转化思想在“最短路径问题”教学设计中的应用
周宇剑 唐耀平 袁娟
摘要：转化思想是数学中非常重要的思想，在数学教学中，教师应适时渗透转化思想。文章以“最短路径问题”为例，让学生经历将实际问题转化为数学问题，再进一步转化为已知的、可以解决的问题进行解决的过程。在培养学生分析问题和解决问题能力的同时，让学生体验转化思想，引导学生认识到在生活中遇到困难时不要轻易退缩，尽量将其转化为熟悉的、容易解决的问题。
关键词：转化思想；教学设计；问题解决
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把基本思想作为“四基”之一，说明义务教育阶段对学生进行数学思想方法的渗透是重要且必须的。匈牙利著名数学家路沙·彼得（Rozar Peter）在《无穷的玩艺》中写道：数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题。转化思想在日常生活中经常被用到，本文以在“最短路径问题”的教学设计中应用转化思想为例进行论述。
一、教材分析
“最短路径问题”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十三章“轴对称”第四节的内容，本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，在此之前学生已经学习了轴对称的概念和性质，以及“两点之间线段最短”“垂线段最短”等简单的最短路径问题。本节课的教学让学生经历将实际问题转化为数学问题，再进一步转化为已知的、可以解决的问题进行解决，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级学生思维活跃，善于表现，喜欢交流。对新鲜事物好奇心强，学习兴趣浓厚，具有较强的探究欲望。学生已经学习了轴对称的概念及性质，且了解“两点之间线段最短”等简单的最短路径问题，有自主探究得出结论的能力。学生利用数学思想方法的意识比较薄弱，大多依赖教师的点拨。
三、教学目标
（1）能将实际问题中的地点、河流抽象为数学中的点和线，使实际问题数学化；掌握利用轴对称知识解决简单的最短路径问题的方法；能够利用“两点之间线段最短”验证得到的最短距离。
（2）经历探索发现的过程，养成探究、归纳、分析的思维习惯；经历利用“两点之间线段最短”验证最短距离的过程，体会证明的必要性，发展学生的合情推理能力并初步培养学生的演绎推理能力；经历多次转化后解决问题的思考方式，体验转化的思想方法。
（3）初步学会在具体情境中，从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识分析问题和解决简单的实际问题。增强应用意识，提高实践能力。
（4）通过创设情境，结合实际生活问题，引导学生通过观察、操作、交流和反思，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的积极作用；通过观察、比较、总结、应用等数学活动，感受数学活动充满探索性和创造性，体验发现和转化的快乐，提高应用意识；在独立思考的基础上，通过小组合作，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，尊重并理解他人的见解，在交流中获益。
四、教学过程
1.创设情境，引入新课
有一位牧马人在带马喝水的时候遇到了一个问题，我们一起来看看能不能帮帮他呢。如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边让马喝水，然后去往B地。牧马人到河边的什么地方让马喝水，可以使所走的路径最短？
【设计意图】从饮马的生活情境出发，提出问题，触发学生强烈的好奇心和求知欲，为后面学习新知识创造良好的开端。
2.合作交流，探索新知
（1）探究。
探究1：饮马问题是一个生活中的实际问题，我们该怎么做？
探究2：如图2，引导学生把河边l近似看成一条直线，地点A，B看成两个点，将实际问题转化为数学问题：C为直线l上的一个动点，当点C在直线l的什么位置时，线段AC与CB的和最小？
【设计意图】学习数学的主要目的就是应用数学解决实际问题，通过分析问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题。既能帮助学生树立模型意识，又能让学生体会转化思想。
探究3：如图3，如果点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点，使这个点到点A与点B的距离之和最短？
解決方案：如图4，根据“两点之间线段最短”的基本事实，连接AB，交直线l于点C，点C即为所求的点。
【设计意图】虽然已经将实际问题转化成了数学问题，但是学生仍然不容易根据已有经验找到直线上到直线同侧两固定点的距离和最小的点，引导学生先考虑确定直线上到直线异侧的两个点的距离和最小的点，再一次体验转化思想。
探究4：如图5，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在直线l上找到点C，使这个点C到点A与点B的距离和最短？
在解决了寻找直线上到直线异侧固定点的距离和最小的点的问题后，思考将同侧问题转化为异侧问题：能否在直线l的另一侧找到一点B′，使在直线l上的任意一点C，都满足CB=CB′，此时点C到点A和点B的距离和最短问题就可以转化为点C到点A和点B′的距离和最短的问题。有没有符合这种想法的点B′呢？有的话，要怎样找到它？
思考并交流：如图6，利用轴对称的知识找到点B′，点B′即为点B关于直线l的对称点，此时，取直线l上的任意一点C，都满足CB=CB′。
此时，问题顺利转化为如何在直线l上找到一个点，使这个点到点A和点B′的距离和最短。
教师留给学生充足的思考时间，学生以小组为单位进行交流讨论，并推选代表汇报、展示作法。
作法：如图7，①作点B关于l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点D，则点D即为所求。
探究5：点D是使AD + BD的和最小的点吗？
分析：要证明点D即为所求，只需要在直线l上任找一个不与点D重合的点，根据“两点之间线段最短”可以证明。
如图8，在直线l上取不与点D重合的任意点C，可知AD+BD=AD+DB′=AB′
（2）課堂升华。
这节课我们解决了牧马人饮马的问题。首先，将实际问题转化为数学问题；其次，将寻找直线上到直线同侧的两个点的距离和最小的点的问题，转化为寻找直线上到直线异侧的两个点的距离和最小的点的问题；最后，由解决异侧问题时获得的启示，解决同侧问题。期间多次用到转化，转化思想是数学中一个非常重要的思想。我们在生活中遇到困难不要轻易退缩，要想一想能否转化成我们熟悉的、容易解决的问题。
【设计意图】在学生会解决直线异侧两点和的距离的问题后，引导学生将同侧问题转化为异侧问题进行解决，进而解决课前引入的实际问题。同时引导学生在日常生活中也要注意运用转化思想解决问题，让学生体验转化思想应用的广泛性，感受数学学习的乐趣和实用性。
本教学设计从实际问题出发，引导学生经历将实际问题抽象为数学问题的建模过程，培养学生解决实际问题的能力。在分析过程中将问题转化、分解，化繁为简，让学生逐步发现解决问题的方法和思路，有利于提高学生思维的灵活性和广阔性。
在实际教学中，教师不仅要教会学生知识技能，更重要的是要教会学生思考，教给学生解决问题的思想和方法。转化思想就像架在新知和旧知之间的一座桥梁，能够帮助学生有效解决未知问题。教师要引导学生树立转化意识，让学生在遇到数学问题甚至生活中的问题时，能够想到对问题进行转化，进而解决问题。
基金项目：2019年湖南省普通高校教学改革研究项目——专业认证背景下师范生培养模式构建与实践（湘教通[2019]291号No.854）；
2016年湖南省教改项目——地方应用型本科院校卓越中学数学教师培养的研究与实践（湘教通[2016]400号No.719）；
2018年湖南科技学院应用特色学科项目资助——数学、教育学（湘科院校发[2018]83号）。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
