把握数学概念核心，实现概念有效教学

    叶波

    [摘? 要] 概念教学是初中数学教学的基础. 有效的概念教学，关键在于把握数学概念的核心. 教学之前解析一个数学概念的内涵，实际教学中选用适当的建构方式，并引导学生对概念进行合理的表征，是数学概念有效教学的关键.

    [关键词] 初中数学;概念;概念核心;有效教学

    众所周知，数学概念是人们对数学事物本质的认识，是数学逻辑思维最基本的形式，是构建数学知识综合体系最基本的单元. 初中数学是中学数学知识的基础，学好初中数学对以后的数学学习道路起着奠基石的作用[1]. 因此，无论在什么教育教学改革背景之下，概念教学在初中数学中的地位都是非常重要的. 随着对概念教学研究的不断深入，人们发现为了更好地让学生实现自主合作学习，或者说为了给学生开辟更为广阔的学习空间，可以在概念教学上压缩时间、提高效率. 而要实现这一看似矛盾的目的，就需要在教学中紧紧抓住概念的核心，只要概念的核心被抓住了，那学生学习过程的有效性就可以得到保证，有效教学也就真正发生了.

    那么，概念的核心在教学中如何把握呢？对此笔者谈谈自己的三点浅显看法.

    解析初中数学概念内涵以把握概念核心

    教学实践表明，课堂教学的有效性离不开教师的引导，教师引导的有效性取决于教师的专业水平. 根据初中数学概念教学的地位和特点，对数学概念的内涵进行解析，能帮助教师深刻理解概念本质、认识概念教学的学科教育价值，能够理解学生的经验与困难，可以进一步阐释概念的本质属性，发展学生的数学素养[2].

    数学概念的有效教学，有一个基本的前提：教师要对自己所教学的概念有一个准确的把握. 这个把握就体现在对数学概念内涵的理解上，也就是说，我们数学教师教一个数学概念，要做的不是将数学概念的定义表达告诉学生，而是将数学概念的内涵通过有效的方式呈现给学生，或者让学生在自主探究的过程当中，逐步地把握概念的内涵. 从这个角度讲，解析数学概念的内涵，并通过自身的专业素养去引导学生理解概念，是一个初中数学教师的基本功.

    例如，在北师大版初中数学“两条直线的位置关系”这一内容的教学中，我们对“两条直线的位置关系”的理解应该是怎样的呢？认真分析这一表述，笔者以为，至少有两点值得重视：

    其一，在学生的生活经验当中，他们对“两条直线的位置关系”可能会有什么样的理解？

    教材上提供了几幅生活中的图片，这儿所说的生活应当是学生的生活，但是由于我们此处研究两条直线的位置关系，实际上是在同一平面内进行研究的，因此，在让学生举出生活中两条直线的位置关系的例子时，教师要暗中约定一个前提. 比如说笔者曾经这样做过：如果让大家在黑板上画出两条直线，你觉得这两条直线的位置关系可能是什么？这种让学生做的方式，实际上只是生活经验在课堂上的延伸，但是又达到了预设的要求. 在这一体验的基础上，学生往往会发现：同一平面内的两条直线，要么相交，要么平行.

    其二，教材上对两条直线的位置关系的表述有什么内涵？

    在上述发现中，其实是对学生原有经验的一种重现，结合课本上的表述——我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 其后另起一段：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线;在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.

    这样的表述有什么内涵呢？笔者以为，其是在学生经过体验生成的表象基础上，将学生的认识进一步精确化，也就是数学语言的使用. 因此这个概念的内涵体现在：教师要引导学生将用生活语言描述的认识转换为数学表达. 做到这一点，实际上也就是抓住了“两条直线的位置关系”这一概念的核心.

    抓住了这一核心，也就意味着学生在学习这一概念的时候，已经有了从生活经验走向数学表达的途径，而这正是概念教学的必由之路.

    把握学生建构概念的方式以把握概念核心

    有研究者指出，初中数学教学中，概念获得的方式有两种，一种以概念形成方式获得，另一种是以概念同化方式获得. 由于初中生数学认知结构比较简单，数学知识比较贫乏，在学习新的数学知识时，能作为同化新知识的已有基本知识比较少或没有，因此在教学中，大部分概念是以概念形成的方式进行教学的[3].

    这样的判断有一定的道理，这个道理体现在教师在进行概念教学的时候，一定要把握学生建构概念的方式. 很多时候，对于不同的学生而言，概念学习的方式是有可能不同的，甚至同一个概念对于不同的学生而言，建构方式也是不一样的. 认识到这一点，我们就知道因材施教有着什么样的意义. 当然，这里所说的“材”，就是指学生. 基于对上述引用内容的判断，笔者以为，初中数学概念的教学中，要引导学生把握概念核心，可以分成两种情况来讨论：

    第一，对于数学知识基础比较好的学生而言，可以以概念同化的方式进行教学. 比如说“对顶角”这一概念的教学，我们可以给这部分学生提出这样的问题：当两直线相交时，如果让你去描述不同相交直线哪里存在不同，你会如何描述？这种情况下，学生往往会在草稿纸上画出不同的相交直线，然后自然能够发现主要的不同就体现在角度的不同. 而在描述这个角度的时候，学生又发现“对面的两个角是相等的”，这实际上就是学生的一种生活语言的描述，有了这个描述，对顶角概念教学也就有了基础. 事实上，在学生有了这一认识之后，教师给出了对顶角的概念，学生感觉是非常形象的，好多同学都说“这两个角就是对着顶的关系”，这样的描述其实就是抓住了概念的核心.

    第二，对于数学知识基础比较薄弱的学生而言，应当用概念形成的方式进行教学. 同样是对顶角这一概念的教学，对于数学知识基础比较薄弱的学生而言，通常应该由教师给出相应的图形，以让学生的大脑当中形成关于对顶角的表象，然后提出的问题是“你们能不能发现在这样的图形上角的关系”，在这个问题的驱动之下，学生会有意识地去寻找角的关系，自然这个关系并不难发现，也因此在他们的大脑中就形成了“对面的两个角相等”的认识. 实际上到了这一步的时候，就可以发现不同层次的学生經历了一个殊途同归的过程. 在此基础上，教师讲述对顶角的数学定义，就显得顺理成章了.

    无论是哪种教学情况，其实都是教师针对学生客观的认知基础，进行的不同的教学设计. 虽然概念建构的方式是不一样的，但是有一点是相同的，即不同的教学方式，都是为了促进学生理解概念的核心——“对面的两个角相等”与“两边互为反向延长线”实际上是同一规律的不同表达. 在这里我们也可以看到，其实在让学生把握概念核心的时候，要让学生充分利用自己的生活语言，尽管生活语言并没有数学语言那么精确，但是却是学生理解数学概念的一把利器，用好生活语言，实际上为学生理解概念核心铺平了道路.

    引导学生合理表征概念以把握概念核心

    以上的表述实际上在强调概念的表征，用生活语言表征数学概念，是掌握数学概念核心，进而理解数学概念的必由之路. 对此也有同行进行了研究，他们认为：学生获得的数学概念的有效性体现在：概念表征应是丰富而清晰的;概念表征的各个不同侧面之间应能灵活转换以适应不同的问题情境;概念获得的同时能形成精致的概念网络. 因此，概念教学的有效性应体现在：引导体验感悟具有指导性，引导提炼概括具有整合性，引导比较联系具有广泛性[4].

    基于这样的判断，笔者的理解是：要想把握概念的核心，就必须有一个表征概念的过程，这个过程越合理，那学生对概念的理解就越准确. 那么怎样的标准才叫合理的表征呢？以轴对称的概念为例，在轴对称的概念建立之前，北师大版的教材设计了“轴对称现象”这个教学环节，这是一个非常有意思的设计，其实就是为了学生表征轴对称概念而进行的必要铺垫. 实际教学中，为了让学生进行合理的表征，教师对这一内容可以进行适当的深度加工：一是将课本上的图形用PPT呈现在学生面前;二是让学生去举例子. 这样的例子固然要丰富，但是更重要的是让学生去分析——分解的过程就是表征概念的过程，这个过程对轴对称概念而言是隐性的，因为此时轴对称这个概念还没有给出. 但是这并不影响学生的表征，在分析的过程当中，学生发现这些图形总能够沿着一条线对折而互相重合，这里的“互相重合”其实就是表征用的语言，也成为轴对称概念建立的核心.

    通常情况下，判断学生有没有成功地表征一个数学概念，关键就看学生大脑中有没有清晰的表象. 让学生到黑板上去画一个轴对称图形，是一个将学生表征的结果呈现出来的过程，也是表象变成实际图形的过程，这个过程有助于学生把握概念的核心.

    综上所述，初中数学教学中，要把握数学概念的核心，这样才能真正实现数学概念的有效教学.

    参考文献：

    [1]卢燕. 初中数学概念有效教学初探[J]. 数学教学通讯，2016（8）：38-40.

    [2]石颐园. 基于PCK内涵解析视角的初中数学概念教学策略[J]. 教育理论与实践，2017（8）：51-54.

    [3]刘海涛. 初中函数概念教学举例有效性的心理分析[J]. 教学与管理， 2012（28）：53-54.

    [4]胡英娟. 数学概念教学有效性的思考[J]. 中小学教師培训，2010（10）：43-45.