两类不定积分巧解
张玉斌
摘 ?要：本文就高等数学中的两类不定积分的计算给出了更简捷的方法，以期帮助读者提高解题效率。
关键词：分部积分;表格法;循环积分
在高等数学中，当被积函数函数出现两类不同类型的函数乘积时，一般要用分部积分公式计算。但对于以下两类积分，如果按照常规的方法来求解计算量会很大，而且也不易得出正确结果。为了提高解题效率，笔者就给出更简捷的方法，供广大读者参考。
一、■pn（x）v■（x）dx型积分的解题技巧
对于■pn（x）v■（x）dx型积分，其中pn（x）为变量的次多项式，函数v■（x）为具有n+1阶导数的函数vx的n+1阶导函数，直接运用不定积分的分部积分公式的求解过程如下：
■pn（x）v■（x）dx=■pn（x）dv■（x）=pn（x）v■（x）-■v■（x）dpn（x）
=pn（x）v■（x）-■v■（x）Pn-1（x）dx=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）
=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）
=pn（x）v■（x）-[pn-1（x）v■（x）-■v■（x）dPn-1（x）]
=pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+■v■（x）Pn-2（x）dx ? ? ? ? ? （1）
在（1）式中， pn-1（x）是一个n-1次多项式，这里，我们也用Pn-1（x）来表示函数pn（x）的导函数.类似地，Pn-1（x）是一个n-i次多项式，也表示次多项式Pi（x）的导函数（i=1，2，…，n-1）.
对（1）式等号右边的积分，再应用分部积分公式次，得到下列结果：■pn（x）v■（x）dx=-pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+pn-2（x）
v■（x）-…+（-1）n+1P0（x）v（x） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）
不难看出，上述解法解题计算量大，虽过程重复单一，但会很繁琐.
观察（2）式，我们不难发现，（2）式有以下特点：
（1）积分运算式有项;
（2）除函数本身所带符号外，符号正负相间;
（3）各项的第一个因式由pn（x）及其各阶导函数构成，且导函数由pn（x）始降阶排列;第二个因式由对v■（x）的1次，2次，…，次积分的一个原函数构成.
注意到上述规律，我们可以列一个表格如下：
（3）
表格的第一行竖线右边的函数是依次对pn（x）求导数得到的各阶导函数，第二行是对依次求积分得到的一个原函数.v■（x）这样，（2）式的结果可以通过（3）式表格交错相乘，符号正负相间得到。我们不妨把这种方法称为表格法.
下面通过两个例子来说明表格法的应用.
【例1】求不定积分.
【解】 列表如下：
根据上表，得到
? ? ? ? ? ? ? ? .
【例2】求不定积分■v■ln2xdx.
【解】此题如果直接利用表格法计算也较为困难，我们来做一个变换：lnx=t，则x=et，dx=etdt，于是
对上式最后一个积分使用表格法，列表如下：
故
.
二、一类循环积分的解题技巧
在使用分部积分公式解题时，如果被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则此类积分会出现循环，我们不妨称之为循环积分.
对于循环积分，直接计算计算量也较大，因此，笔者也就循环积分给出一种简捷计算公式.
公式一：
，其中a2+c2≠0.
公式二：
，其中a2+c2≠0.
上述两个公式利用分部积分法不难得出，这里证明从略.
【例3】计算不定积分.
【解】利用公式一得到：
参考文献：
[1] 《高等数学》高等教育出版社 同济大学数学教研室编 （第六版）.
[2] 黄庆怀《高等数学辅导讲义》.
[3] 陈文灯 世界图书出版社 ?《考研数学复习指南（理工类）》
摘 ?要：本文就高等数学中的两类不定积分的计算给出了更简捷的方法，以期帮助读者提高解题效率。
关键词：分部积分;表格法;循环积分
在高等数学中，当被积函数函数出现两类不同类型的函数乘积时，一般要用分部积分公式计算。但对于以下两类积分，如果按照常规的方法来求解计算量会很大，而且也不易得出正确结果。为了提高解题效率，笔者就给出更简捷的方法，供广大读者参考。
一、■pn（x）v■（x）dx型积分的解题技巧
对于■pn（x）v■（x）dx型积分，其中pn（x）为变量的次多项式，函数v■（x）为具有n+1阶导数的函数vx的n+1阶导函数，直接运用不定积分的分部积分公式的求解过程如下：
■pn（x）v■（x）dx=■pn（x）dv■（x）=pn（x）v■（x）-■v■（x）dpn（x）
=pn（x）v■（x）-■v■（x）Pn-1（x）dx=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）
=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）
=pn（x）v■（x）-[pn-1（x）v■（x）-■v■（x）dPn-1（x）]
=pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+■v■（x）Pn-2（x）dx ? ? ? ? ? （1）
在（1）式中， pn-1（x）是一个n-1次多项式，这里，我们也用Pn-1（x）来表示函数pn（x）的导函数.类似地，Pn-1（x）是一个n-i次多项式，也表示次多项式Pi（x）的导函数（i=1，2，…，n-1）.
对（1）式等号右边的积分，再应用分部积分公式次，得到下列结果：■pn（x）v■（x）dx=-pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+pn-2（x）
v■（x）-…+（-1）n+1P0（x）v（x） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）
不难看出，上述解法解题计算量大，虽过程重复单一，但会很繁琐.
观察（2）式，我们不难发现，（2）式有以下特点：
（1）积分运算式有项;
（2）除函数本身所带符号外，符号正负相间;
（3）各项的第一个因式由pn（x）及其各阶导函数构成，且导函数由pn（x）始降阶排列;第二个因式由对v■（x）的1次，2次，…，次积分的一个原函数构成.
注意到上述规律，我们可以列一个表格如下：
（3）
表格的第一行竖线右边的函数是依次对pn（x）求导数得到的各阶导函数，第二行是对依次求积分得到的一个原函数.v■（x）这样，（2）式的结果可以通过（3）式表格交错相乘，符号正负相间得到。我们不妨把这种方法称为表格法.
下面通过两个例子来说明表格法的应用.
【例1】求不定积分.
【解】 列表如下：
根据上表，得到
? ? ? ? ? ? ? ? .
【例2】求不定积分■v■ln2xdx.
【解】此题如果直接利用表格法计算也较为困难，我们来做一个变换：lnx=t，则x=et，dx=etdt，于是
对上式最后一个积分使用表格法，列表如下：
故
.
二、一类循环积分的解题技巧
在使用分部积分公式解题时，如果被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则此类积分会出现循环，我们不妨称之为循环积分.
对于循环积分，直接计算计算量也较大，因此，笔者也就循环积分给出一种简捷计算公式.
公式一：
，其中a2+c2≠0.
公式二：
，其中a2+c2≠0.
上述两个公式利用分部积分法不难得出，这里证明从略.
【例3】计算不定积分.
【解】利用公式一得到：
参考文献：
[1] 《高等数学》高等教育出版社 同济大学数学教研室编 （第六版）.
[2] 黄庆怀《高等数学辅导讲义》.
[3] 陈文灯 世界图书出版社 ?《考研数学复习指南（理工类）》
