三等级运算水平在2018年高考试题中的体现
王蓬苁 胡典顺
1 引言
著名数学奥林匹克专家裘宗沪指出“如果你想学好数学，首先要会算，而且要算的好.它是思维能力、逻辑能力、空间想象能力以及创新意识的基础.”数学运算是解决数学问题的基本手段，运算过程中追求通性通法以及简洁算法有助于使个体的思维变得更加灵活，运算更加优化[1].在学生孩童时期就学习“1+1=2”的代数运算，随着年级的升高，数学运算涉及的范围越来越广，已由基本的代数运算延伸到向量运算，甚至在大学阶段学习群的运算.由此可见，中学阶段对于数学运算能力应该更加重视.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“17年课程标准”）对高中学生的数学运算能力的界定为：数学运算是解决数学问题的基本手段，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，设计运算程序，求得运算结果[2].17年课程标准对于数学运算的界定为教师研究教材、出题者命制试题提供了方向.
当前学生的运算水平急需提高，时常会出现会而不对，对而不全，全而不优的现象.具体表现在对运算对象的理解、法则的掌握、思路的探索和程序的设计[3].喻平教授从知识的角度切入，参照布鲁姆的学习目标分类、PISA模型和SOLO模型对数学运算能力在三级水平上的具体表现给出操作性定义[4]：
2 数学运算各级水平的分布
在2018年高考数学全国Ⅰ卷（理）试题中，数学运算能力各级水平统计结果如下表：
第一级水平在历年来的全国卷中主要通过集合与虚数的计算体现，选择题中的前五个问题中基本有两个问题都是集合的运算与虚数的计算，主要考查学生对于集合的元素与集合交并补关系，以及虚数共轭或模的计算公式的掌握程度，学生只要掌握了集合的基本知识以及虚数的计算公式法则，便可以进行应对.
第二级水平则是基本整套试卷的.例如，数列的计算常常需要综合使用多个计算公式进行解决，如求和公式、等差（比）中项计算公式，利用题中给出的递推公式，甚至是利用基本不等式求解;又如，圆锥曲线的问题需要使用多个计算公式，如点到直线的距离公式、圆与圆位置关系的公式、斜率的计算公式等.解决第二级水平问题时，学生首先要牢固掌握相关计算公式的形式以及使用条件和范围，其次要对各个公式可以进行灵活的变形，找到解决问题的关键公式所在，以及各个数学内容之间的关系，综合运用多种数学方法进行变形与计算.
第三级水平主要是针对问题的程序设计以及解决复杂的问题而言的.高考试卷最后几个解答题是学生最头疼的问题，2018年解答题的问题设置与历年试卷的问题设置难度基本相同，尤其是第二小问，这些问题通常比较复杂，需要学生有一个清晰的解决问题思路，例如在求解圆锥曲线的问题中，既需要求两个曲线的交点问题，还需要学会用未知数表示点的坐标，找到未知数之间的关系建立等式进行求解等.圆锥曲线的问题在历年高考试题中是比较难的，一方面是因为圆锥曲线问题对于学生直观想象能力要求比较高，同时对于学生的计算化简等数学运算能力的要求也比较高，除此之外，学生还要具备较高的逻辑推理能力，能够对于问题进行程序设计，找到一种最佳的解决办法.对于函数的求导、数列的求和或求通项等问题，需要学生有一个更加缜密的思路，找到题干中给出的隐含信息，设计一个问题解决程序，条理清晰地解答问题.
3 数学运算的典型试题评析
在对运算水平试题分布进行整体分析以后，接下来将以如下三个试题为例，体会整套试卷对于数学运算能力的要求.
3.1 一级水平
分析 该题有多种解决办法，最常规的办法就是套用公式：将S2、S3和S4分别用等差数列求和公式进行表示，得到一个关于a1与d的等式.将题目中给出的a1值带入，即可求得d的数值，再根据等差数列的公式求出a5.在法1中，学生需要储备的知识点有：等差数列求和公式;等差数列通项公式.法2中，学生需要储备的知识点为：等差数列和式之间的关系;等差中项;等差数列通项公式.法1利用等差数列求和公式求解a1与d时，比法2更容易出错，因此，选择第二种方法更能降低计算难度.除此之外，本题还有多种解决办法，都是大同小异的.总的来说，该题的求解要求也是理解基本的计算公式体系，学生完成该题时只考虑数列计算公式的简单叠加便可，计算并不复杂，同时耗时比较短，不用与其他内容知识相结合，属于第一水平能力.
分析 本题的关键在于学生需要对直线存在斜率问题进行讨论.学生在解决该问题之前熟练掌握有关平面解析几何的定理、公式及常用变形等，以及对于韦达定理在圆锥曲线上的应用非常熟悉，在此基础上根据题干挖掘信息，同时要考虑到题目的隐含信息所在，在该题中倾斜角互补，斜率之和为0为突破口.学生解决该问题时应该能够做到清晰地分析思路，设计一套运算程序，灵活运用所学的知识与方法解决非常规性问题.本题最耗时的部分在于计算与化简两个斜率和的过程，但是学生只要掌握常规做法，本题也可以顺利完成.
4 启示与建议
4.1 试题命制的建议
在命题的设置上，有关数学运算的试题不能过于简单也不能太难，同时要注重常规数学运算方法，但是又不能过于死板，让学生在解决问题时产生“可以用常规方法解决但是又必须要经过一定变形才可以解决”的感受.并且，命题人应该合理把控运算时间[5]，总时间是有限的，运算量不宜过大，因此，要注意第三级水平运算的难度.另外，数学运算是不能脱离其他知识单独存在的，在试题的命制过程中要更加注重多方面的數学运算，例如可以尝试将解决立体几何的问题转变成求最值的问题，多方面考查学生对于知识的综合掌握程度.同时，还要命制几道需要学生综合分析，设计解决问题程序的题目，让学生从更高的角度进行数学运算，切实提高学生数学运算的能力.
4.2 教师教学的建议
对于一级运算水平的数学试题，学生只需要掌握概念与运算法则的新授课阶段讲解的内容便可顺利解决.教师在教学过程中，要让学生对此类型题目多加练习，牢固掌握数学的基元：数学概念、运算法则、命题、定理等，要让学生从多角度进行认识，能够对于一级水平的题目条件反射性解决问题.学生只有拥有扎实的数学知识，才能够进行灵活运用.心理学关于“专家系统”的研究表明：一个领域内善于解决问题的专家必须具有5—20万个知识组块.没有这些专门知识，专家就不能解决该学科领域内的问题[6].
在整套试卷中，二级运算水平的试题最多，因此，教师应该针对二级运算水平加强运算练习.在教学过程中，教师要让学生接触更多类型的综合性题目，使得学生的思维不只是限制在当前的学习范围内，例如很多学生在讲解函数时他们学会用数形结合来解决问题，但是在某些不等式求解问题时，学生经常只是在数的角度进行运算，忽略图形与数的结合，殊不知利用图形解决数学问题要比单纯的数学计算更为便捷.同时，教师还要注意对公式的变形进行教学，注重通过对于公式形式的分析进而“凑”的教学.
第三级运算水平既需要学生有牢固的数学基础，又需要学生能够灵活的处理各种综合类型的问题，同时还要根据问题情形的改变找到合适的解决策略.教师在教学过程中，遇到新的问题时要带领学生深入挖掘题干中给出的信息，将自己的解题思路暴露给学生，在挖掘信息的过程中要注意思路的自然性与连贯性，不能生拉硬拽地将整个问题的计算步骤拼凑出来.在解题完成之后经常带领学生反思运算过程，即这个解题的过程是什么，哪些地方是解决这个问题的关键，我们是如何处理这个关键点的，为什么可以这么处理，在解决其他问题时有什么用，如何在解题中进行应用.除此之外，还要注重学生一题多解能力的培养，在课堂上对多种办法进行比较，选出一个最优的解决办法，然后总结何时应用这种方法，何时应用其他方法会更方便.
4.3 学生学习的建议
学生在学习新的知识时要多对新的定理、法则公式等进行练习，见识更多新题型与新定理的变式，让其烂熟于心，这样可以在解决问题时游刃有余.同时，在审题过程要仿照教师的做法充分挖掘每道题目中蕴含的关键信息，解题过程不能偷懒，对于技巧性较强的问题要善于总结其应用的条件，同时多加练习，对于每一类数学问题进行归类，进而养成对于解决问题的条件反射.
参考文献
[1] 吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017，37（09）：12-17.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[3] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016，55（08）：34-36+54.
[4] 喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.
[5] 崔志榮.关于高考数学运算考查要求的几点建议——以2017年全国高考江苏卷为例[J].数学通报，2018，57（02）：37-40.
[6] 简洪权.高中数学运算能力的组成及培养策略[J].中学数学教学参考，2000（Z1）：35-37.
1 引言
著名数学奥林匹克专家裘宗沪指出“如果你想学好数学，首先要会算，而且要算的好.它是思维能力、逻辑能力、空间想象能力以及创新意识的基础.”数学运算是解决数学问题的基本手段，运算过程中追求通性通法以及简洁算法有助于使个体的思维变得更加灵活，运算更加优化[1].在学生孩童时期就学习“1+1=2”的代数运算，随着年级的升高，数学运算涉及的范围越来越广，已由基本的代数运算延伸到向量运算，甚至在大学阶段学习群的运算.由此可见，中学阶段对于数学运算能力应该更加重视.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“17年课程标准”）对高中学生的数学运算能力的界定为：数学运算是解决数学问题的基本手段，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，设计运算程序，求得运算结果[2].17年课程标准对于数学运算的界定为教师研究教材、出题者命制试题提供了方向.
当前学生的运算水平急需提高，时常会出现会而不对，对而不全，全而不优的现象.具体表现在对运算对象的理解、法则的掌握、思路的探索和程序的设计[3].喻平教授从知识的角度切入，参照布鲁姆的学习目标分类、PISA模型和SOLO模型对数学运算能力在三级水平上的具体表现给出操作性定义[4]：
2 数学运算各级水平的分布
在2018年高考数学全国Ⅰ卷（理）试题中，数学运算能力各级水平统计结果如下表：
第一级水平在历年来的全国卷中主要通过集合与虚数的计算体现，选择题中的前五个问题中基本有两个问题都是集合的运算与虚数的计算，主要考查学生对于集合的元素与集合交并补关系，以及虚数共轭或模的计算公式的掌握程度，学生只要掌握了集合的基本知识以及虚数的计算公式法则，便可以进行应对.
第二级水平则是基本整套试卷的.例如，数列的计算常常需要综合使用多个计算公式进行解决，如求和公式、等差（比）中项计算公式，利用题中给出的递推公式，甚至是利用基本不等式求解;又如，圆锥曲线的问题需要使用多个计算公式，如点到直线的距离公式、圆与圆位置关系的公式、斜率的计算公式等.解决第二级水平问题时，学生首先要牢固掌握相关计算公式的形式以及使用条件和范围，其次要对各个公式可以进行灵活的变形，找到解决问题的关键公式所在，以及各个数学内容之间的关系，综合运用多种数学方法进行变形与计算.
第三级水平主要是针对问题的程序设计以及解决复杂的问题而言的.高考试卷最后几个解答题是学生最头疼的问题，2018年解答题的问题设置与历年试卷的问题设置难度基本相同，尤其是第二小问，这些问题通常比较复杂，需要学生有一个清晰的解决问题思路，例如在求解圆锥曲线的问题中，既需要求两个曲线的交点问题，还需要学会用未知数表示点的坐标，找到未知数之间的关系建立等式进行求解等.圆锥曲线的问题在历年高考试题中是比较难的，一方面是因为圆锥曲线问题对于学生直观想象能力要求比较高，同时对于学生的计算化简等数学运算能力的要求也比较高，除此之外，学生还要具备较高的逻辑推理能力，能够对于问题进行程序设计，找到一种最佳的解决办法.对于函数的求导、数列的求和或求通项等问题，需要学生有一个更加缜密的思路，找到题干中给出的隐含信息，设计一个问题解决程序，条理清晰地解答问题.
3 数学运算的典型试题评析
在对运算水平试题分布进行整体分析以后，接下来将以如下三个试题为例，体会整套试卷对于数学运算能力的要求.
3.1 一级水平
分析 该题有多种解决办法，最常规的办法就是套用公式：将S2、S3和S4分别用等差数列求和公式进行表示，得到一个关于a1与d的等式.将题目中给出的a1值带入，即可求得d的数值，再根据等差数列的公式求出a5.在法1中，学生需要储备的知识点有：等差数列求和公式;等差数列通项公式.法2中，学生需要储备的知识点为：等差数列和式之间的关系;等差中项;等差数列通项公式.法1利用等差数列求和公式求解a1与d时，比法2更容易出错，因此，选择第二种方法更能降低计算难度.除此之外，本题还有多种解决办法，都是大同小异的.总的来说，该题的求解要求也是理解基本的计算公式体系，学生完成该题时只考虑数列计算公式的简单叠加便可，计算并不复杂，同时耗时比较短，不用与其他内容知识相结合，属于第一水平能力.
分析 本题的关键在于学生需要对直线存在斜率问题进行讨论.学生在解决该问题之前熟练掌握有关平面解析几何的定理、公式及常用变形等，以及对于韦达定理在圆锥曲线上的应用非常熟悉，在此基础上根据题干挖掘信息，同时要考虑到题目的隐含信息所在，在该题中倾斜角互补，斜率之和为0为突破口.学生解决该问题时应该能够做到清晰地分析思路，设计一套运算程序，灵活运用所学的知识与方法解决非常规性问题.本题最耗时的部分在于计算与化简两个斜率和的过程，但是学生只要掌握常规做法，本题也可以顺利完成.
4 启示与建议
4.1 试题命制的建议
在命题的设置上，有关数学运算的试题不能过于简单也不能太难，同时要注重常规数学运算方法，但是又不能过于死板，让学生在解决问题时产生“可以用常规方法解决但是又必须要经过一定变形才可以解决”的感受.并且，命题人应该合理把控运算时间[5]，总时间是有限的，运算量不宜过大，因此，要注意第三级水平运算的难度.另外，数学运算是不能脱离其他知识单独存在的，在试题的命制过程中要更加注重多方面的數学运算，例如可以尝试将解决立体几何的问题转变成求最值的问题，多方面考查学生对于知识的综合掌握程度.同时，还要命制几道需要学生综合分析，设计解决问题程序的题目，让学生从更高的角度进行数学运算，切实提高学生数学运算的能力.
4.2 教师教学的建议
对于一级运算水平的数学试题，学生只需要掌握概念与运算法则的新授课阶段讲解的内容便可顺利解决.教师在教学过程中，要让学生对此类型题目多加练习，牢固掌握数学的基元：数学概念、运算法则、命题、定理等，要让学生从多角度进行认识，能够对于一级水平的题目条件反射性解决问题.学生只有拥有扎实的数学知识，才能够进行灵活运用.心理学关于“专家系统”的研究表明：一个领域内善于解决问题的专家必须具有5—20万个知识组块.没有这些专门知识，专家就不能解决该学科领域内的问题[6].
在整套试卷中，二级运算水平的试题最多，因此，教师应该针对二级运算水平加强运算练习.在教学过程中，教师要让学生接触更多类型的综合性题目，使得学生的思维不只是限制在当前的学习范围内，例如很多学生在讲解函数时他们学会用数形结合来解决问题，但是在某些不等式求解问题时，学生经常只是在数的角度进行运算，忽略图形与数的结合，殊不知利用图形解决数学问题要比单纯的数学计算更为便捷.同时，教师还要注意对公式的变形进行教学，注重通过对于公式形式的分析进而“凑”的教学.
第三级运算水平既需要学生有牢固的数学基础，又需要学生能够灵活的处理各种综合类型的问题，同时还要根据问题情形的改变找到合适的解决策略.教师在教学过程中，遇到新的问题时要带领学生深入挖掘题干中给出的信息，将自己的解题思路暴露给学生，在挖掘信息的过程中要注意思路的自然性与连贯性，不能生拉硬拽地将整个问题的计算步骤拼凑出来.在解题完成之后经常带领学生反思运算过程，即这个解题的过程是什么，哪些地方是解决这个问题的关键，我们是如何处理这个关键点的，为什么可以这么处理，在解决其他问题时有什么用，如何在解题中进行应用.除此之外，还要注重学生一题多解能力的培养，在课堂上对多种办法进行比较，选出一个最优的解决办法，然后总结何时应用这种方法，何时应用其他方法会更方便.
4.3 学生学习的建议
学生在学习新的知识时要多对新的定理、法则公式等进行练习，见识更多新题型与新定理的变式，让其烂熟于心，这样可以在解决问题时游刃有余.同时，在审题过程要仿照教师的做法充分挖掘每道题目中蕴含的关键信息，解题过程不能偷懒，对于技巧性较强的问题要善于总结其应用的条件，同时多加练习，对于每一类数学问题进行归类，进而养成对于解决问题的条件反射.
参考文献
[1] 吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017，37（09）：12-17.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[3] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016，55（08）：34-36+54.
[4] 喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.
[5] 崔志榮.关于高考数学运算考查要求的几点建议——以2017年全国高考江苏卷为例[J].数学通报，2018，57（02）：37-40.
[6] 简洪权.高中数学运算能力的组成及培养策略[J].中学数学教学参考，2000（Z1）：35-37.
