题解多法,素养为本

    潘立方

    [摘? 要] 在几何解题教学过程中,教师应从解决方案的多样性上培养学生的发散性思维,在思路的多样化情况下引导学生进行反思和感悟,一方面让学生养成有序思考的习惯;另一方面也可以找到思维的出发点,直指数学的核心素养及其形成,在此基础上进一步落实解决数学问题的方法,提升数学思维拓展性,凸显数学教学的“教育目的”.

    [关键词] 一题多解;解题研究;数学素养

    几何题的 “一题多解”一直被人们津津乐道,让人回味无穷. 笔者在一次试题讲评课时,与學生们一起对一道几何题进行了多种方法的解析和反思,以求在反思中感悟方法,明晰思路,提供解决问题的策略.

    试题呈现

    如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC和CD的中点,连结AE和BF,得交点P,连接DP,求证:DA=DP .

    试题意图

    1. 试题背景

    根据正方形这一课时的《课标》要求,既考查了学生对于正方形这一核心知识点的掌握情况,又有适当的提高:破题口的寻找、思路的多样、辅助线的选择等,题意虽简,思路难成.

    2. 试题来源

    题源1:人教版八年级下教师教学用书第152页13题.

    题源2:浙教版八年级下册数学教科书.

    3. 简单分析

    易证得△ABE≌△BCF,推得AE⊥BF,再由∠APF=∠ADF=90°得A、D、F、P四点共圆.

    解法赏析

    方法一 巧用倍长构斜中:如图2,延长BF、AD交于G点,易得△BCF≌△GDF,利用Rt△APG斜边上的中线等于斜边一半这一性质得到DA=DP .

    方法二 构造全等顺旋转:如图3,连结AF,过D点作DK⊥DP交PF延长线于K点,得∠3=∠4;由得A、D、F、P四点共圆得∠1=∠2,再得∠AFD=∠K;由△ADF≌△BCF得∠AFD=∠3=∠4,所以∠4=∠K,得DF=DK,所以证得△ADF≌△PDK,所以DA=DP .

    方法三 四点共圆判等角:如图4,由A、D、F、P四点共圆得∠1=∠2,由对称性得到∠3=∠1,所以∠3=∠2. 所以∠PAD=∠APD,所以DA=DP .

    方法四 构造全等逆旋转:如图5,在AF上找一点Q,使得DQ=DF,则∠3=∠4;由△ADF≌△BCF得∠3=∠5,所以∠4=∠5,得到∠AQD=∠PFD. 再利用∠1=∠2和DQ=DF两个条件,得到△ADQ≌△PDF,所以DA=DP .

    方法五 垂直平分正逆推:如图6,取AB中点M,连结DM交AP与点N,连结PM,利用Rt△APB斜边上的中线等于斜边一半这一性质得到AM=PM;再由线段BM平行且等于线段DF得?荀MBFD,所以DM∥BF. 所以DM⊥AP,所以AN=PN,即得DM是线段AP的中垂线,所以DA=DP.

    方法六 余弦定理灵活用:如图7,设正方形边长为2,记∠BAE=α,∠DAE=β,则tanα= ,sinα= ,cosα= ,利用相似得AP= . 又因为α+β=90°,所以cosβ=sinα= = ,代入解得DP=2,所以DA=DP.

    方法七 勾股相似配合强:如图8,过P作PK⊥DC,垂足为K. 设正方形边长为2,则BE=1,AE=BF= ,由面积法得到BP= ,则FP= , 所以 = ,所以 = = = . 所以PK= ,FK= ,所以DK= . 在Rt△PDK中再由勾股定理得DP=2,所以DA=DP.

    方法八 函数坐标数形合:如图9,以D为直角坐标原点建立直角坐标系,则可得A(0,2),E(2,1),B(2,2),F(1,0),把P看成直线AE(一次函数表达式为:y= - x+2)和直线BF(一次函数表达式为:y=2x-2)的交点,计算解得P , ,所以DP=2,所以DA=DP .

    素养立意

    正如章建跃先生所说,“中学数学核心素养体系的构建,需以理解中学数学内容本质为载体,而这个载体也需要深入回答‘问题的研究框架是怎么构建的‘为什么采用这样的方法等触及数学思想本质的、对数学思维发展有重要意义的本原性问题”,基于对此话的理解,我们也不妨回头看一下我们的解法探析的素养本源.

    1. 基于条件,在方法上发散

    在几何直观的基础上,学生易得出△ABE≌△BCF和AE⊥BF两个结论,部分学生还可以得到四点共圆这一结论,此时可以适当引导:如何利用这些结论把问题进行转化?要证明两条线段相等这一数量关系我们已有几种方法或者模型工具?通过适当引导,提醒学生利用方法的多样性来尝试解题:

    ①按题索骥,顺势破解:如方法三利用四点共圆得到角相等,继而得到等角的余角相等,利用等腰三角形的等角对等边即可得到结论.

    ②回归模型,找到关联:如方法一的类似倍长中线法得到全等,继而用斜中线模型即可得解;方法二、四是构造顺逆时针旋转中的全等三角形;方法五是垂直平分线模型等.

    ③数形结合,解析几何:如方法六的利用余弦定理、方法七的勾股和相似的配合使用、方法八的构建直角坐标系,利用函数求交点等解析法的应用,亦为几何的数量研究找到了一条路径.

    2. 基于结论,在思路上拓展

    本题的结论是两条线段相等,回忆我们已学过的证明线段相等方法,大致一共有六种:一用“全等三角形的性质”;二用“等角对等边”;三用“中垂线的性质”;四用“角平分线的性质”;五用“三线合一的性质”;六用“等量代换”. 本例中我们可以看到有利用全等三角形性质的(如方法二、四),有用等腰三角形角边对应相等、中垂线等性质的(如方法三、五),有用代数方法证明数量关系的(如方法六、七、八),还有用构造法的(如方法一、二、四). 基于结论的要求,去探寻、反思过程如何产生,也正是我们提升推理素养的常规方法.

    3. 基于方法,在变式上提升

    本例学生在“定则可求”的思想引导下可以尝试几何直观画一画的方法来得到初步结论,但很多学生还想探讨“当E、F不是中点时,这个线段是否还相等?”“若不相等,是否还存在着一定的数量关系?”等动态问题,笔者也和学生一起进行了“动图”尝试,如变式引申:

    (1)若把E当作BC上的一个动点,保持BE=CF不变,连结DP,则DP=DA仍成立吗?不相等的话,它们存在一定的数量关系吗?

    (2)当E点从B点运动到C点的过程中,P点的运动轨迹是怎样的一个图形?

    解答:利用方法六的余弦定理,可以记正方形边长为1,设BE=x,则AE= ,由三角形相似得 = ,所以AP= .

    因为cosβ=sinα= = = ,

    所以DP2= .

    所以 = .

    通过这个一般通式的比例,我们也可以看到图形在变化过程中的许多特例:

    当x= 时, =1(即原题E是BC中点时的情况);

    当x=0时, = (即E点与B点重合,DP是对角线时的情况);

    当x=1时, = (即E点与C点重合,P是正方形的中心时的情况)等.

    利用这个通式,我们还可以探讨当x>1时,即E、F在BC和CD延长线上时交点P的情况,也能探讨P点运动轨迹的特征(如图11). 总之,把静态的研究转化成动态研究,使学生思维训练大大加强,使探究充满活力.

    4. 基于思想,在本原上聚焦

    我们明确几何的探究归根于辩证思想的应用;推理能力的形成,更需要主动去构建模型,让学生把陌生的、复杂的问题化归为熟悉的、简单的问题. 如在运动过程中,AE⊥BF的关系始终存在,即在运动中A、D、F、P四点共圆一定成立,那DP就是以AF为直径的圆中的一条弦,那如何求弦长?我们不妨指向圆中利用三角或者勾股的基本图例(如图12),让变化中的“隐圆”凸显(如图13),得到如下问题解决思路:

    简略过程如下:记正方形边长为1,设BE=CF=x,则半径r=OP= AF= ;sinβ= =cosα= ,所以DP=2PM=2OP·sinβ=2· · = .

    显然,抓住了本源问题的核心,思路便异常顺畅,结论的取得也势如破竹.

    结语

    正如苏步青老先生所说:“学习数学要多做习题,边做边思索,先知其然,然后知其所以然.”解题的背后,回归本源的思考,才正是我们数学学习所需要的,“分离基本图形”“旋转后的全等”“解析几何法”“三角函数法”这些解题经验的形成,正是我们探求问题的根本. 一旦解题教学跨入了更广义的数学素养教育,學生的学习便不会仅停留在具体的解题方法上,而会更关注其背后的解题策略和方向,那时我们的解题教学便不再是解题本身,而是一次方法的拓展、一次思维的提升,更是一次成长的历练.

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