应用直观教学手段 发展学生的抽象思维能力
赖登榕
摘 要：数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，应用直观的教学手段增强学生对数学知识的理解，发展学生的认知能力具有十分重要的作用.初中阶段正是学生思维方式发展的关键期和转折期，思维上体现了抽象性与形象性的综合特征.如何适时应用直观性教学手段，以领悟数学知识为媒介，促进学生数学思维的发展，是数学教育工作者应当思考的问题.
关键词：实物直观；模像直观；模式直观；语言直观
义务教育数学课程标准（2011年版）指出：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系”、“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程” [1 ].捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》中指出，“应该尽可能地把事物本身或代替它的图像放在面前，让学生去看看、听听、触触 [2 ].”美国著名的哲学家、教育学家和心理学家杜威提出了“做中学”，“从活动中学”，“从经验中学”.他明确提出：“从做中学要比从听中学更是一种较好的方法 [3 ].”这些教育思想中无不说明直观性教学的重要性.
下面就应用直观性教学手段以深化学生对数学知识的领悟方面谈谈笔者的一些做法和感受.
1 通过实物直观教学，发展抽象思维能力
以新北师大版数学教材（下同）为例，列举一些运用实物直观教学来深化学生对数学关系的领悟的例子，比如在“九年级上册第一章——特殊的平行四边形”这一章节中，结合教材资源提问：用折纸和剪纸的办法（如图1）如何得到一个菱形或正方形，并说明道理.
通过引导学生进行实际操作和演示，让他们尝试解说从折到剪的全过程，力求能够做到具体、形象地讲解图形的边、角、对角线的内在关系，并辨析图形变化前后的数值和位置关系.笔者让学生思考和验证：上述方法能否剪出一个（不是正方形的）矩形，为什么？调动和激发学生的积极性和好奇心，课堂活动进入了新的高潮.从而深化了学生从边、角或对角线的角度，对菱形、正方形间的内在关系的领悟和掌握.
又如在“七年级上册第一章——丰富的图形世界”这一章节中，通过准备好长方体、正方体、圆柱体、剪刀、美工刀、卡纸等教具，在课堂演示操作，适时引导学生参与教学实验，让学生准确地把握图形的形状、数量和位置关系。通过直观的实物展示，促进了学生对相对复杂的空间关系的认识，准确把握了长方体和圆柱体的截面形状、组合体的三视图以及其间正方形的分布位置、组合体中正方体最多或最少个数问题等的解决方法；为了进一步深化领悟，再设置了如下问题：用一个平面截一个正方体，截面形状能否是七边形？请同学们切割用白萝卜制成的正方体，并说说你在切割中的发现.实物直观教学发展了学生抽象思维能力、空间想象能力，提高了他们发现、提出、分析和解决问题的能力.
再如，事件的“可能性”、“频率与概率”，让学生参与摸红球、转转盘、掷骰子、抛硬币、抛图钉、掷飞镖等游戏活动中，通过亲身经历和实际操作，感知数学规律的真实性与存在性，深化了学生对应用古典概型或几何概型解决实际问题的方法的领悟，从根本上把握不确定事件的数学关系.
这样的例子还有很多.实物直观本身也存在局限性，如图形的变换（缩放、平移、旋转、对折等），想通过实物直观教学手段来深化学生对知识的领悟的难度是很大的，所以实际教学中借助了其他直观手段加以实现.
2 通过数学模像直观教学，发展抽象思维能力
一般地，观察与教材相关的模型与图像（如PPT、图片、图表、视频等），形成表象的方法被称为模像直观。它是实物直观的有效补充.
数学模像直观主要是通过前景或背景颜色的强调、形状的缩放、动作路径的设定、对象的参照等手段形成实物中非本质特征的强度改变，从而突出数学教学中需要概括的数学对象的本质因素.用动画形式表现图形的变换（缩放、平移、旋转、对折）、呈现点、线、面、体的动态过程、展示相关数学关系之间的互相转换等，实际教学中可利用的资源有很多，教师亦可自己制作课件，实现图像动态效果的易用软件包括PPT、Flash、几何画板等.
例如，七年级下册“第五章生活中的轴对称——探索轴对称的性质”，如果教学过程中只停留在性质的验证和应用上，课堂学习将会变得枯燥无味，学生的主体性和主动性也将无法得到充分的体现.通过实物展示也可能受阻，因为这节课的相关图形已经从生活中抽象成了数学图形，现在又要倒退回去，这不是折腾吗？如果我们通过动画，利用颜色对比和动作路径设定，让图形自己会说话，学生能直接地感知到图形中每个对应量之间的位置及数量关系，特别是对称点的连线与对称轴之间的关系.学生容易得到以下结论（如图2）：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被对称轴l垂直平分等类似的关系，同时对称轴的位置也显得十分直观，不容怀疑.模像直观弥补了实物直观的不足，便于学生对数学对象本质属性的理解和把握，并且在一定程度上培养了学生的抽象思维能力.
3 运用模式直观，促进思维的迁移，发展抽象思维能力
所谓模式直观，是通过相对比较具体的、先前已经熟悉的、具有普遍协调感的、容易接近的模式作为背景，使得人们能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象[4 ].模式直观是抽象的数学知识学习中经常运用的教学手段.
比如有理数、实数、无理数乃至代数式的运算教学，通过类比小学已学的运算律、运算顺序等已有的算法模式和计算经验，化未知为已知，成功拓展了数的范围，深化了对数的运算关系的领悟.
再如利用“糖水的直观模式”证明a/b类似的例子还有许多，比如用温度计类比数轴来比较实数的大小问题、用方格纸体现勾股定理及其逆定理、用抽屉原理说明400人中定有2人生日相同问题、用方程与函数思想解应用题、用摸球游戏做模拟实验估算概率问题等，通过建模形成不同的模式，用以解决许多同类的实际问题是我们经常运用的思想方法.模式直观的应用，促进了数学思维的迁移，化被动为主动，化未知为已知，深化了学生对数学关系的领悟，对培养学生思维模式和分析问题、解决问题起到了不可替代的作用.
4 采用语言直观教学，发展抽象思维能力
《医学百科》对“语言直观”解释是：教师用生动形象、富有感染力的语言唤起学生对有关事物表象的重现，并按照描述进行重组，以形成新事物的表象.归结一些口诀或顺口溜，不仅直观形象、富有趣味性，而且对数学知识的领悟和掌握也很有帮助.
比如，正方体的展开图有11种情况，如何准确、快速、牢固地掌握它们呢？在实践中借助口诀辅助教学，称以下6种基本图形为1-4-1型，并辅以口诀“四个侧面放中间，上下两面各一边”，如图3（甲）.
当然，为了更加准确、快速地判断一个图形是否为正方体的展开图，还应当对图形进行变式训练，即对图形进行位置的改变，如图3（乙）其实是图3（甲）水平翻转后对应的图形.为了便于学生掌握，可对1-4-1型的图形进行了有序的排列，在教学中也便于语言直观的表达.同时，还将其他展开图分别直观地概括为2-3-1型（共3种）也辅以口诀“二三相连不成田，三一相连位不限”、2-2-2型和3-3型（各1种）用一句口诀“二二三三连成梯，十一种类归四型”.
再如，不等式组的解集问题，可用“大大取大；小小取小；大小、小大取中间；大大小小分两边（无解）.”类似于这样的口诀结合线段图加以辅助教学，让复杂的情况变得简单易懂、生动有趣.通过语言直观和模像直观（或实物直观）相结合进行教学，为深化学生对数学知识的领悟起到了事半功倍的效果.
除了用口诀方式使学习内容变得形象生动外，还可借助比喻、对照、转化、类比等一系列形象生动的教学语言，使一些原本抽象复杂、逻辑性很强的数学关系变得更加简单、有趣、易懂.比如在“九年级下册第三章 ——圆”这一章节中，关于“垂径定理”的逆定理是这样描述的：“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧”，学生觉得不是太好理解.若让学生把这句话转化为“如果……，那么……”的形式，同时画成图形，即“如果圆O的直径d平分一条不是直径（停顿强调）的弦a（学生画图），那么这条直径d就会垂直于弦a，并且平分弦a所对的两条弧（结合图形说明）”，学生很快就改写好了，并且也顺利地画出正确的图形进行描述.为了加深对定理的理解，又引导学生思考：如果把括号中“不是直径”四个字省略了，这个命题还会成立吗？学生依照之前的方式将命题转化成“如果圆O的直径d平分一条弦a，那么这条直径d就会垂直于弦a，并且平分弦a所对的两条弧”，接着用画图形的方式加以说明，得到了反例（如图4），通过举反例的方式成功地解决了争议.
语言直观是最基本的直观手段，它不会受时空限制，生动形象、富有趣味、感染力强，能够唤起学生对各种表象的再现.语言直观要恰当地同实物直观、模像直观以及模式直观相结合，充分发挥直观性教学手段在深化学生对数学知识领悟方面的作用.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3-4.
[2]张焕庭.西方资产阶级教育论著选读[M].北京：人民教育出版，1979：49.
[3]郑治国.从杜威的“做中学”看现代教育[J].江西教育，2004（3）：2.
[4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008：61.
[5]张广祥，张奠宙.代数教学中的模式直观[J].数学教育学报，2006（1）：2.
摘 要：数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，应用直观的教学手段增强学生对数学知识的理解，发展学生的认知能力具有十分重要的作用.初中阶段正是学生思维方式发展的关键期和转折期，思维上体现了抽象性与形象性的综合特征.如何适时应用直观性教学手段，以领悟数学知识为媒介，促进学生数学思维的发展，是数学教育工作者应当思考的问题.
关键词：实物直观；模像直观；模式直观；语言直观
义务教育数学课程标准（2011年版）指出：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系”、“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程” [1 ].捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》中指出，“应该尽可能地把事物本身或代替它的图像放在面前，让学生去看看、听听、触触 [2 ].”美国著名的哲学家、教育学家和心理学家杜威提出了“做中学”，“从活动中学”，“从经验中学”.他明确提出：“从做中学要比从听中学更是一种较好的方法 [3 ].”这些教育思想中无不说明直观性教学的重要性.
下面就应用直观性教学手段以深化学生对数学知识的领悟方面谈谈笔者的一些做法和感受.
1 通过实物直观教学，发展抽象思维能力
以新北师大版数学教材（下同）为例，列举一些运用实物直观教学来深化学生对数学关系的领悟的例子，比如在“九年级上册第一章——特殊的平行四边形”这一章节中，结合教材资源提问：用折纸和剪纸的办法（如图1）如何得到一个菱形或正方形，并说明道理.
通过引导学生进行实际操作和演示，让他们尝试解说从折到剪的全过程，力求能够做到具体、形象地讲解图形的边、角、对角线的内在关系，并辨析图形变化前后的数值和位置关系.笔者让学生思考和验证：上述方法能否剪出一个（不是正方形的）矩形，为什么？调动和激发学生的积极性和好奇心，课堂活动进入了新的高潮.从而深化了学生从边、角或对角线的角度，对菱形、正方形间的内在关系的领悟和掌握.
又如在“七年级上册第一章——丰富的图形世界”这一章节中，通过准备好长方体、正方体、圆柱体、剪刀、美工刀、卡纸等教具，在课堂演示操作，适时引导学生参与教学实验，让学生准确地把握图形的形状、数量和位置关系。通过直观的实物展示，促进了学生对相对复杂的空间关系的认识，准确把握了长方体和圆柱体的截面形状、组合体的三视图以及其间正方形的分布位置、组合体中正方体最多或最少个数问题等的解决方法；为了进一步深化领悟，再设置了如下问题：用一个平面截一个正方体，截面形状能否是七边形？请同学们切割用白萝卜制成的正方体，并说说你在切割中的发现.实物直观教学发展了学生抽象思维能力、空间想象能力，提高了他们发现、提出、分析和解决问题的能力.
再如，事件的“可能性”、“频率与概率”，让学生参与摸红球、转转盘、掷骰子、抛硬币、抛图钉、掷飞镖等游戏活动中，通过亲身经历和实际操作，感知数学规律的真实性与存在性，深化了学生对应用古典概型或几何概型解决实际问题的方法的领悟，从根本上把握不确定事件的数学关系.
这样的例子还有很多.实物直观本身也存在局限性，如图形的变换（缩放、平移、旋转、对折等），想通过实物直观教学手段来深化学生对知识的领悟的难度是很大的，所以实际教学中借助了其他直观手段加以实现.
2 通过数学模像直观教学，发展抽象思维能力
一般地，观察与教材相关的模型与图像（如PPT、图片、图表、视频等），形成表象的方法被称为模像直观。它是实物直观的有效补充.
数学模像直观主要是通过前景或背景颜色的强调、形状的缩放、动作路径的设定、对象的参照等手段形成实物中非本质特征的强度改变，从而突出数学教学中需要概括的数学对象的本质因素.用动画形式表现图形的变换（缩放、平移、旋转、对折）、呈现点、线、面、体的动态过程、展示相关数学关系之间的互相转换等，实际教学中可利用的资源有很多，教师亦可自己制作课件，实现图像动态效果的易用软件包括PPT、Flash、几何画板等.
例如，七年级下册“第五章生活中的轴对称——探索轴对称的性质”，如果教学过程中只停留在性质的验证和应用上，课堂学习将会变得枯燥无味，学生的主体性和主动性也将无法得到充分的体现.通过实物展示也可能受阻，因为这节课的相关图形已经从生活中抽象成了数学图形，现在又要倒退回去，这不是折腾吗？如果我们通过动画，利用颜色对比和动作路径设定，让图形自己会说话，学生能直接地感知到图形中每个对应量之间的位置及数量关系，特别是对称点的连线与对称轴之间的关系.学生容易得到以下结论（如图2）：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被对称轴l垂直平分等类似的关系，同时对称轴的位置也显得十分直观，不容怀疑.模像直观弥补了实物直观的不足，便于学生对数学对象本质属性的理解和把握，并且在一定程度上培养了学生的抽象思维能力.
3 运用模式直观，促进思维的迁移，发展抽象思维能力
所谓模式直观，是通过相对比较具体的、先前已经熟悉的、具有普遍协调感的、容易接近的模式作为背景，使得人们能够进一步把握和理解更加抽象、更为深刻的思维对象[4 ].模式直观是抽象的数学知识学习中经常运用的教学手段.
比如有理数、实数、无理数乃至代数式的运算教学，通过类比小学已学的运算律、运算顺序等已有的算法模式和计算经验，化未知为已知，成功拓展了数的范围，深化了对数的运算关系的领悟.
再如利用“糖水的直观模式”证明a/b类似的例子还有许多，比如用温度计类比数轴来比较实数的大小问题、用方格纸体现勾股定理及其逆定理、用抽屉原理说明400人中定有2人生日相同问题、用方程与函数思想解应用题、用摸球游戏做模拟实验估算概率问题等，通过建模形成不同的模式，用以解决许多同类的实际问题是我们经常运用的思想方法.模式直观的应用，促进了数学思维的迁移，化被动为主动，化未知为已知，深化了学生对数学关系的领悟，对培养学生思维模式和分析问题、解决问题起到了不可替代的作用.
4 采用语言直观教学，发展抽象思维能力
《医学百科》对“语言直观”解释是：教师用生动形象、富有感染力的语言唤起学生对有关事物表象的重现，并按照描述进行重组，以形成新事物的表象.归结一些口诀或顺口溜，不仅直观形象、富有趣味性，而且对数学知识的领悟和掌握也很有帮助.
比如，正方体的展开图有11种情况，如何准确、快速、牢固地掌握它们呢？在实践中借助口诀辅助教学，称以下6种基本图形为1-4-1型，并辅以口诀“四个侧面放中间，上下两面各一边”，如图3（甲）.
当然，为了更加准确、快速地判断一个图形是否为正方体的展开图，还应当对图形进行变式训练，即对图形进行位置的改变，如图3（乙）其实是图3（甲）水平翻转后对应的图形.为了便于学生掌握，可对1-4-1型的图形进行了有序的排列，在教学中也便于语言直观的表达.同时，还将其他展开图分别直观地概括为2-3-1型（共3种）也辅以口诀“二三相连不成田，三一相连位不限”、2-2-2型和3-3型（各1种）用一句口诀“二二三三连成梯，十一种类归四型”.
再如，不等式组的解集问题，可用“大大取大；小小取小；大小、小大取中间；大大小小分两边（无解）.”类似于这样的口诀结合线段图加以辅助教学，让复杂的情况变得简单易懂、生动有趣.通过语言直观和模像直观（或实物直观）相结合进行教学，为深化学生对数学知识的领悟起到了事半功倍的效果.
除了用口诀方式使学习内容变得形象生动外，还可借助比喻、对照、转化、类比等一系列形象生动的教学语言，使一些原本抽象复杂、逻辑性很强的数学关系变得更加简单、有趣、易懂.比如在“九年级下册第三章 ——圆”这一章节中，关于“垂径定理”的逆定理是这样描述的：“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧”，学生觉得不是太好理解.若让学生把这句话转化为“如果……，那么……”的形式，同时画成图形，即“如果圆O的直径d平分一条不是直径（停顿强调）的弦a（学生画图），那么这条直径d就会垂直于弦a，并且平分弦a所对的两条弧（结合图形说明）”，学生很快就改写好了，并且也顺利地画出正确的图形进行描述.为了加深对定理的理解，又引导学生思考：如果把括号中“不是直径”四个字省略了，这个命题还会成立吗？学生依照之前的方式将命题转化成“如果圆O的直径d平分一条弦a，那么这条直径d就会垂直于弦a，并且平分弦a所对的两条弧”，接着用画图形的方式加以说明，得到了反例（如图4），通过举反例的方式成功地解决了争议.
语言直观是最基本的直观手段，它不会受时空限制，生动形象、富有趣味、感染力强，能够唤起学生对各种表象的再现.语言直观要恰当地同实物直观、模像直观以及模式直观相结合，充分发挥直观性教学手段在深化学生对数学知识领悟方面的作用.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3-4.
[2]张焕庭.西方资产阶级教育论著选读[M].北京：人民教育出版，1979：49.
[3]郑治国.从杜威的“做中学”看现代教育[J].江西教育，2004（3）：2.
[4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008：61.
[5]张广祥，张奠宙.代数教学中的模式直观[J].数学教育学报，2006（1）：2.
