6 （9年级，③）如图9，根据两变量间的大概关系画出直线草图，并同某个熟悉的情境联系起来比如：水流以恒定速度流入各种形状的瓶子里，画出水面深度与时间关系的图像,若换成其他形状的瓶子，画出相应的图像,根据图像的性质，来预测瓶子的形状.
ね9
4比较与反思
4.1 浓墨重彩VS蜻蜓点水
综上所述，英国初中课程强调从算术“自然”过度到代数，为此在课程中安排了各种由形到数的铺垫. 采用大量来自现实的丰富素材，恰当地辅之以信息技术，在数的抽象与形的具体之间建立起潜移默化的联结，注重形到数的理解，并在理解的基础上强调现实问题解决，整个代数课程中渗透了数形结合的思想. 反观我国初中数学，虽也有形到数的过度，但类似素材在课程中相对贫乏或者有点形式化，重解题轻理解，有蜻蜓点水之嫌. 如何从算术自然过渡到代数是改革的重点.
4.2 思想方法VS解题工具
数形结合在英国初中代数课程中主要表现为一种理念和思想方法，是学生遇到代数抽象知识时帮助理解的处理手段，最终内化为解决现实问题的自觉意识. 而其对我国的师生来讲，更多的是一种行之有效的解题工具，屡试不爽. 数学能力的培养离不开解题，但在各种国际测试中，擅长解题的中国学生在解决实际问题时，并没比英国学生表现出更大的优势，甚至稍显颓势. 一些英国初中的课题，在我国要到高一才开始涉及，这一现象值得我们深思. 将一种非常有用的数学思想方法仅用作解题，岂不可惜？
げ慰嘉南
ぃ1］ Department for Education and Employment:2001,Key Stage1-4,Mathematics-The National Curriculum for England.
ぃ2］ 国家教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［S］.北京:北京师范大学出版社，2001.
ぃ3］ 邹坚.对初中学生“数形结合”能力的调查研究［J］. 数学教学,2006.(5).
プ髡呒蚪椋貉钛澹女，1983年生. 江苏苏州人，苏州大学数学课程论专业研究生.研究方向为中学数学课程与教学论
