卫星运行的速度、加速度大小的比较
徐君生+陈润龙
卫星运行问题是近几年高考的热点，是高考必考知识点之一，也是力学的重点与难点。这部分知识往往和圆周运动、抛体运动、能量计算等结合起来，能全面考查学生对这些知识点的掌握情况及综合处理能力。而在公式繁多、变量之间关系复杂的天体运行及卫星运动问题中，速度和加速度是两个起决定作用的物理量，它们对解决与万有引力相关的运动学和动力学问题至关重要。本文试就对卫星运行的速度与加速度大小比较的题型、方法做一小结，以期能对物理的教与学起到参考作用。
1.圆轨道运行卫星的速度、加速度大小的比较
（1）卫星运行的三点简化与三个重要关系式
卫星绕地球运行时有三点简化：一是近似认为卫星只受到地球的万有引力，不计阻力以及其它天体对卫星的万有引力；二是近似认为卫星运行的轨迹为圆；三是忽略地球的自转与公转，认为地球是静止不动的，在三点简化的基础上有三个重要关系式：一是在地球表面上，因忽略地球的自转的影响，所以认为地球对物体的万有引力就等于物体的重宙速度是指发射人造地球卫星的最小速度，以此速度发射的卫星，距地面的高度也是最低的，最低高度约为零，即其绕地球运行的半径约等于地球的半径，所以第三关系式根据
（2）速度与加速度的两条重要结论
①卫星运行速度：从上述第二关系式不难看出，卫星运行速度与其绕行半径有关，半径越大，绕行速度越小；半径越小，绕行速度越大.故卫星运行速度最快的是绕地球表面运行的卫星，其值为7.9 km/s（即第一宇宙速度）；运行最慢的是地球同步卫星（目前还没有高度超过同步卫星的人造地球卫星），其值大约为3.1 km/s。地球的天然卫星——月球的高度高于地球同步卫星高度，所以月球绕行速度小于3.1 km/s（即同步卫星的运行速度）。
②卫星运行时的加速度：卫星运行时的加速度有三种说法，一是不加区分就简称为加速度；二是强调卫星做圆周运动，称之为向心加速度；三是从重力角度出发称之为重力加速度.这三个加速度实际上是一回事，计算式主要是应用牛顿第二定律得到的关系式，
例1“北斗”卫星定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜绕行卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是
（
）
A.中轨道卫星的加速度大小约为静止轨道卫星的2.5倍
B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2.5倍
C.中轨道上的卫星所受的万有引力比静止轨道上的卫星大
D.静止轨道卫星的运行速度大于7.9 km/s
2.同步卫星与地球赤道上物体的速度、加速度大小比较
同步卫星与地球赤道上的物体相同的物理量是角速度（包括周期、转速、频率等），不同的主要是半径以及受力，由此带来两者的速度与加速度也不一样.比较速度、加速度的方法是：因两者角速度相等，根据v=ωr可知，同步卫星的速度大于地球赤道上物体的速度.同样比较两者的向心加速度大小也是
例2 将月球、地球同步卫星及静止在赤道上的物体三者进行比较，下列说法正确的是
（
）
A.三者都只受万有引力的作用，万有引力提供向心力
B.月球绕地运行的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
C.地球同步卫星与静止在赤道上物体的角速度相同
D.地球同步卫星相对地心的线速度与静止在赤道上物体相对地心的线速度大小相等。
解析 月球、地球同步卫星绕地球做圆周运动，只受万有引力的作用，万有引力提供向心力.静止在赤道上的物体随地球自转做圆周运动需要的向心力由万有引力和地面支持力共同提供，故A错误；根据万有引力提供卫星向心力，列出等式，由于月球绕地运行的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，所以月球绕地运行的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度，故B正确；同步卫星的周期与地球白转周期相同，所以地球同步卫星与静止在赤道上物体的角速度相同，故C正确.地球同步卫星与静止在赤道上物体具有相同的角速度，由于同步卫星轨道半径大于赤道上物体的运动半径，根据v=ωr，得地球同步卫星相对地心的线速度大于静止在赤道上物体相对地心的线速度，故D错误。正确答案选择BC。
3.卫星变轨时的速度、加速度大小比较
例3 北京时间6月13日13时18分，“神舟十号”飞船与“天宫一号”实施自动交会对接.交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接.如图2所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速，则
（
）
A.“神舟十号”须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B.“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C.“神舟十号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度
D.“神舟十号”变轨后运行周期总大于变轨前的运行周期
解析
“神舟十号”如果从Q点加速，应该在P点沿逆时针方向到垂直于MP的2轨道正上方之间与“天宫一号”相遇，故A错；“神舟十号”在M点经一次加速，将从圆轨道变为椭圆轨道（也叫过渡轨道），该椭圆轨道在P点与圆轨道2相切，到达P点时需再次加速，才能从椭圆轨道变为圆轨道2，故经一次加速不可能变轨到轨道2，B错；从网轨道1变成椭圆轨道，应在M点加速，C答案正确；由开普勒第三定律（周期定律）可知，D答案正确。正确答案选择CD。
卫星运行问题是近几年高考的热点，是高考必考知识点之一，也是力学的重点与难点。这部分知识往往和圆周运动、抛体运动、能量计算等结合起来，能全面考查学生对这些知识点的掌握情况及综合处理能力。而在公式繁多、变量之间关系复杂的天体运行及卫星运动问题中，速度和加速度是两个起决定作用的物理量，它们对解决与万有引力相关的运动学和动力学问题至关重要。本文试就对卫星运行的速度与加速度大小比较的题型、方法做一小结，以期能对物理的教与学起到参考作用。
1.圆轨道运行卫星的速度、加速度大小的比较
（1）卫星运行的三点简化与三个重要关系式
卫星绕地球运行时有三点简化：一是近似认为卫星只受到地球的万有引力，不计阻力以及其它天体对卫星的万有引力；二是近似认为卫星运行的轨迹为圆；三是忽略地球的自转与公转，认为地球是静止不动的，在三点简化的基础上有三个重要关系式：一是在地球表面上，因忽略地球的自转的影响，所以认为地球对物体的万有引力就等于物体的重宙速度是指发射人造地球卫星的最小速度，以此速度发射的卫星，距地面的高度也是最低的，最低高度约为零，即其绕地球运行的半径约等于地球的半径，所以第三关系式根据
（2）速度与加速度的两条重要结论
①卫星运行速度：从上述第二关系式不难看出，卫星运行速度与其绕行半径有关，半径越大，绕行速度越小；半径越小，绕行速度越大.故卫星运行速度最快的是绕地球表面运行的卫星，其值为7.9 km/s（即第一宇宙速度）；运行最慢的是地球同步卫星（目前还没有高度超过同步卫星的人造地球卫星），其值大约为3.1 km/s。地球的天然卫星——月球的高度高于地球同步卫星高度，所以月球绕行速度小于3.1 km/s（即同步卫星的运行速度）。
②卫星运行时的加速度：卫星运行时的加速度有三种说法，一是不加区分就简称为加速度；二是强调卫星做圆周运动，称之为向心加速度；三是从重力角度出发称之为重力加速度.这三个加速度实际上是一回事，计算式主要是应用牛顿第二定律得到的关系式，
例1“北斗”卫星定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜绕行卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是
（
）
A.中轨道卫星的加速度大小约为静止轨道卫星的2.5倍
B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2.5倍
C.中轨道上的卫星所受的万有引力比静止轨道上的卫星大
D.静止轨道卫星的运行速度大于7.9 km/s
2.同步卫星与地球赤道上物体的速度、加速度大小比较
同步卫星与地球赤道上的物体相同的物理量是角速度（包括周期、转速、频率等），不同的主要是半径以及受力，由此带来两者的速度与加速度也不一样.比较速度、加速度的方法是：因两者角速度相等，根据v=ωr可知，同步卫星的速度大于地球赤道上物体的速度.同样比较两者的向心加速度大小也是
例2 将月球、地球同步卫星及静止在赤道上的物体三者进行比较，下列说法正确的是
（
）
A.三者都只受万有引力的作用，万有引力提供向心力
B.月球绕地运行的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
C.地球同步卫星与静止在赤道上物体的角速度相同
D.地球同步卫星相对地心的线速度与静止在赤道上物体相对地心的线速度大小相等。
解析 月球、地球同步卫星绕地球做圆周运动，只受万有引力的作用，万有引力提供向心力.静止在赤道上的物体随地球自转做圆周运动需要的向心力由万有引力和地面支持力共同提供，故A错误；根据万有引力提供卫星向心力，列出等式，由于月球绕地运行的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，所以月球绕地运行的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度，故B正确；同步卫星的周期与地球白转周期相同，所以地球同步卫星与静止在赤道上物体的角速度相同，故C正确.地球同步卫星与静止在赤道上物体具有相同的角速度，由于同步卫星轨道半径大于赤道上物体的运动半径，根据v=ωr，得地球同步卫星相对地心的线速度大于静止在赤道上物体相对地心的线速度，故D错误。正确答案选择BC。
3.卫星变轨时的速度、加速度大小比较
例3 北京时间6月13日13时18分，“神舟十号”飞船与“天宫一号”实施自动交会对接.交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接.如图2所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速，则
（
）
A.“神舟十号”须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇
B.“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C.“神舟十号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度
D.“神舟十号”变轨后运行周期总大于变轨前的运行周期
解析
“神舟十号”如果从Q点加速，应该在P点沿逆时针方向到垂直于MP的2轨道正上方之间与“天宫一号”相遇，故A错；“神舟十号”在M点经一次加速，将从圆轨道变为椭圆轨道（也叫过渡轨道），该椭圆轨道在P点与圆轨道2相切，到达P点时需再次加速，才能从椭圆轨道变为圆轨道2，故经一次加速不可能变轨到轨道2，B错；从网轨道1变成椭圆轨道，应在M点加速，C答案正确；由开普勒第三定律（周期定律）可知，D答案正确。正确答案选择CD。
