将数学教学演绎成学生心中最美的神话

    林松

    [摘? 要] 数学教学在于将数学知识的学术形态转化成合适的教育形态，将教科书的“冰冷美丽”演绎成学生心中最美的神话. 文章通过对“合并同类项”同课异构课例的对比分析，启示数学教学应注重构建数学知识的教育形态，提升数学知识理解的层次，把握“冰冷美丽”与“火热思考”的平衡.

    [关键词] 合并同类项;教育形态;构建

    从先有鸡还是先有蛋说起

    “鸡生蛋，蛋生鸡，到底谁先出现在这个世界上？是鸡还是蛋？”先有鸡还是先有蛋这一因果循环问题，常常激起古代哲学家们去探索并讨论生命的起源. 最近，笔者参加了七年级数学“合并同类项”同课异构教研活动，老师们在争论类似“先有鸡还是先有蛋”的问题：先有同类项的概念再合并同类项，还是先合并同类项再有同类项的概念？通过研讨，笔者深受启发，现将其记录如下.

    “合并同类项”同课异构课例简述

    1. 课例1：从同类项的概念到合并同类项

    【环节1：情境引入】

    （投影生活图片：超市货柜上的商品摆放;水果店里的水果摆放;药店里的药品摆放;硬币清点）

    问题1 这些物品是怎样摆放的？为什么要这样摆放？

    学生交流汇报，体会物品分类摆放可以让我们的生活更加方便！

    问题2 如果将这些物品换成我们前面学过的单项式，你将如何分类？

    2x2y，-2ab，2x，-3x2y，4ab，6x2y，-x.

    学生先尝试分类，然后交流汇报.

    【环节2：建构概念】

    问题3 （选择学生中出现的一种分类）观察下面的分类，他们的分类标准是什么（每一组单项式具有什么共同特征）？

    [2x2y，-3x2y，6x2y -2ab，4ab 2x，-x ]

    学生交流汇报，教师板书：所含字母相同，且相同字母的指数也相同.

    问题4 下列各组中的两项具有这些共同特征吗？

    （1）-2a2b和6a2b;

    （2）-3mn3和4n3m;

    （3）3x2yz和2x2y2;

    （4）2x2y和2xy2.

    学生判断并说明理由，师生总结同类项的概念.

    【环节3：探索法则】

    问题5 图1是某学校的校园规划图（单位：m），试计算该学校的占地面积.

    学生尝试计算并交流：（1）从个体角度计算面积，为100a+200a;（2）从整体角度计算面积，为（100+200）a=300a. 所以可得100a+200a=300a.

    问题6 观察等式“100a+200a=300a”左、右两边的差异，你获得了哪些信息？

    学生观察、思考，交流后汇报：①同类项可以进行合并;②合并时系数相加，字母和字母的指数不变.

    师生总结法则：把各项系数相加，字母和字母的指数不变.

    问题7 同类项合并的运算依据是什么？

    学生讨论交流，教师总结：逆用乘法分配律把同类项合并成一项叫合并同类项. 合并同类项时，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

    【环节4：应用法则】

    在应用过程中，总结并强调合并同类项的步骤.

    2. 课例2：从合并同类项到同类项的概念

    【环节1：问题引入】

    问题1 求多项式x+3x+7xy3+3xy3-15xy3的值，其中x=3，y=-2.

    学生尝试直接代入求值，发现要多次计算xy3=3×（-2）3=3×（-8）=-24.

    追问1：能不能使解题过程简洁些？

    学生汇报交流：可以将xy3看成一个整体，先算出xy3=-24，再分别代入.

    追问2：若将x和y多次赋值，本题应如何解呢？如x=2，y=-;x=-3，y=2……

    学生交流后汇报：先计算出xy3=2×

    -3=-，再分别代入……

    【环节2：合作交流】

    问题2 对于问题1，当x和y被赋予不同的值时，怎样才能又对又快地进行计算呢？

    学生小组合作讨论，交流后汇报.

    汇报1：x+3x应该等于4x，我觉得后面的三项也可以合并起来.

    汇报2：7xy3，3xy3，-15xy3中的字母部分完全相同，三个单项式中的xy3部分表示同一个数，于是用“○”表示，那么原式即为x+3x+7○+3○-15○，逆用乘法分配律，可以化简为（1+3）x+（7+3-15）○=4x-5○=4x-5xy3，接着代入计算. 即先合并，再计算，这样方便多了. （至此，学生已发现合并同类项的法则）

    追问1：为什么可以把x和3x合并处理？7xy3，3xy3，-15xy3为什么也可以合并处理？换句话说，什么样的项才能“合并”呢？

    生答：字母部分完全相同的项才能合并.

    追问2：什么叫“字母部分完全相同”呢？

    生答：所含字母相同，且相同字母的指数也相同.

    追问3：为什么要求字母部分完全相同呢？

    生答：因为只有这样，才能保证字母部分表示同一个数.

    【環节3：讨论总结】

    问题3 把下列式子中可以合并的项尽可能地合并起来，并对解题过程进行讨论.

    （1）-3x+3y-6x-7y;（2）a2-3ab+6-a2-3ab-5;（3）x2-4xy+xy+3x2;（4）a2b2+3ab-6a2b2-ab-2+3a2b2.

    讨论、总结的内容如下：（1）哪些项可以合并？判断标准是什么？（2）怎样合并？合并的依据是什么？（3）概括并给出同类项的定义和合并同类项的法则.

    【环节4：练习巩固】

    “合并同类项”同课异构课例分析

    1. 课例1：顺应知识逻辑线索

    同类项是数与式的纽带，是体现“数式相通”的开始，也是将单项式进行“分类”的抓手. 建构同类项概念的过程是训练抽象化、一般化、结构化代数思维的契机，是发展学生数学抽象素养的良好载体. 合并同类项是整式运算的开始，是发展学生数学运算素养的重要载体，同时向学生充分展示了数学的简约之美.

    该课例立足于教材中的数学知识线性逻辑体系和结构（即张奠宙先生所说的数学知识的学术形态），先学习“同类项的概念”，再研究“合并同类项”. 课例从观察生活中的多种“分类”图片出发，让学生体会“分类”让我们的生活更加方便. 类比的方式，能让学生思考单项式该如何分类，以及分类的标准是什么. 同时，课例通过类比图形面积的不同计算方式，让学生发现同类项可以合并，且有根有据地探索出合并同类项的法则.

    （1）优点

    该课例根据初一学生的思维特征和认知特点，通过类比的方法，让学生认识同类项的概念. 教学中，以学生熟悉的生活情境为起点，让学生带着学习兴趣感受“同一类”的可以归类（为建构同类项概念做铺垫）. 在“合并同类项”的教学中，采用“做—感受—明晰法则”的设计，引导学生经历“从感性到理性”的认识过程，让学生感受到运算律“支配”下的合并同类项不仅合情，而且合理，数学抽象、理性思维悄然得到落实.

    （2）不足

    该课例在教学过程中学生会产生困惑. 学习“同类项的概念”时，学生会寻思：为什么要学习同类项的概念？教学“合并同类项”时，学生也会寻思：为什么要学习合并同类项？直到进行多次同类项合并的练习、巩固之后，学生才会意识到原来合并同类项可以使运算简洁.

    这样的学习过程，学生不知道为什么要学习“同类项”这一新知，即学生缺乏内化新知的准备. 在教学过程中，学生一直处于被动接受的状态，他们的学习过程完全在教师精心设计的圈套里被牵着走，缺少了自觉建构的主动参与，这种主体性发展不足的学习不利于学生创新意识和能力的培养.

    2. 课例2：再现知识的发现过程

    此课例按照知识发生的顺序进行设计，立足概念产生的问题背景，恢复原始的思考过程，引发学生的学习兴趣，激发学生探究知识的欲望. 课例从研究一个代数式的求值问题引入，让学生在解决问题的过程中进行思考、创造，在得到“先合并，再代入”的方法后，进一步抽象出同类项的概念，从而再现知识产生的过程，明白“概念是为了解决问题而定义的”这一道理. 而这一切，都是学生主动地、积极地进行探索的结果.

    （1）优点

    该课例设计朴素，直指数学本质. 它根据学生的认知规律和认知特点，尽可能地将知识的发生过程以问题组的形式设计在学生的“最近发展区”，按循序渐进的原则，环环相扣，引导学生自主发现，实现学生学习的自主建构，体现“再创造”的成功乐趣，让学习真正发生.

    学生对数学知识的理解有三个层次：知其然，知其所以然，何由以知其所以然. 该课例不仅让学生知道什么是同类项，以及合并同类项的方法、依据，更让学生知道为什么要学习同类项的概念和合并同类项，能提升学生的数学知识理解层次，能增强学生的数学学习主动性.

    （2）不足

    该课例让学生在经历知识的形成和应用过程中发展数学知识的应用意识和能力，学生理性的思维在该课例中得到了培养. 与课例1相比，该课例缺少了对“同类项的概念”和“合并同类项法则”的感性认识，这样的教学会让一部分形象思维能力强而抽象思维能力较弱的学生望而却步，进而影响数学学习的兴趣.

    “合并同类项”同课异构课例启示

    张奠宙教授认为，数学知识通常有三种不同的形态：原始形态、学术形态和教育形态. 原始形态是数学家发现数学真理、证明数学命题时所进行的繁复曲折的数学思考. 它反映了数学家分析问题、寻求解答的思维过程，展示了具体问题通过观察、分析、抽象概括而形成知识和方法的过程. 学术形态是数学家在发表论文时采用的形态，严密地演绎，逻辑地推理. 它呈现简洁的、冰冷的形式化美丽，却把原始的火热的思想淹没在形式化的海洋里[1]. 教育形态是指数学教学时采用的技巧和方法，它重视对数学知识形成过程的“再发现”，把抽象、深奥、难懂的形式化数学知识变成适于学生学习、理解的“通俗化”的数学知识. 通过教师的努力，启发学生高效地进行火热的思考. 数学教学的目的在于把数学的学术形态转化为合适的教育形态，把数学的形式化链条恢复为当初数学家发现、创新时的火热思考，使教科书的“冰冷的美丽”，通过学生的“火热的思考”，转化为数学能力和数学素养，从而深刻理解隐藏在“冰冷的美丽”背后的数学本质[2]. 实际教学中，教师应构建数学知识的教育形态，激发学生“火热的思考”. “合并同类项”教学的两个课例较好地做了正反对比诠释.

    1. 构建教育形态，提升知识理解的层次

    2017亚马逊年度新锐作家蔡垒磊认为，知识的层次类似于金字塔形状，知识按照在头脑中的难易程度可以分成四个层次：信息知识、加工知识、体系知识和智慧（如图2）. 课例1遵循知识的逻辑线索，将书本“同类项的概念”和“合并同类项的法则”这两个信息知识以类比情境的方式进行教学，通过生活中物品的分类让学生理解“同类项的概念”的合理性;通过同一类商品的合并付款让学生感受“合并同类项”的必要性;通过“做—感受—明晰法则”的设计让学生自然地进行“合并同类项的法则”的学习. 但这种学习局限在信息知识和初步的加工知识层面，缺乏体系知识的建构.

    课例2对同类项相关教学内容的“知识形态”进行了深度加工，形成了极富数学味且利于学生思维培养的教育形态. 它颠倒了教材中形式化的表达顺序，让教材中形式化教学的顺序服从知识发现的过程. 学生在进行代数式求值时发现xy3重复代入了，于是会主动地把xy3看成一个整体，用“○”表示，则原式转化为x+3x+7○+3○-15○，自然引出要合并的需求. 解决问题能让学生自己发现和探索出要学的知识，教师的任务则是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生. 这样的教学更加侧重于对加工知识和体系知识的学习，目的在于让学生主动地参与到知识的建构之中，更深入地理解知识的内涵.

    2. 构建教育形态，把握“冰冷的美丽”与“火热的思考”之间的平衡

    张奠宙教授指出：“将数学的学术形态转化为教育形态是数学教师的职责. 我们要研究如何在冰冷的美丽与火热的思考之间寻找平衡点，做到既有形式的表达更有火热的思考，而不要淹没在形式的海洋里. ”[3]本文中的课例都是对教材的二次加工，均属于数学知识的教育形态. 课例都是基于学生已有的认知，经过对知识的再创造，传授给学生，并让学生理解和应用. 只不过课例1更侧重于感性认识，而课例2更侧重于理性思考. “同类项的概念”和“合并同类项的法则”这两个信息知识的形式化表达是学术形态的，是“冰冷的美丽”. 教育形态的“火热的思考”是这样两个设计：一，如何对同类项进行定义？二，对合并同类项法则的探索. 与课例1相比，课例2更加侧重于解决问题过程中的思考和知識的创造，更加侧重于激发学生主动探究的热情和兴趣，能从真正意义上让“冰冷的美丽”绽放“火热的思考”，能将数学教学演绎成学生心中最美的神话.

    参考文献：

    [1]朱宣传. 数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化——怎样让学生经历数学过程[J]. 教书育人，2008（S2）.

    [2]周小勤. 让“冰冷的美丽”绽放出“火热的思考”——数学教学中学术形态转化为教育形态的教学策略[J]. 数学学习与研究，2010（1）.

    [3]张奠宙，王振辉. 关于数学的学术形态和教育形态——谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”[J]. 数学教育学报，2002，11（2）.