论新课标下数列高考复习的策略
郭胜光
新课改的四个实验省区的学生，已于2007年6月参加新课程下的高考，纵观新高考数学试卷的数列试题，笔者深深体会到：试卷紧扣新课标(以下简称《标准》)要求，在考察学生基础知识和基本技能的同时，注重考察学生的创新能力.与《大纲》要求的高考数列试题对比，难度明显降低.因此，《标准》下数列高考复习与《大纲》下数列高考复习要有所区分，要注意以下策略：
1 研究《标准》与《大纲》的联系与区别
1.1 《标准》要求
(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.(2)等差数列、等比数列：①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念.②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.
1.2 《大纲》要求
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
1.3 联系与区别
从上述要求可以看出，《标准》与《大纲》相比，对数列内容的要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是《标准》突出了数列与函数的内在联系，《大纲》比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列的学习中，学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.
2 强化主干知识复习
通过《标准》与《大纲》对比，我们知道数列这一章的主干知识是：等差数列→等比数列→数列的通项及前n项和的求法.因此，高考复习中应抓住主干知识线，实施有效复习，帮助学生构建知识网络.
2.1 等差数列{a璶}
(1)要求学生理解等差概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系.
利用等差概念容易得到：a2-a1=d,a3-a2=d,…,a璶-a﹏-1=d，将n-1个式子相加得：a璶=a1+(n-1)d輆璶=dn+(a1-d)，当d≠0时，a璶是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线上的离散的点.通项公式a璶=a1+(n-1)d可以进一步拓展为a璶=a璵+(n-m)d(n≥m).
(2)抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清前n项的和与二次函数的关系.
等差数列{a璶}中，任意连续三项中，第二项是第一项和第三项的算术平均值，项数和相等的任意两项和相等，由此，可得到前n项和公式S璶=n(a1+a璶)2=na1+n(n-1)2d.等差数列前n项和公式的推导，本质上是用了“倒序相加法”，这种求和方法在复习时一定要强化，并作适当拓展.由等差数列前n项和公式变形可得S璶=d2n2+(a1-d2)n，当公差d≠0时，S璶 是关于n的缺常数项的二次函数，它的图象是在一条抛物线上的离散的点，利用这一结论， 可以解决求等差数列前几项和最大(小)值的一类问题.
(3)强化“知三求二”的题型训练.
作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的，“知三求二”是等差数列的重要题型，所谓“知三求二”就是等差数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差，只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个.对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为编造太难、太繁题目给学生做，这样不仅增加学生负担，而且淡化数学本质，以下例题的难度较为合适.
例1 已知{a璶}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差=().
A.-23 B.-13 C.13 D.23
(2007年高考宁夏、海南卷试题)
解 由公式S璶=n2(a1+a璶)得：5(a1+10)=70，所以a1=4.又由公式a璶=a1+(n-1)d得：4+(10-1)d=10，所以d=23，选D.
2.2等比数列{a璶}
(1)要求学生理解等比概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系.
利用等比概念，容易得到等比数列的通项公式：a璶=a1q﹏-1，当q≠1时，a璶是关于n的指数型函数.在复习等比数列的通项公式时，可以把该公式拓展为：a璶=a璵q﹏-m(n≥m).
(2)抓住等比数列的特征，掌握等比数列前n项和公式及其推导方法.
设等比数列{a璶}的公比为q，若q=1，则S璶=na1，若q≠1，则S璶=a1+a1q+a1q2+…+a1q﹏-1 ①
qS璶=a1q+a1q2+…+a1q﹏-1+a1q琻②
①-②得S璶=a1(1-q琻)1-q.
对比数列前n项和公式的推导，用到的方法是“错位相减”法，这种求和方法在复习时要重点强调，强化练习，力争做到人人过关.
(3)控制“知三求二”题型的难度.
等比数列也有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公比.这五个参量有一定的联系，表现为两个基本关系a璶=a1q﹏-1，S璶=a1(1-q琻)1-q，由关系式知，只要已知这五个参量中的任意三个，就可以求出其余的两个.因此，“知三求二”的问题，就是解方程组的问题.
值得注意的是，对于等比数列，“知三求二”的问题可能出现高次方程，这不在《标准》要求范围之内.《标准》的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题，因此，在复习等比数列“知三求二”问题时要注意控制难度，按《标准》要求复习.
例2 设数列{a璶}满足a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,a∈N*.
(Ⅰ)求数列{a璶}的通项；
(Ⅱ)设b璶=na璶，求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考山东卷试题).
解：(Ⅰ)∵a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3﹏-2?a﹏-1=n-13.②
①-②得3﹏-1猘璶=13,a璶=13琻.在①中，令n=1,得a1=13.∴a璶=13琻.
(Ⅱ)∵b璶=na璶,∴b璶=n3琻.∴S璶=3+2×32+3×33+…+n3琻,③
3S璶=32+2×33+3×34+…+n3﹏+1④
④-③得∴2S璶=n3﹏+1-(3+32+33+…+3琻).即2S璶=n3﹏+1-3(1-3琻)1-3,
∴S璶=(2n-1)3﹏+14+34.
例3 已知函数f(x)=x2+x-1,α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是
ゝ(x)的导数.设a1=1,a﹏+1=a璶-f(a璶)f′(a璶)(n=1,2,…).(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n有a璶>α，记b璶=玪n玜璶-βa璶-α(n=1,2,…).求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考广东卷试题)
解 (1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.
(2)f′(x)=2x+1,a﹏+1=a璶-a2璶+a璶-12a璶+1=a2璶+12a璶+1.
a﹏+1-βa﹏+1-α=a璶2+12a璶+1+1+52a璶2+12a璶+1+1-52
=a璶2+(1+5)a璶+3+52a璶2+(1-5)a璶+3-52
=a璶+1+52a璶+1-522=a璶-βa璶-α2,
∴b﹏+1=2b璶.又b1=玪n玜1-βa1-α=玪n3+53-5=4玪n1+52,
∴数列{b璶}是一个首项为4玪n1+52,公比为2的等比数列.
∴S璶=4玪n1+52(1-2琻)1-2
=4(2琻-1)玪n1+52.
3 把握复习难度
《大纲》要求的高考试卷中，数列常以压轴题的形式出现，以2007年高考为例，《大纲》要求的高考试卷共16份，其中以数列题为试卷最后两题的共有15份，因此，传统的高三数学总复习中，教师对数列部分的内容拓得很广，挖的很深，复习的难度远远超过《大纲》及课本的要求.各种数学杂志也投其所好，发表了不少关于数列内容的文章，象炒股票一样，把数列炒得火热，而把数列本质的东西都抛弃了.难怪有的教师说，数列按《大纲》要求复习，高考很难拿到分数.
《标准》突出数列本质，在实行课改的四省市2007年高考命制的三份试题中，表现的非常突出.三份试题中，只有广东卷把数列题作为压轴题，考察的是等比数列的定义及求等比数列前n项和.宁夏、海南卷数列只作为选择题考查(这在《大纲》教材高考中是不可能出现的)，两道选择题都是考查等差数列、等比数列的基础知识，可以说只要课本知识掌握，解这两道题是不成问题的.山东卷把数列题放在解答题第一题的位置，该题考察数列求通项与数列求和的基本方法(错位相减法)，错位相减法直接来源于课本中的等比数列前n项和公式的推导，学生非常熟悉，据统计该题的得分率较高.由此可见，新课标下数列高考复习要与时俱进，降低难度，特别是递推数列求通项，不要深挖，把主干知识等差数列、等比数列复习好，将最基本的解题方法训练好，还数列的本来面目.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
新课改的四个实验省区的学生，已于2007年6月参加新课程下的高考，纵观新高考数学试卷的数列试题，笔者深深体会到：试卷紧扣新课标(以下简称《标准》)要求，在考察学生基础知识和基本技能的同时，注重考察学生的创新能力.与《大纲》要求的高考数列试题对比，难度明显降低.因此，《标准》下数列高考复习与《大纲》下数列高考复习要有所区分，要注意以下策略：
1 研究《标准》与《大纲》的联系与区别
1.1 《标准》要求
(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.(2)等差数列、等比数列：①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念.②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.
1.2 《大纲》要求
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
1.3 联系与区别
从上述要求可以看出，《标准》与《大纲》相比，对数列内容的要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是《标准》突出了数列与函数的内在联系，《大纲》比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列的学习中，学生通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.
2 强化主干知识复习
通过《标准》与《大纲》对比，我们知道数列这一章的主干知识是：等差数列→等比数列→数列的通项及前n项和的求法.因此，高考复习中应抓住主干知识线，实施有效复习，帮助学生构建知识网络.
2.1 等差数列{a璶}
(1)要求学生理解等差概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系.
利用等差概念容易得到：a2-a1=d,a3-a2=d,…,a璶-a﹏-1=d，将n-1个式子相加得：a璶=a1+(n-1)d輆璶=dn+(a1-d)，当d≠0时，a璶是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线上的离散的点.通项公式a璶=a1+(n-1)d可以进一步拓展为a璶=a璵+(n-m)d(n≥m).
(2)抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清前n项的和与二次函数的关系.
等差数列{a璶}中，任意连续三项中，第二项是第一项和第三项的算术平均值，项数和相等的任意两项和相等，由此，可得到前n项和公式S璶=n(a1+a璶)2=na1+n(n-1)2d.等差数列前n项和公式的推导，本质上是用了“倒序相加法”，这种求和方法在复习时一定要强化，并作适当拓展.由等差数列前n项和公式变形可得S璶=d2n2+(a1-d2)n，当公差d≠0时，S璶 是关于n的缺常数项的二次函数，它的图象是在一条抛物线上的离散的点，利用这一结论， 可以解决求等差数列前几项和最大(小)值的一类问题.
(3)强化“知三求二”的题型训练.
作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的，“知三求二”是等差数列的重要题型，所谓“知三求二”就是等差数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差，只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个.对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为编造太难、太繁题目给学生做，这样不仅增加学生负担，而且淡化数学本质，以下例题的难度较为合适.
例1 已知{a璶}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差=().
A.-23 B.-13 C.13 D.23
(2007年高考宁夏、海南卷试题)
解 由公式S璶=n2(a1+a璶)得：5(a1+10)=70，所以a1=4.又由公式a璶=a1+(n-1)d得：4+(10-1)d=10，所以d=23，选D.
2.2等比数列{a璶}
(1)要求学生理解等比概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系.
利用等比概念，容易得到等比数列的通项公式：a璶=a1q﹏-1，当q≠1时，a璶是关于n的指数型函数.在复习等比数列的通项公式时，可以把该公式拓展为：a璶=a璵q﹏-m(n≥m).
(2)抓住等比数列的特征，掌握等比数列前n项和公式及其推导方法.
设等比数列{a璶}的公比为q，若q=1，则S璶=na1，若q≠1，则S璶=a1+a1q+a1q2+…+a1q﹏-1 ①
qS璶=a1q+a1q2+…+a1q﹏-1+a1q琻②
①-②得S璶=a1(1-q琻)1-q.
对比数列前n项和公式的推导，用到的方法是“错位相减”法，这种求和方法在复习时要重点强调，强化练习，力争做到人人过关.
(3)控制“知三求二”题型的难度.
等比数列也有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公比.这五个参量有一定的联系，表现为两个基本关系a璶=a1q﹏-1，S璶=a1(1-q琻)1-q，由关系式知，只要已知这五个参量中的任意三个，就可以求出其余的两个.因此，“知三求二”的问题，就是解方程组的问题.
值得注意的是，对于等比数列，“知三求二”的问题可能出现高次方程，这不在《标准》要求范围之内.《标准》的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题，因此，在复习等比数列“知三求二”问题时要注意控制难度，按《标准》要求复习.
例2 设数列{a璶}满足a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,a∈N*.
(Ⅰ)求数列{a璶}的通项；
(Ⅱ)设b璶=na璶，求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考山东卷试题).
解：(Ⅰ)∵a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3﹏-2?a﹏-1=n-13.②
①-②得3﹏-1猘璶=13,a璶=13琻.在①中，令n=1,得a1=13.∴a璶=13琻.
(Ⅱ)∵b璶=na璶,∴b璶=n3琻.∴S璶=3+2×32+3×33+…+n3琻,③
3S璶=32+2×33+3×34+…+n3﹏+1④
④-③得∴2S璶=n3﹏+1-(3+32+33+…+3琻).即2S璶=n3﹏+1-3(1-3琻)1-3,
∴S璶=(2n-1)3﹏+14+34.
例3 已知函数f(x)=x2+x-1,α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是
ゝ(x)的导数.设a1=1,a﹏+1=a璶-f(a璶)f′(a璶)(n=1,2,…).(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n有a璶>α，记b璶=玪n玜璶-βa璶-α(n=1,2,…).求数列{b璶}的前n项和S璶.(2007年高考广东卷试题)
解 (1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.
(2)f′(x)=2x+1,a﹏+1=a璶-a2璶+a璶-12a璶+1=a2璶+12a璶+1.
a﹏+1-βa﹏+1-α=a璶2+12a璶+1+1+52a璶2+12a璶+1+1-52
=a璶2+(1+5)a璶+3+52a璶2+(1-5)a璶+3-52
=a璶+1+52a璶+1-522=a璶-βa璶-α2,
∴b﹏+1=2b璶.又b1=玪n玜1-βa1-α=玪n3+53-5=4玪n1+52,
∴数列{b璶}是一个首项为4玪n1+52,公比为2的等比数列.
∴S璶=4玪n1+52(1-2琻)1-2
=4(2琻-1)玪n1+52.
3 把握复习难度
《大纲》要求的高考试卷中，数列常以压轴题的形式出现，以2007年高考为例，《大纲》要求的高考试卷共16份，其中以数列题为试卷最后两题的共有15份，因此，传统的高三数学总复习中，教师对数列部分的内容拓得很广，挖的很深，复习的难度远远超过《大纲》及课本的要求.各种数学杂志也投其所好，发表了不少关于数列内容的文章，象炒股票一样，把数列炒得火热，而把数列本质的东西都抛弃了.难怪有的教师说，数列按《大纲》要求复习，高考很难拿到分数.
《标准》突出数列本质，在实行课改的四省市2007年高考命制的三份试题中，表现的非常突出.三份试题中，只有广东卷把数列题作为压轴题，考察的是等比数列的定义及求等比数列前n项和.宁夏、海南卷数列只作为选择题考查(这在《大纲》教材高考中是不可能出现的)，两道选择题都是考查等差数列、等比数列的基础知识，可以说只要课本知识掌握，解这两道题是不成问题的.山东卷把数列题放在解答题第一题的位置，该题考察数列求通项与数列求和的基本方法(错位相减法)，错位相减法直接来源于课本中的等比数列前n项和公式的推导，学生非常熟悉，据统计该题的得分率较高.由此可见，新课标下数列高考复习要与时俱进，降低难度，特别是递推数列求通项，不要深挖，把主干知识等差数列、等比数列复习好，将最基本的解题方法训练好，还数列的本来面目.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
