初中数学函数教学中渗透模型思想的研究
王国云
[摘? 要] 文章详细阐述教师在初中数学函数课堂中，如何渗透模型思想，并结合具体案例讲述教学过程，旨在提升学生构建模型的能力.
[关键词] 初中数学;函数教学;模型思想
模型思想在一次函数教学中的运用，能帮助学生更快地解决问题，这也是新课程改革要求下常见的教学模式，能充分提高学生学习效率，在初中数学教学中有重要价值.
■ 初中数学函数教学中渗透模型
思想的过程
1. 发现问题
为了更好地将模型思想渗透到教学中，让学生可以自主构建模型并解答，教师在设计教学情境的时候，需根据学生已有经验与对一次函数的认知程度，以最近发展区为基础，以“经过努力，提升能力”为目标，科学构建情境，帮助学生建立数学模型. 而让学生在其中发现问题就是最开始的目的，基于学生的思维能力和年龄特点创设的情境，让其更容易接受直观性知识，在思考中解决问题，有助于数学模型的构建■.
2. 做出假设
在教师情境的构建中，让学生发现问题、分析问题，并能通过观察、分析、总结和归纳，对问题做出大胆假设. 学生在假设的过程中，可能出现问题，如假设错误或者不合理，教师此时不能急于否定，要相信学生，不怕其出现错误，只有经过自己不断思考和分析，设置假设内容，才有助于增强学生的创新能力和实现思维拓展. 对初中函数知识来说，学生可以结合题目中的已知条件和多种数据之间的关系，构建初步假设.
3. 建立模型
假设完成后，就要构建模型，利用函数关系式中的已知量和未知量，找出两者之间的关系，并通过数学符号表示出来，此过程就是模型建立的过程. 在整个教学中，构建模型是最关键的环节. 将有相等关系的数据构建成抽象的方程模型，解决生活中的问题，如商场中货物的销售、银行中多种存钱方案的选择问题等等;解决涉及几何的问题，如实际生活中工程定位、路程和航海问题等，需建立几何、代数模型;解决球赛胜负和彩票中奖问题，构建概率模型等. 初中阶段接触到的模型种类还有很多，本文主要针对一次函数模型进行研究，因为函数能反映事物之间的关系，也揭示了现实生活中的常见情况. 初中数学中函数部分是最难的，为了让学生更好地了解数学函数知识，还是需要教师在函数模型的构建上下功夫，让学生将生活内容和实践结合，建立函数模型，快速解决问题.
4. 求解模型
函数模型建立后，就要求解，运用学生已学知识，如通过等式的性质解方程，如果是不等式，则结合不等式的性质，解答几何模型的时候，则利用三角形性质，或者与图形有关的知识，化简方程式，解答函数模型，最终得到结果.
5. 验证模型
数学模型解答后，学生可能还不能深入发现问题，只是单一解答数学问题，而教师还要带领学生分析结果，将其代入实际问题中进行检验. 对学生来说，可以将结果代入模型和教师创建的问题情境中. 此处的检验呈现两种结果，一种是结果符合模型，说明模型可以使用，另一种是结果不符合模型，此时教师要鼓励学生分析，从假设问题开始到最后的求解模型，找出错误. 这一过程对学生来说有些困难，需要学生正视自己的问题，建立追究到底的信心，在教师的关注下，提升学习数学的严谨性和逻辑性，以正确的学习态度，增强学生学习的积极性.
6. 应用模型
验证结束后，不代表整个建模过程就完全结束，需要学生结合在建模过程中发现的问题，进行总结和反思，将建模过程内化. 现代社会的发展对学生的学习要求越来越高，因此教师要引导学生的思考不局限于其中某一知识点，而是利用模型的构建检测自己的学习情况，并运用建模思想，解决生活中更多的问题. 学生能够独立进行建模，体现了数学的应用价值，能增强学生的数学迁移能力，促进其健康、全面地发展.
■ “一次函数模型”案例分析
以一次函数为案例，介绍渗透数学模型教学过程.
1. 构建模型，发现问题
以弹簧为教学工具，在上面依次悬挂同质量的物品，边增加质量，边让学生观察，提问：“在老师增加物质质量的过程中，你们有什么发现？”回答：“弹簧越来越长. ”此过程就是发现问题. 教师接着提问：“那么请同学们分析，弹簧长度的变化，与什么原因有关？”学生经过思考得出答案：“与悬挂物品质量有关. ”这就是做出假设的过程. 然后教师利用实验过程，如弹簧原长为5厘米，挂上物品后，每增加1千克，弹簧的长度就增加0.6厘米，增加2千克，弹簧延长1.2厘米，问题：悬挂3千克和4千克重量的物品时，弹簧长度为多少？学生得出的答案分别为6.8厘米和7.4厘米. 最后教师提出要求：“那么请同学们利用我们刚刚学习的函数，构建函数关系式. ”学生经过分析，用x表示弹簧所挂物体的质量，y表示弹簧总长度，则y=0.6x+5. 学生刚刚接触函数，教师不能过于激进，要循序渐进，引导学生建模，从简单的情境出发，利用试验让其感受弹簧长度随物体质量变化而变化，激发其学习欲望，提升教学效率.
2. 通过观察，分析变化
某小型轿车油箱中原有汽油50 L，每行驶50 km耗油5 L. 教师利用表格让学生回答问题，如表1. 学生通过计算，填出答案：0、5、10、15、20. 然后教师提问：“同学们请写出耗油量y和汽车行驶路程x的关系. ”学生的答案是y=0.1x，教师追问：“那么请同学们分析，剩余油量z和汽车行驶路程之间的关系是怎样的？”学生最终建立模型z=50-0.1x. 教师继续提问：“汽车可以无限行驶下去吗？”学生回答：“不能. ”教师：“行驶路程x的取值范围为多少？”学生分析：“汽车在还没有行驶的时候油箱中有50 L油，每行驶50 km耗油5 L，那么汽车行驶■×50=500（km）后，汽车油量全部消耗光，可见x不会无限增加，范围是0～500 km.”最终构建模型为y=0.1x（0≤x≤500）;z=50-0.1x（0≤x≤500）. 在之前创建情境的基础上，教师就可尝试将课堂交给学生，独立完成构建模型、解答和验证模型，并计算x取值范围，构建完整模型. 这样的过程能够培养学生学习的细心和严谨，解答问题更加周全，促进将来学习和生活的准确性.
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3. 回顾反思，总结模型
当教学结束后，教师带领学生进行知识的回顾和总结，如通过问题“经过本节课的学习，请谈一谈你有何收获”引导学生独立回顾自己构建和解答模型后的收获和困惑，在与同学的交流中，教师适当给予提醒，令学生可以主动总结出模型构建的方法. 如果学生学习和接受一次函数知識需要一段时间，为了激发其思维，可以在发现问题环节多进行演示，让学生在实际情境中分析数学问题，教师根据其知识接受能力给予精准指导，建立一次函数模型，并通过对一次函数的探索，为后期学习奠定基础，帮助学生养成良好的学习习惯.
综上所述，构建模型是初中函数教学的主要内容，可以帮助学生解答更加复杂的问题. 特别是一次函数教学过程中，将之前用数字代表的关系式，转化为字母形式. 并通过提出质疑、提出假设、构建模型、答疑解惑和最终验证模型，帮助学生提升学习效率.
