圆周运动的向心力探“源”
李恒林
向心力是效果力，它可以是某一个力，也可以是几个力的合力.在匀速圆周运动中，它的方向总是指向轨迹的网心；在竖直平面上的非匀速圆周运动中，当质点经过轨道的最高点及最低点时，合力的方向也指向轨迹同心.确定圆周运动的物体所需向心力的来源，是研究圆周运动的关键.同学们在对做圆周运动的物体进行受力分析时，往往会多分析一个向心力，从而导致求解错误.其实向心力是按力的作用效果命名的力，在受力分析图中不能画出，它可以由某一个力来提供，也可以由几个力的合力来提供，还可以由某个力的分力来提供.对于圆周运动来说分析求解的关键是寻找质点所受的向心力的来源.
一、向心力来源于某一个力
如图1所示，用细绳系一个小球在竖直平面内做圆周运动，如果小球恰好能通过最高点，则在最高点时小球做圆周运动的向心力由重力提供.
如图2所示，一个物体在圆柱体的内壁，随着圆柱体一起做匀速圆周运动，物体与网柱体无相对滑动，则物体做圆周运动的向心力由网柱体内壁对物体的支持力（弹力）提供.
如图3所示，将一个物体放在转台上，物体随转台一起做匀速圆周运动，物体与转台无相对滑动，则其向心力由转台对物体的静摩擦力提供.
1.向心力来源于弹力的实例
连接在绳、杆或弹簧一端的物体，绕绳、杆或弹簧另一端在水平面内做匀速圆周运动时，绳、杆或弹簧由于弹性形变而产生弹力，弹力提供物体圆周运动的向心力；附着在绕竖直轴匀速转动的圆通内壁，随同通内壁匀速圆周运动的物体，与圆通内壁相互挤压，圆通内壁产生弹力，弹力提供物体做匀速圆周运动的向心力.
例1 如图4所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔0.一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=l kg的小球A，另一端连接质量为M=4 kg的物体B.
（1）小球4沿半径r=0.1 m的圆周做匀速圆周运动，角速度为ω= 10 rad/s.物体B对地面的压力为多大？
（2）当小球A的角速度为多大时，物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态？ （g =10m/S2）
解析由于小孔0光滑，因此，轻绳对小球A及物体B的拉力大小相等，对小球A的拉力沿水平方向指向0，对物体B的拉力竖直向上.
（1）设轻绳的拉力为T，地面对物体B的支持力为N.对水平面上匀速网周运动的小球A运用牛顿第二定律有：T= mrω2；对静止于地面的物体B运用共点力平衡条件有：T+N- Mg=0.代人数据解得：N=30 N.由牛顿第三定律可知，物体B对地面的压力大小是30 N，方向竖直向下.
（2）当物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态时，地面对它的支持力等于零.因此，令N=0，解T- Mg =0和T=mrω2可得：ω= 20 rad/s.所以，当小球4的角速度为ω= 20 rad/s时，物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态.
2.向心力来源于静摩擦力的实例
物体在水平面做圆周运动，由于有沿半径向外的运动趋势，它会受到水平面对它沿半径向内的静摩擦力作用，静摩擦力提供物体做网周运动的向心力.如物体在水平圆盘上随盘的转动，汽车在水平地面上的转弯等.
例2 质量为4000 kg的汽车在水平地面行驶，地面对汽车的最大静摩擦力为16000 N.将汽车转弯时运动视为匀速圆周运动，则：
（1）若汽车保持20 m/s的速率转弯，则最小转弯半径是多少？
（2）若汽车以9m的转弯半径转弯，则最大转弯速率是多少？
解析 汽车在水平地面转弯，转弯时汽车的运动可视为匀速圆周运动，所需向心力由地面对汽车的静摩擦力提供.
（1）在转弯速率一定时，转弯半径越小，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面对汽车的最大静摩擦力，对汽车的转弯运动运用牛顿第二定律有：fm=m
，代人数据解得最小转弯半径为：r =10 m.
（2）在转弯半径一定时，汽车的速率越大，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面对汽车的最大静摩擦力.对汽车的转弯运动运用牛顿第二定律有：fm=
，代人数据解得汽车转弯的最大速率为：v =6 m/s.
二、向心力来源于几个力的合力
物体做匀速网周运动时，所受各力的方向均不在（或部分力的方向不在）圆周运动轨道平面上时，各力的合力提供网周运动的向心力.
如图5所示，物体在绳子拉力的作用下在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体重力的合力提供向心力.
如图6所示，物体在光滑的碗内壁做匀速网周运动，其向心力由碗壁对物体的支持力和物体的重力的合力提供.
如图7所示，物体在绳子的作用下在粗糙的水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体所受到的摩擦力的合力提供.
例3有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为/的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
解析 当转盘以角速度ω匀速转动时，座椅以角速度ω在水平面上做匀速圆周运动，此时座椅受沿钢丝绳斜向上的拉力T和竖直向下的重力作用，如图9所示.由几何关系可知，座椅匀速圆周运动的轨道半径为：R=r+/sin θ.对座椅的匀速网周运动运用牛顿第二定律有：F=mRω2.依据图9，由平行四边形定则有：F=mgtanθ.解此两式得，转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系为：
解析 欲使汽车安全过桥，汽车经过桥的最高点时不能飞离桥面，也不能将桥压坏，即汽车对桥面的最大压力不能超过桥面所能承受的最大压力N0，也不能等于零.设汽车以速度v经过桥面上某位置，如图10所示，对汽车经过该位置的运动在径向运用牛顿第二定律有：mgsinθ-N=
由此式可知，在汽车质量m、桥面半径R、行驶速度v一定时，θ= 90。时，即汽车经过桥面最高点时，对桥面的压力最大.所以，只要汽车经过最高点时不将桥面压坏，则经过其它位置时不会将桥面压坏.
三、向心力来源于某个力的分力
例5如图11所示，升降机内悬挂一圆锥摆，摆线长为1 m，小球质量为0.5 kg，当升降机以2 m/s2加速度匀加速上升时，摆线恰与竖直方向成θ=37。角，试求小球的转速和摆线的控力.
解析 对小球而言，受到两个力的作用——重力G和沿绳子方向上的拉力T，在沿半径的方向上只有拉力的分力，因此，小球做圆周运动的向心力由拉力在水平方向上的分力提供.
向心力是效果力，若物体做匀速网周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向同心，并且大小恒定.若物体做变速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.因此寻找物体向心力的来源，只要确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心以及半径，然后对物体进行正确的受力分析，并将物体所受到的力沿半径方向和垂直于半径方向进行正交分解，那么物体做圆周运动的向心力即由沿半径指向同心的合力提供.
向心力是效果力，它可以是某一个力，也可以是几个力的合力.在匀速圆周运动中，它的方向总是指向轨迹的网心；在竖直平面上的非匀速圆周运动中，当质点经过轨道的最高点及最低点时，合力的方向也指向轨迹同心.确定圆周运动的物体所需向心力的来源，是研究圆周运动的关键.同学们在对做圆周运动的物体进行受力分析时，往往会多分析一个向心力，从而导致求解错误.其实向心力是按力的作用效果命名的力，在受力分析图中不能画出，它可以由某一个力来提供，也可以由几个力的合力来提供，还可以由某个力的分力来提供.对于圆周运动来说分析求解的关键是寻找质点所受的向心力的来源.
一、向心力来源于某一个力
如图1所示，用细绳系一个小球在竖直平面内做圆周运动，如果小球恰好能通过最高点，则在最高点时小球做圆周运动的向心力由重力提供.
如图2所示，一个物体在圆柱体的内壁，随着圆柱体一起做匀速圆周运动，物体与网柱体无相对滑动，则物体做圆周运动的向心力由网柱体内壁对物体的支持力（弹力）提供.
如图3所示，将一个物体放在转台上，物体随转台一起做匀速圆周运动，物体与转台无相对滑动，则其向心力由转台对物体的静摩擦力提供.
1.向心力来源于弹力的实例
连接在绳、杆或弹簧一端的物体，绕绳、杆或弹簧另一端在水平面内做匀速圆周运动时，绳、杆或弹簧由于弹性形变而产生弹力，弹力提供物体圆周运动的向心力；附着在绕竖直轴匀速转动的圆通内壁，随同通内壁匀速圆周运动的物体，与圆通内壁相互挤压，圆通内壁产生弹力，弹力提供物体做匀速圆周运动的向心力.
例1 如图4所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔0.一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=l kg的小球A，另一端连接质量为M=4 kg的物体B.
（1）小球4沿半径r=0.1 m的圆周做匀速圆周运动，角速度为ω= 10 rad/s.物体B对地面的压力为多大？
（2）当小球A的角速度为多大时，物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态？ （g =10m/S2）
解析由于小孔0光滑，因此，轻绳对小球A及物体B的拉力大小相等，对小球A的拉力沿水平方向指向0，对物体B的拉力竖直向上.
（1）设轻绳的拉力为T，地面对物体B的支持力为N.对水平面上匀速网周运动的小球A运用牛顿第二定律有：T= mrω2；对静止于地面的物体B运用共点力平衡条件有：T+N- Mg=0.代人数据解得：N=30 N.由牛顿第三定律可知，物体B对地面的压力大小是30 N，方向竖直向下.
（2）当物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态时，地面对它的支持力等于零.因此，令N=0，解T- Mg =0和T=mrω2可得：ω= 20 rad/s.所以，当小球4的角速度为ω= 20 rad/s时，物体B处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态.
2.向心力来源于静摩擦力的实例
物体在水平面做圆周运动，由于有沿半径向外的运动趋势，它会受到水平面对它沿半径向内的静摩擦力作用，静摩擦力提供物体做网周运动的向心力.如物体在水平圆盘上随盘的转动，汽车在水平地面上的转弯等.
例2 质量为4000 kg的汽车在水平地面行驶，地面对汽车的最大静摩擦力为16000 N.将汽车转弯时运动视为匀速圆周运动，则：
（1）若汽车保持20 m/s的速率转弯，则最小转弯半径是多少？
（2）若汽车以9m的转弯半径转弯，则最大转弯速率是多少？
解析 汽车在水平地面转弯，转弯时汽车的运动可视为匀速圆周运动，所需向心力由地面对汽车的静摩擦力提供.
（1）在转弯速率一定时，转弯半径越小，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面对汽车的最大静摩擦力，对汽车的转弯运动运用牛顿第二定律有：fm=m
，代人数据解得最小转弯半径为：r =10 m.
（2）在转弯半径一定时，汽车的速率越大，所需向心力越大，而地面所能提供的最大向心力就是地面对汽车的最大静摩擦力.对汽车的转弯运动运用牛顿第二定律有：fm=
，代人数据解得汽车转弯的最大速率为：v =6 m/s.
二、向心力来源于几个力的合力
物体做匀速网周运动时，所受各力的方向均不在（或部分力的方向不在）圆周运动轨道平面上时，各力的合力提供网周运动的向心力.
如图5所示，物体在绳子拉力的作用下在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体重力的合力提供向心力.
如图6所示，物体在光滑的碗内壁做匀速网周运动，其向心力由碗壁对物体的支持力和物体的重力的合力提供.
如图7所示，物体在绳子的作用下在粗糙的水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体所受到的摩擦力的合力提供.
例3有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为/的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
解析 当转盘以角速度ω匀速转动时，座椅以角速度ω在水平面上做匀速圆周运动，此时座椅受沿钢丝绳斜向上的拉力T和竖直向下的重力作用，如图9所示.由几何关系可知，座椅匀速圆周运动的轨道半径为：R=r+/sin θ.对座椅的匀速网周运动运用牛顿第二定律有：F=mRω2.依据图9，由平行四边形定则有：F=mgtanθ.解此两式得，转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系为：
解析 欲使汽车安全过桥，汽车经过桥的最高点时不能飞离桥面，也不能将桥压坏，即汽车对桥面的最大压力不能超过桥面所能承受的最大压力N0，也不能等于零.设汽车以速度v经过桥面上某位置，如图10所示，对汽车经过该位置的运动在径向运用牛顿第二定律有：mgsinθ-N=
由此式可知，在汽车质量m、桥面半径R、行驶速度v一定时，θ= 90。时，即汽车经过桥面最高点时，对桥面的压力最大.所以，只要汽车经过最高点时不将桥面压坏，则经过其它位置时不会将桥面压坏.
三、向心力来源于某个力的分力
例5如图11所示，升降机内悬挂一圆锥摆，摆线长为1 m，小球质量为0.5 kg，当升降机以2 m/s2加速度匀加速上升时，摆线恰与竖直方向成θ=37。角，试求小球的转速和摆线的控力.
解析 对小球而言，受到两个力的作用——重力G和沿绳子方向上的拉力T，在沿半径的方向上只有拉力的分力，因此，小球做圆周运动的向心力由拉力在水平方向上的分力提供.
向心力是效果力，若物体做匀速网周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向同心，并且大小恒定.若物体做变速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.因此寻找物体向心力的来源，只要确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心以及半径，然后对物体进行正确的受力分析，并将物体所受到的力沿半径方向和垂直于半径方向进行正交分解，那么物体做圆周运动的向心力即由沿半径指向同心的合力提供.
