一组正方形试题的共性
谢 勇
随着课标教材的逐步使用，中考中与直线形相关的证明探索类题目日渐增多，在日常教学中，有必要对其相关变化规律作以研究.本文就一组正方形试题的共性作些探讨.
如图1，AE⊥BE于E，AD⊥DC于D，BC⊥DC于C，D、E、C三点在一条直线上，则△ADE∽△ECB，若附加上条件AD=EC或DE=CB或AE=EB，则有△ADE≌△ECB.
接下来，我们将图1中的△BEC沿直线CD向左平移使C、E两点重合得图2，取BF与AC的交点为G，则有△ADC∽△FGC∽△FCB∽△CGB.若附加上条件AD=FC或DC=CB或AC=FB，则有△ADC≌△FCB.
这两种图形常见于与三角形全等和相似有关的题目之中，其中相关结论的考查应用频繁出现在我们的视野里.由于正方形的四个角为直角可以提供线段之间的垂直条件，四条边相等又可以提供线段相等的条件，所以正方形能很好地作为上述图形条件的显示载体，可以将三角形的全等和相似知识糅合进来，这就是本文所要描述的共性特点.那么，又如何以正方形为载体，把上述共性融进不同的题目之中呢?下面通过几道具体实例的解答点评予以说明.
图3例1 如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm.
⑴求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
点评 此题由正方形条件提供了AB⊥BC、DC⊥BC，得出结论△ABP∽△PCQ成立所需的条件，接下来应用相似三角形产生的相似比即可建立起y与x之间的二次函数关系式，结构并不复杂，是文首知识的简单体现，表现出推陈出新的特点，以变化的形态有机的将几何与代数结合起来.
例2 如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE.(不需要证明)
(1)如图5，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图6，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
(3)如图7，在(2)的基础上，连结AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程.
简解 ⑴成立.
⑵成立.
证△ADF≌△DCE，得∠AFD=∠DEC，AF=DE.又∠DEC+∠CDE=90°，
所以∠AFD+∠CDE=90°，
所以∠FGD=90°，即AF⊥DE.
⑶正方形.
证明：由三角形的中位线定理知MQ∥ED，MQ=12ED；NP∥ED，NP=12ED；MN∥AF，MN=12AF.所以MQ平行且等于NP，
所以四边形MNPQ是平行四边形.
又由AF=ED得MQ=MN，所以平行四边形MNPQ是菱形.又AF⊥DE，结合平行直线最终可证得∠QMN=90°.所以菱形MNPQ是正方形.
点评 在本题图4中，以正方形的形态提供了条件AD=CD和DF=CE，而将AF⊥DE作为结论予以探讨，和文首知识相比具有互逆思考的特点，体现出文首所叙知识的通性、通法的地位，具有丰富的变化内涵.接下来，运用特殊与一般的思想在⑴、⑵两问中将本题图4中的条件一般化，让学生分析其中的共性，探求其中不变的数学结论，富有层次感.至第⑶问，又设置出探究中点四边形的问题，将变化推到一个新的高度.从而较好地体现出分析问题要按照由浅入深、由简单到复杂的步骤去进行的思考特点，同时又展示出如何在变化中寻求共性的探究思考解决问题的模式.
例3 已知：如图8，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C、D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.
⑴设DE=m(0
以上所选例题都是课改实验区的中考试题，我们可从中感受到问题解决过程中所蕴涵的知识原始生成状态以及日常数学教学中的通性、通法的体现，启示教师要将最基础的知识和最基本的技能有条理地渗透下去，于此基础上方可求新、求异.
作者简介：谢勇，1978年5月生，中学二级教师. 参与湖北省中小学校长协会科研课题"中学生心理健康调查分析"及湖北省教育科学"十一五"规划课题"当代中学生学习特点和学习方式研究"课题的研究. 近年来在《中学数学教育》、《中小学教学研究》、《中学生数学》等期刊报纸上发表多篇教育教学论文.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
随着课标教材的逐步使用，中考中与直线形相关的证明探索类题目日渐增多，在日常教学中，有必要对其相关变化规律作以研究.本文就一组正方形试题的共性作些探讨.
如图1，AE⊥BE于E，AD⊥DC于D，BC⊥DC于C，D、E、C三点在一条直线上，则△ADE∽△ECB，若附加上条件AD=EC或DE=CB或AE=EB，则有△ADE≌△ECB.
接下来，我们将图1中的△BEC沿直线CD向左平移使C、E两点重合得图2，取BF与AC的交点为G，则有△ADC∽△FGC∽△FCB∽△CGB.若附加上条件AD=FC或DC=CB或AC=FB，则有△ADC≌△FCB.
这两种图形常见于与三角形全等和相似有关的题目之中，其中相关结论的考查应用频繁出现在我们的视野里.由于正方形的四个角为直角可以提供线段之间的垂直条件，四条边相等又可以提供线段相等的条件，所以正方形能很好地作为上述图形条件的显示载体，可以将三角形的全等和相似知识糅合进来，这就是本文所要描述的共性特点.那么，又如何以正方形为载体，把上述共性融进不同的题目之中呢?下面通过几道具体实例的解答点评予以说明.
图3例1 如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm.
⑴求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
点评 此题由正方形条件提供了AB⊥BC、DC⊥BC，得出结论△ABP∽△PCQ成立所需的条件，接下来应用相似三角形产生的相似比即可建立起y与x之间的二次函数关系式，结构并不复杂，是文首知识的简单体现，表现出推陈出新的特点，以变化的形态有机的将几何与代数结合起来.
例2 如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE.(不需要证明)
(1)如图5，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图6，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
(3)如图7，在(2)的基础上，连结AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程.
简解 ⑴成立.
⑵成立.
证△ADF≌△DCE，得∠AFD=∠DEC，AF=DE.又∠DEC+∠CDE=90°，
所以∠AFD+∠CDE=90°，
所以∠FGD=90°，即AF⊥DE.
⑶正方形.
证明：由三角形的中位线定理知MQ∥ED，MQ=12ED；NP∥ED，NP=12ED；MN∥AF，MN=12AF.所以MQ平行且等于NP，
所以四边形MNPQ是平行四边形.
又由AF=ED得MQ=MN，所以平行四边形MNPQ是菱形.又AF⊥DE，结合平行直线最终可证得∠QMN=90°.所以菱形MNPQ是正方形.
点评 在本题图4中，以正方形的形态提供了条件AD=CD和DF=CE，而将AF⊥DE作为结论予以探讨，和文首知识相比具有互逆思考的特点，体现出文首所叙知识的通性、通法的地位，具有丰富的变化内涵.接下来，运用特殊与一般的思想在⑴、⑵两问中将本题图4中的条件一般化，让学生分析其中的共性，探求其中不变的数学结论，富有层次感.至第⑶问，又设置出探究中点四边形的问题，将变化推到一个新的高度.从而较好地体现出分析问题要按照由浅入深、由简单到复杂的步骤去进行的思考特点，同时又展示出如何在变化中寻求共性的探究思考解决问题的模式.
例3 已知：如图8，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C、D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.
⑴设DE=m(0
以上所选例题都是课改实验区的中考试题，我们可从中感受到问题解决过程中所蕴涵的知识原始生成状态以及日常数学教学中的通性、通法的体现，启示教师要将最基础的知识和最基本的技能有条理地渗透下去，于此基础上方可求新、求异.
作者简介：谢勇，1978年5月生，中学二级教师. 参与湖北省中小学校长协会科研课题"中学生心理健康调查分析"及湖北省教育科学"十一五"规划课题"当代中学生学习特点和学习方式研究"课题的研究. 近年来在《中学数学教育》、《中小学教学研究》、《中学生数学》等期刊报纸上发表多篇教育教学论文.
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