例谈从解题教学发展学生数学思维
潘颖艺
在学习完必修四中任意角和弧度制、任意角的三角函数，以及同角三角函数的基本关系的知识之后，下文题目作为课堂练习的一道题目，在教学中，学生呈现了多种解题思路，有效促进了学生数学思维的发展.
3 教学思考
3.1 多角度的条件表征暴露学生解题的思维过程
本题原本的设计意图是巩固学生对同角三角函数的基本关系相关知识，然而，学生解题后的反馈呈现多种的思维过程，超出原本教学预期，对于tanα=2而言，学生表现出不同理解形式：一是如生1所说的，将tanα看作一个整体，将所求式子齐次化，通过“1”的代换和弦化切的过程，最终代入求解;二是如生3所说的，将tanα=2化为sinα=2cosα，构建关于sma，cosα方程组并解方程组，以求得答案;三是如生4所说的，利用单位圆中的任意角的三角函数的定义，从角α终边与单位圆的交点横、纵坐标切入;四是生5所说的，从角α入手，从形的角度，几何直观地解释tanα，并运用终边相同的角的知识进一步求解，不同tanα的表征，展现学生思维的不同“悟”的维度，以及暴露出学生对数学知识内容掌握程度，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越.
3.2 发展数学思维促进学生数学核心素养的形成和发展
数学是思维的科学，站在大问题的教学层面看，对tanα的理解，既从代数角度思考，即通过将tanα整体代入，或构建sinα，cosα的方程组，在数学运算和逻辑推理中，融入整体思想和方程思想等，又从几何角度思考，构造一个直角三角形的边角关系，在解答中融入数形结合思想等，尽管学生在解题过程中出现诸如：用锐角代替tanα中角α，以偏概全，或对x，y，r符号突然出现等，但是这才真正展示原生态的课堂教学过程，学生能够在思维最近发展区自主建构知识网络系统，不断地完善知识间的联系，也如實地反映学生的螺旋上升的认知规律，教师也才能够及时有效地理解数学、理解学生、理解教学的水平，正如傅种孙先生所说：“以方法为经，以教材为纬”，进而“启发学者，示以思维之道”[1]，实现“何由以知其所以然”.
参考文献
[1]章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革[J].数学通报，2017 （11）：1—618
在学习完必修四中任意角和弧度制、任意角的三角函数，以及同角三角函数的基本关系的知识之后，下文题目作为课堂练习的一道题目，在教学中，学生呈现了多种解题思路，有效促进了学生数学思维的发展.
3 教学思考
3.1 多角度的条件表征暴露学生解题的思维过程
本题原本的设计意图是巩固学生对同角三角函数的基本关系相关知识，然而，学生解题后的反馈呈现多种的思维过程，超出原本教学预期，对于tanα=2而言，学生表现出不同理解形式：一是如生1所说的，将tanα看作一个整体，将所求式子齐次化，通过“1”的代换和弦化切的过程，最终代入求解;二是如生3所说的，将tanα=2化为sinα=2cosα，构建关于sma，cosα方程组并解方程组，以求得答案;三是如生4所说的，利用单位圆中的任意角的三角函数的定义，从角α终边与单位圆的交点横、纵坐标切入;四是生5所说的，从角α入手，从形的角度，几何直观地解释tanα，并运用终边相同的角的知识进一步求解，不同tanα的表征，展现学生思维的不同“悟”的维度，以及暴露出学生对数学知识内容掌握程度，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越.
3.2 发展数学思维促进学生数学核心素养的形成和发展
数学是思维的科学，站在大问题的教学层面看，对tanα的理解，既从代数角度思考，即通过将tanα整体代入，或构建sinα，cosα的方程组，在数学运算和逻辑推理中，融入整体思想和方程思想等，又从几何角度思考，构造一个直角三角形的边角关系，在解答中融入数形结合思想等，尽管学生在解题过程中出现诸如：用锐角代替tanα中角α，以偏概全，或对x，y，r符号突然出现等，但是这才真正展示原生态的课堂教学过程，学生能够在思维最近发展区自主建构知识网络系统，不断地完善知识间的联系，也如實地反映学生的螺旋上升的认知规律，教师也才能够及时有效地理解数学、理解学生、理解教学的水平，正如傅种孙先生所说：“以方法为经，以教材为纬”，进而“启发学者，示以思维之道”[1]，实现“何由以知其所以然”.
参考文献
[1]章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革[J].数学通报，2017 （11）：1—618
