数学选题应充分体现数学新课程的特点
徐玲芳
结合高中数学新课程的主编寄语以及数学教学实践，笔者认为数学新课程的特点是：数学是自然的；学数学能提高能力；数学是清楚的；数学是有用的；数学教师应有人本理念.数学教学应紧扣数学特点，精心选择数学问题，不断激发学生学习数学的动机，随着数学教学过程的展开形成几个高潮，使学生经常处于“愤悱”的状态中，培养学生的各种能力，做到“以题激情、情知交融”.下面笔者结合数学新课程的特点，谈谈在数学选题方面的一点体会.
1 数学选题要体现“数学是有用的”
数学选题要体现“数学是有用的”.什么叫有用，什么叫无用，可以用来买菜、算账就是有用吗?或者更高级一点，可以用来计算银行利息、看懂股市行情就是有用吗?再 高级一点，能够用来解决某个实际问题就是有用吗?都是，但又不完全是，数学的有用性更加体现在数学是一种思考方式上，日本教育家米山国藏指出：“作为知识的数学，学生出校门不到两年就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些却随时随地发生作用，使他们终生受益”，学习数学是学生学习了一种科学的数据处理方法，使学生能从纷杂的数据中看到一些共性和个性的特点，能看到一些事物间的本质联系，这一切对于学生才是终身受用的.所以数学选题时要选择一些贴近生活，贴近实际的数学问题，同时这样的数学问题还要体现出一定的数学思想和数学方法，这样的数学问题是可以给学生创设一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程，让学生感受生活中不但要用到数学，而且还要用到数学思维和数学思想方法，在这样的数学问题下，学生一定会想学、乐学、主动学，从而激发学生学习和探究数学的兴趣.
案例1 在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下实际应用问题，某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价.有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售；丙方案是两次都打p+q2折销售.请问：哪一种方案降价较多?(引导学生解决这个实际问题需要怎样的数学思维方式和数学思想，让学生充分感受数学思维方式和数学思想的重要性).
2 数学选题要体现“学数学能提高能力”
考纲明确指出：对数学能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调考题必须具有探究性、综合性、应用性.因而数学探究能力的培养有着十分重要的意义，探究能力是各种能力中的较高层次，它要求学生会对数学问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述.探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的，所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程.如何选择一些具有探究意义的数学问题来充分暴露学生的思维过程是提高学生能力的前提，怎样的数学问题才具有探究性呢?笔者认为这样的数学问题不一定有解，答案不必唯一，条件可以变化，解决方案可以自己设计，允许与别人讨论等等.比如在圆锥曲线教学选题时，笔者常选一些可以改变条件或一题多解的数学问题来培养学生的探究能力.
案例2 直线y=2x+m与抛物线y=x2相交于A、B两点， ，求直线AB的方程.(需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定).
此题一出，学生的思维便很活跃，补充的条件形形色色，从而激发了学生的探究欲望.例如：①|AB|=4;②若O为原点，∠AOB=90°；③AB中点的纵坐标为6；④AB过抛物线的焦点F.在探究过程中涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了探究“状态”，学生的探究能力得到一定的培养.
新课程在注重培养探究能力的同时，还注重学生的创新意识和实践能力的培养，所以在选题时要选择一些能启发学生发现问题和提出问题的数学问题，从而使数学教学成为再发现、再创造、再实践的探究过程.例如在学习必修3的统计章节时，可以统计班级学生的身高；可以统计班级学生的学习成绩；可以统计班级学生的兴趣爱好；可以用来统计班级学生的学习用品等等为选题的内容.
3 数学选题要体现“数学是自然的”
数学新课程中的数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼而得到的精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的，所以在数学课堂教学中的选题也要体现“数学的自然性”.
案例3 选修1-1和选修2-1的充分条件和必要条件是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点，另外每个教室都装有日光灯，教学时可以选择这样的数学问题：“电灯亮着”是“有电”的什么条件，“有电”是“电灯亮着”的什么条件，这是很自然，因为这是学生每天接触的物件，而且学生也是很自然的得出：“电灯亮着是有电的充分条件，有电是电灯亮着的必要条件”.另外学生已经学过物理的电路图，此时可以自然设计如下四个电路图.
视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得比较自然而且入木三分.
数学选题的自然性还要体现：“选题必须符合学生实际的认识水平，要在学生的最近发展区选题”.按照心理学，人的认识水平分为：
人的认识水平就是在这三个层次间循环，不断转化，螺旋式上升，不宜停留在已知区和未知区，即不能太难和太容易，要自然的从学生的“最近发展区”选题，即知识的增长点选题，这样有助于原有认知结构的巩固，也便于将新知自然的同化，使认知结构更加完善.
案例4 在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，选这样的问题：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗?
这样的数学选题非常自然，又是在学生的最近发展区内，结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引导学生探索其中奥秘的欲望(一元二次函数可以y=x2为例)，此时，教师可根据情况决定要不要点拨：我们目标是一元二次函数的图象符合抛物线定义，从y=x2入手推导出曲线上动点到某定点和某定直线距离相等.学生纷纷动笔变形、拼凑，找到了定点F(0，14)和定直线l：y=-14，一元二次函数y=x2的图像上的动点P与定点F的距离正好等于它到直线l的距离，完全符合现在的定义，这样的选题和探究完全在学生的最近发展区内，学生很自然的入手解决，使得新旧知识能够自然的同化.
4 数学选题要体现“数学是清楚的、严密的”
数学是清楚的，清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论，数学的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊.在数学选题中多选一些能够让学生自己找出错误解答之处和相应的原因而不是等待教师的批改.从而培养学生的辨别能力，清楚地知道自己解对还是解错，增强防御“陷阱”的经验.
案例5 (1)判断命题的真假：“已知a,b是实数，若a>b，则a>b.”
这样的数学问题答案是清楚的，因为只需从逆否命题角度清楚地知道是假的，但很多学生会认为这个命题真的.选择这样的数学问题，让学生自己找出问题的答案和出错之处，不但能巩固学生的数学知识和数学思想方法，而且还能培养学生的辨别能力.(逆否命题：“已知a,b是实数，若a>b,则a>b.”)
(2)命题p:四条边相等的四边形是正方形(假命题).命题q:四个角相等的四边形是正方形(假命题).请构造命题p∧q.
很多同学答案是：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形(真命题)，但依据真值表又清楚的知道这样构造的命题是不对的，问题出在何处?正确的复合命题“p∧q”又应该如何构造?这个命题又是什么命题呢?等，我相信学生自己会探究清楚.
数学是严密的，为了培养学生思维的严谨性，可选一些开放性大的数学问题，让学生去尝试，去“碰撞”和“跌跤”，让学生充分“暴露问题”，然后顺其错误或遗漏认真剖析，不断引导，使学生恍然大悟，留下深刻印象.更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权.英国心理学家贝恩布里奇说过：“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的.”
案例6 若函数f(x)=ax2+2ax+1图象都在x轴上方，求实数a的取值范围.
学生因为思维不严密，往往错解为a>0且(2a)2-4a<0，即0案例7 双曲线x225-y2144=1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确是().
A.P到左焦点的距离为8
B.P到左焦点的距离为15
C.P到左焦点的距离不确定
D.这样的P点不存在
根据学生平时练习的反馈信息，有两种错误解法(都错误的认为结论是B)：
错解1：设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=±10，
结合高中数学新课程的主编寄语以及数学教学实践，笔者认为数学新课程的特点是：数学是自然的；学数学能提高能力；数学是清楚的；数学是有用的；数学教师应有人本理念.数学教学应紧扣数学特点，精心选择数学问题，不断激发学生学习数学的动机，随着数学教学过程的展开形成几个高潮，使学生经常处于“愤悱”的状态中，培养学生的各种能力，做到“以题激情、情知交融”.下面笔者结合数学新课程的特点，谈谈在数学选题方面的一点体会.
1 数学选题要体现“数学是有用的”
数学选题要体现“数学是有用的”.什么叫有用，什么叫无用，可以用来买菜、算账就是有用吗?或者更高级一点，可以用来计算银行利息、看懂股市行情就是有用吗?再 高级一点，能够用来解决某个实际问题就是有用吗?都是，但又不完全是，数学的有用性更加体现在数学是一种思考方式上，日本教育家米山国藏指出：“作为知识的数学，学生出校门不到两年就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些却随时随地发生作用，使他们终生受益”，学习数学是学生学习了一种科学的数据处理方法，使学生能从纷杂的数据中看到一些共性和个性的特点，能看到一些事物间的本质联系，这一切对于学生才是终身受用的.所以数学选题时要选择一些贴近生活，贴近实际的数学问题，同时这样的数学问题还要体现出一定的数学思想和数学方法，这样的数学问题是可以给学生创设一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程，让学生感受生活中不但要用到数学，而且还要用到数学思维和数学思想方法，在这样的数学问题下，学生一定会想学、乐学、主动学，从而激发学生学习和探究数学的兴趣.
案例1 在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下实际应用问题，某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价.有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售；丙方案是两次都打p+q2折销售.请问：哪一种方案降价较多?(引导学生解决这个实际问题需要怎样的数学思维方式和数学思想，让学生充分感受数学思维方式和数学思想的重要性).
2 数学选题要体现“学数学能提高能力”
考纲明确指出：对数学能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调考题必须具有探究性、综合性、应用性.因而数学探究能力的培养有着十分重要的意义，探究能力是各种能力中的较高层次，它要求学生会对数学问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述.探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的，所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程.如何选择一些具有探究意义的数学问题来充分暴露学生的思维过程是提高学生能力的前提，怎样的数学问题才具有探究性呢?笔者认为这样的数学问题不一定有解，答案不必唯一，条件可以变化，解决方案可以自己设计，允许与别人讨论等等.比如在圆锥曲线教学选题时，笔者常选一些可以改变条件或一题多解的数学问题来培养学生的探究能力.
案例2 直线y=2x+m与抛物线y=x2相交于A、B两点， ，求直线AB的方程.(需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定).
此题一出，学生的思维便很活跃，补充的条件形形色色，从而激发了学生的探究欲望.例如：①|AB|=4;②若O为原点，∠AOB=90°；③AB中点的纵坐标为6；④AB过抛物线的焦点F.在探究过程中涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了探究“状态”，学生的探究能力得到一定的培养.
新课程在注重培养探究能力的同时，还注重学生的创新意识和实践能力的培养，所以在选题时要选择一些能启发学生发现问题和提出问题的数学问题，从而使数学教学成为再发现、再创造、再实践的探究过程.例如在学习必修3的统计章节时，可以统计班级学生的身高；可以统计班级学生的学习成绩；可以统计班级学生的兴趣爱好；可以用来统计班级学生的学习用品等等为选题的内容.
3 数学选题要体现“数学是自然的”
数学新课程中的数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼而得到的精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的，所以在数学课堂教学中的选题也要体现“数学的自然性”.
案例3 选修1-1和选修2-1的充分条件和必要条件是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点，另外每个教室都装有日光灯，教学时可以选择这样的数学问题：“电灯亮着”是“有电”的什么条件，“有电”是“电灯亮着”的什么条件，这是很自然，因为这是学生每天接触的物件，而且学生也是很自然的得出：“电灯亮着是有电的充分条件，有电是电灯亮着的必要条件”.另外学生已经学过物理的电路图，此时可以自然设计如下四个电路图.
视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得比较自然而且入木三分.
数学选题的自然性还要体现：“选题必须符合学生实际的认识水平，要在学生的最近发展区选题”.按照心理学，人的认识水平分为：
人的认识水平就是在这三个层次间循环，不断转化，螺旋式上升，不宜停留在已知区和未知区，即不能太难和太容易，要自然的从学生的“最近发展区”选题，即知识的增长点选题，这样有助于原有认知结构的巩固，也便于将新知自然的同化，使认知结构更加完善.
案例4 在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，选这样的问题：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗?
这样的数学选题非常自然，又是在学生的最近发展区内，结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引导学生探索其中奥秘的欲望(一元二次函数可以y=x2为例)，此时，教师可根据情况决定要不要点拨：我们目标是一元二次函数的图象符合抛物线定义，从y=x2入手推导出曲线上动点到某定点和某定直线距离相等.学生纷纷动笔变形、拼凑，找到了定点F(0，14)和定直线l：y=-14，一元二次函数y=x2的图像上的动点P与定点F的距离正好等于它到直线l的距离，完全符合现在的定义，这样的选题和探究完全在学生的最近发展区内，学生很自然的入手解决，使得新旧知识能够自然的同化.
4 数学选题要体现“数学是清楚的、严密的”
数学是清楚的，清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论，数学的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊.在数学选题中多选一些能够让学生自己找出错误解答之处和相应的原因而不是等待教师的批改.从而培养学生的辨别能力，清楚地知道自己解对还是解错，增强防御“陷阱”的经验.
案例5 (1)判断命题的真假：“已知a,b是实数，若a>b，则a>b.”
这样的数学问题答案是清楚的，因为只需从逆否命题角度清楚地知道是假的，但很多学生会认为这个命题真的.选择这样的数学问题，让学生自己找出问题的答案和出错之处，不但能巩固学生的数学知识和数学思想方法，而且还能培养学生的辨别能力.(逆否命题：“已知a,b是实数，若a>b,则a>b.”)
(2)命题p:四条边相等的四边形是正方形(假命题).命题q:四个角相等的四边形是正方形(假命题).请构造命题p∧q.
很多同学答案是：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形(真命题)，但依据真值表又清楚的知道这样构造的命题是不对的，问题出在何处?正确的复合命题“p∧q”又应该如何构造?这个命题又是什么命题呢?等，我相信学生自己会探究清楚.
数学是严密的，为了培养学生思维的严谨性，可选一些开放性大的数学问题，让学生去尝试，去“碰撞”和“跌跤”，让学生充分“暴露问题”，然后顺其错误或遗漏认真剖析，不断引导，使学生恍然大悟，留下深刻印象.更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权.英国心理学家贝恩布里奇说过：“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的.”
案例6 若函数f(x)=ax2+2ax+1图象都在x轴上方，求实数a的取值范围.
学生因为思维不严密，往往错解为a>0且(2a)2-4a<0，即0案例7 双曲线x225-y2144=1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确是().
A.P到左焦点的距离为8
B.P到左焦点的距离为15
C.P到左焦点的距离不确定
D.这样的P点不存在
根据学生平时练习的反馈信息，有两种错误解法(都错误的认为结论是B)：
错解1：设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=±10，
