重视教材分析 落实数学核心素养

    马春妍

    

    

    

    《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学应根据具体的教学内容，通过引导学生主动思考、探索等活动，使学生获得数学基础知识、基本思想、基本活动经验，促使学生能够主动地学习，不断提高数学的分析问题和解决问题的能力.数学知识的学习，应注重学生对数学知识的理解，体会数学知识间的联系.因此，在数学教学过程中，让学生根据题目里的几何图形，经过观察、思考、交流、发现等数学活动，自发的发现问题之间的联系，借助教师适当的指导，把新问题转化为旧问题，并通过适当的数学训练，进一步丰富已有学习经验.1 问题提出

    三角函数是初中数学的重要知识点之一，在众多的题目背景下，我们可以将其中的一个图形定为“基本图形”，这个“基本图形”是提出问题的有效载体，也是三角函数考题创新的基础，更是把握三角函数考题变化的依据.我们梳理三角函数部分的考查题目，结合青岛中考试题，组织一个微专题，以这些题目为基本素材，展开三角函数基本图形的深思与探究.2 问题解决

    基本图形（2017青岛中考） 如图1，C地

    在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地

    到C地需绕行B地.已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520?km，C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）

    （参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73）图1 图2

    解析 如图2，做BD⊥AC于点D，设BD=x，

    在Rt△ABD中，sin67°=ADAB，cos67°=BDAB，所以

    AD=480?km，BD=200?km.在Rt△BCD中，

    tan30°=CDBD，所以CD≈115，所以AC=AD+CD=595?km

    点评 利用辅助线BD将△ABC分成两个直角三角形△ABD和△BCD，并且这两个直角三角形有一个直角边是公共边，这是本题的解题关键

    学生已经有图形变换的知识基础，在学习完此题后，可顺势思考，借助“基本图形”进行折叠、平移、旋转等变换，获得新问题，从而达到举一反三，巩固知识的效果图3

    变式1 （2013年青岛）如图3，马路的两边CF，

    ，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧

    的A，B两点分别表示车站和超市.CD与AB所

    在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马

    路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°

    求CD与AB之间的距离;（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）

    解析 设CF=x，在Rt△BCF中，tan37°=CFBF，所以BF=43x，在Rt△ADE中，tan67°=DEAE，所以AE=512x，因为BF+EF+AE=AB，所以43x+20+512x=62，所以x=24，即CD与AB之间的距离是24米

    点评 此题图形可以看成将例题中的两个直角三角形进行适当的平移，构造出新的问题，即变式1，解决此题的关键是找到两个直角三角形中公共的边，设为未知数，从而解决问题

    变式2 如图4，小明在热气球A上

    看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，

    并测得B，C两点的俯角分别为45°

    和35°，已知大桥BC与地面在同一

    水平面上，其長度为100m.请求出

    热气球离地面的高度

    （结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）图4 图5

    解析 如图5，做AD⊥BC于点D，设AD=x，

    在Rt△ABD中，∠ABD=45°，所以BD=AD=x，

    在Rt△ACD中，tan35°=ADCD，所以CD=107x，

    因为BD+BC=CD，所以100+x=107x，解得x=233

    点评 将例题中△ABD沿BD折叠，即为此题，解题关键根据基本图形的思路构造直角三角形，并找到两个直角三角形中的相等量设为未知数.此题给出了折叠关系进行变式习题的思路.在学生掌握例题后，学生可以先自主思考并可借助教师适当的引导、启发，以发现此问题与例题之间的关系.在此过程中教师应给予学生适当的鼓励

    变式3 （2018年青岛19题）某区域平面

    示意图如图6，点O在河的一侧，AC和BC

    表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A

    处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在

    B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m.请求出点O到BC的距离.（参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247）图6 图7

    解析 如图7，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，

    设OD=x.在Rt△BOD中，tan73.7°=ODBD，

    所以BD=724x，所以CD=OE=500-724x.

    在Rt△AOE中，∠OAE=45°，所以AE=OE，

    因为AE+ER=AC，所以500-724x+x=840，所以x=480

    点评 此题在例题基本图形的基础上，将其中的一个直角三角形进行旋转变式

    变式4 （2019年青岛19题）如图8，

    某旅游景区为方便游客，修建了一条东

    西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道

    路CD平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120?m，BD=80?m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910）图8 图9

    解析 如图9，过点C做CE⊥AB于点E，

    过点D作DF⊥AB于点F.在Rt△BDF中，

    cos32°=DFBD，sin32°=BFBD，所以DF=68，

    BF=42.5，所以CE=DF=68.在Rt△ACE中，

    tan42°=AECE，所以AE=61.2，所以AB=AE+EF-BF=139.图10 图11 图12

    点评 2019年的中考试题在基本图形（如图10）基础上，进行平移（图11）、轴对称变化（图12）变式，创新角度、知识综合化.

    3 结束语

    本文是对三角函数专题复习教学的一个反思，通过将“基本图形”进行折叠、平移、旋转等变换，获得新图形，从而达到举一反三、顺势思考的目的.学生在思考、探究问题的过程中，其几何直观、模型思想等核心素养都将得到提升.