从知识结构谈函数主题单元教学
摘 要：在“一核四层四翼”的新高考评价体系之下，教师也在寻求培养学生的路径。田慧生提出主题单元教学，指出新课程的教学应该站在单元的角度进行备课。文章从函数的结构以及其渗透的数学素养出发，针对函数教学中的重难点提出建议与想法。
关键词：主题单元教学;核心素养;函数结构
中图分类号：G633.6?文献标识码：A?文章编号：2095-624X（2020）29-0062-02
一、函数内容结构分析
函数是高中数学的重要组成部分，知识点多而难。从结构上理解函数内容结构，可以厘清其内部知识之间的联系，使知识能够成为体系，避免知识碎片化。同时，教师可以从结构的高度上引導学生生成新知识，并对不同知识点之间的研究方法进行横向对比，从而让学生深入理解学习内容。
在高中初始阶段，学生已经对集合进行了学习，教师可结合现实生活中的例子，引入一般函数的概念，进而带学生研究函数的表示方法，其后研究函数性质，包括奇偶性、单调性、拓展周期与对称性等。在理解函数性质的定义与性质之后，教师可以开始带学生对一些特殊的函数进行研究，包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及特殊的离散型函数-数列。从其每个小专题的研究顺序结构上看，我们可以将函数的研究学习过程分为：定义→表示→运算与性质→应用四个环节，同时在研究完一个问题时，往往会进一步研究其内涵（子类）或是变形与拓展（衍生类）。
二、数学核心素养的体现与培养
主题单元教学，不仅仅可以体现知识结构的完整性，其对学生数学核心素养的培养也有着至关重要的作用。数学核心素养的培养不是一朝一夕的，零碎的课时教学，缺乏整体规划，对学生核心素养的培养是不利的。在不同的环节，不同的教学内容中核心素养培养的重心是有所不同的。同时核心素养的培养也应该是分阶段进行的，教师应当制订多个小目标，逐步培养学生核心素养。函数作为高中的重点内容，可以作为多种核心素养的培养载体，以下笔者将分析各个核心素养在函数教学中的主要体现。
1.做好概念教学，培养学生的数学抽象素养
函数教学的第一环节往往是概念的引入，教材一般以具体示例引入，以帮助学生在具体情境中感知函数的存在，并让学生从中抽象出共性的特征，总结出函数定义、单调性、奇偶性等概念。在这个环节中，引导学生进行体会，让学生尝试对概念进行定义、符号化，可以起到培养学生数学抽象素养的作用。
2.注重多种形式的表达，培养学生的直观想象素养
函数教学的第二环节往往是函数的表示，包括函数解析式，列表法等代数表达以及利用图像描述函数。对函数表示的学习，一方面可以让学生对函数形成更为直观的认知，另一方面可以引导学生从多个角度理解函数。同时在函数表示的学习中引入分段函数，可以更进一步引导学生体会图像在研究函数方面的作用，培养其利用图像描述问题、解决问题的能力。
3.性质推导，重视过程，培养学生的逻辑推理素养
函数是根据定义证明其单调性、奇偶性等问题，重视定义在证明中的作用，能够培养学生的逻辑推理能力。在指对运算中，通过类比两者运算中的联系得到对数的运算方法，可以培养学生类比推理能力。在整个函数的结构中，为什么要针对特殊函数进行研究，包括数列的研究中为什么要对等差、等比数列进行研究，主要是通过对特殊函数、特殊数列的研究，让学生体会其中的研究方法与性质，从而推广到一般函数、一般数列的研究，渗透特殊到一般的思想方法。让学生从宏观角度理解函数内容结构是培养学生逻辑推理能力的有效途径。
4.重视算理，培养学生的数学运算素养
函数单元包括指数运算、对数运算以及三角运算等内容，公式较多，学生往往不能较好地掌握其中的算理、算法，计算问题较大。那么，教师在函数模块如何提高学生的数学运算素养？第一，强化运算性质的推导过程，让学生做到能够理解运算性质的由来，进而能够较好地记忆和运用运算性质。第二，培养学生在计算中严格利用算理的习惯，做到每一步计算都有算理可依。第三，运算性质剖析到位，让学生通过典例建立公式与常见形式的联想，什么时候应该想到什么，用什么公式进行计算。第四，强化计算套路的熟练程度，在运算上有一些常见的计算过程，如三角函数的降幂辅助角操作，通过对学生进行不断的强化，总结每一步计算细节，从而加快计算速度，减少计算失误。
5.重视阅读，重视应用，培养学生的数学建模素养
在函数模块的教学中，有多处可以培养学生的数学建模素养。一方面对抽象的概念定理进行实例讲解，有利于引导学生进行阅读，同时让学生理解函数模型、函数性质在现实中的具体体现，并让学生更容易进行联想拓展。另一方面，在函数的练习中也蕴藏着建模思想。剖析函数中的增长速度、奇偶性、周期性等函数性质，能够在实际生活中找到函数模型对学生进行建模素养培养。
三、把握结构，突破函数重难点
（1）初学阶段，包括对于一般函数概念、表示、性质的研究以及函数与方程。
从函数的整体结构可以看到具体函数的研究方法与初学阶段函数的学习顺序是相类似的，因此在函数的教学过程中，初始阶段的学习尤为重要。只有掌握了函数的一般研究方法，后续特殊函数的学习才会变得十分轻松。反之，如果学生在初学阶段对函数性质掌握得不好，由于后续特殊函数的学习还包括运算上的难点，就会让问题变得更为复杂。
初学阶段有以下几个重点内容。
第一，函数的研究方法。在函数初学阶段的学习之中，学生应当站在更高的角度审视其学习过程，体会函数研究过程，理解函数的研究方法是从其表示出发，进而研究其有关性质，最后加以应用。因此在遇到函数有关问题时，思维顺序应当是利用作图、特殊点等方式对函数进行观察，培养其利用图形解决问题的能力，进而研究函数的有关性质。只有了解了性质之后，学生才能更好地应用函数。
第二，函数的概念以及f（x）的抽象表达。由于学生第一次接触f（x）这种表达方式，对其较为陌生，有恐惧感，所以这里需要引用更多的例子使学生对符号理解得更为到位，这样才有利于后续的教学。反之，学生若对f（x）符号的不理解，其在学习有关抽象函数定义域、解析式问题，包括函数的单调性符号表示、偶函数的符号表示，更进一步的函数对称性与周期性的表示就都有极大的困难。在教学中，教师对f（x）的讲解往往安排时间较少，不够深入，导致学生对后续内容的理解十分混乱。
第三，函數的表示方法。基础知识方面，在初高中衔接时，很多学生对二次函数、反比例函数的图像还不熟悉，导致后续在与指对幂等其他函数结合时，因为初中知识的遗漏而在学习上十分困难。大多数学生利用图形描述问题的意识薄弱，如学生在二次函数限定区间的值域求解上面存在非常大的问题，他们不懂得借助于图像帮助思考。在这个阶段，教师应当选择合适的例题，让学生体会图像在解决问题上面的优势，同时指导学生作图，这里要求学生利用尺规严格作图，培养准确作图的能力。
第四，函数性质的抽象。在函数单调性、奇偶性的教学方面，教师应当注重函数性质的抽象过程。重视抽象过程，能够帮助学生进一步理解f（x）的意义，加深其对函数性质的理解与记忆，同时对后期一般对称性、周期性的拓展有着至关重要的作用。
第五，复合、四则运算下函数性质的变化。在教学函数性质的时候，教师应当渗透函数性质的四则运算性质以及复合函数性质的讲解。在后续学习基础函数之后，更多的题目是求解函数复合或者四则运算平移得到的更复杂的函数。理解函数性质的四则运算或是复合的结果，更有利于学生理解后续遇到的问题，做到多题一法。
（2）指对幂、三角函数、数列等特殊函数的研究。若学生在初学阶段对知识掌握到位，那么，他们对特殊函数的学习会容易许多。对特殊函数教学也是定义→表示→性质→应用四个环节，相比初学阶段的函数重点，学生对特殊函数的学习主要围绕以下几个点进行。
第一，高中新引入的对数与三角运算。这部分运算由于公式较复杂，灵活性强，导致题目难度较大，学生对后续函数的学习会产生较大的恐惧感，因此，教师在教学过程中不宜加大难度，而应让学生熟悉新的运算，从而更好地学习函数内容。在运算的教学上，教师应该降低要求，做好分层教学，或是在学生后续的学习中再慢慢加大难度。
第二，新函数的学习以及函数复合、变换、分段结合的性质研究方法。学习新函数的重点在于对新函数性质的掌握，这部分难度不大，学生基本都能掌握。难点在于函数之间的知识点的交汇，这就需要用到前面所学的知识内容。如果学生初学阶段的知识方法掌握得较好，那么此时更多的是对前面知识方法的强化，学生学习相对也会比较轻松。学生学习的信心以及对数学的兴趣都会得到提升。反之，知识的高度综合会让学生对数学产生恐惧感，不利于后期学习。
第三，数列的学习。数列区别于其他函数，我们可以将其视为离散的函数。除了对函数本身的图像、单调性、值域的研究，由于其离散性，其项之间存在某些关联，还需要研究其递推公式。在这里，学生通常不明白为何如此变形，为何用某种方法计算通项与求和，因此，教师在教学时应该从特殊的例子逐步拓展，让学生更容易接受相关方法与知识，同时体现特殊到一般的思想。
四、教学建议
从单元结构上分析函数的知识内容，我们可以发现在整个知识体系的研究之中，均是依据定义→表示→性质→应用的顺序进行，教学依照这个逻辑顺序，站在研究方法的角度上进行教学，有利于学生知识结构的形成。在知识的教授方面，初学阶段的教学意义重大，影响着学生后续的学习，因此教师在初学阶段应该花费更多时间与精力，引导学生做好笔记，随时进行检测，做好落实工作。磨刀不误砍柴工，前期扎实的学习会使后续的学习更为轻松。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.
作者简介：蔡开拓（1991— ），男，福建厦门人，中学二级教师，本科，研究方向：中学数学教学。
