应用“问题解决”课堂模式探究数学史融入课堂之正弦定理

    伍海艳

    

    

    

    摘要：如何在中学开展HPM课堂教学，让数学史成为课堂利器，需要寻找合适的方法精心设计。本案例采用“问题解决”课堂模式将数学史融入课堂，在作高法证明定理后，引入纳绥尔丁的同径法，在探究正弦定理的完整形式时引入梅文鼎与韦达的外接圆法，进而引出辅助直径法。通过问题探究让数学史和正弦定理内容学习浑然天成、生动有趣。

    关键词：HPM;正弦定理;“问题解决”课堂模式

    中图分类号：G633.6? ?文献标识码：A? ?文章编号：1992-7711（2020）01-0118

    近年来，HPM视角下的数学教学日益受到中学数学教育界的关注，许多中学数学教师开始开展HPM实践和案例开发。其一，在中学开展HPM课堂教学并取得好的效果，笔者认为首先要让课程实施者自己理解到引入数学史是必要的、有用的，可以用来解决问题增强教学效果的;其二，需要足够的资源以支撑我们进行HPM探索;其三，作为教师，针对不同的内容应该研究出不同的融入方法。如果每节课都是走一样的程序，引入历史，导入新知，不仅会引起视觉的疲劳，也失去了引入数学史的意义。所以，本案例以正弦定理的教学为例，谈谈笔者对HPM的理解。

    首先，笔者认为将数学史融入课堂是有必要的、有用的。从当前正弦定理的教学看，无论是教科书的编写还是教师的教学，对其历史发展是普遍忽视的，这在一定程度上影响了学生的认知过程。学生在学习过程中会产生很多疑惑，比如正弦定理跟“弦”有关吗？正弦定理中，三角形的边与其对角的正弦之比为什么与外接圆直径有关，为什么会想到外接圆？透过正弦定理发展的历史，我们不难找到上述问题的答案。所以，笔者认为，在教学过程中适当使用历史材料，能够有效解决学生的疑问。

    其次，深入研究本内容特点，寻求既生动有趣又高效的课堂教学方式，即采用“问题解决”课堂模式将数学史融入课堂。问题解决能力是“创新精神与实践能力”在数学教育领域的具体体现，是一种重要的数学素质。在课堂教学中，应使学生在学习中成为发现问题和解决问题的主体，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。问题解决”课堂教学模式的操作程序为：1. 创设问题情境，激发学生探究兴趣;2. 尝试引导，把数学活动作为教学的载体;3. 自主解决，把能力培养作为教学的长远利益;4. 练习总结，把知识梳理作为教学的基本要求。基于以上理论及课堂需要，笔者将分三部分进行探究，并在适时位置融入数学史。

    一、创设问题情境，引入课题

    问题：1.如图（1），设A、C两点在河的两岸，只有米尺和量角设备，不过河你可以测出它们之间的距离吗？

    为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如图（2）如何求A、C两点的距离？我们需要弄清楚三角形边角之间的关系。

    二、活动探究，先学生小组活动，然后展示答案

    活动1：探究直角三角形边角之间的关系

    思考：在直角三角形ABC中，各个角的正弦如何表示？如图（3）

    sinA=[ac]，sinB=[bc]，而[sinC=1=cc]，

    容易得到：[asinA=bsinB=csinc]

    思考：这个问题对一般的三角形成立吗？

    活动2：在锐角三角形中是否有相同的结论，如图（4）

    作BE⊥AC，AD⊥BC

    请在△ABD、△ACD中用斜边与三角形的角的关系表示出AE，

    请在△ABE、△ACE中用斜边与三角形的角的关系表示出BD;

    答案：AD=ABsin∠ABC=ACsin∠ACB

    ∴[ABsin∠ACB]=[ACsin∠ABC]

    同理BE=ABsin∠BAC=ACsin∠ACB

    ∴[ABsin∠ACB]=[BCsin∠BAC]

    因此，我们就可得到[asinA=bsinB=csinC]。

    活动3：钝角三角形是否有相同的结论？经证明亦有

    [asinA=bsinB=csinC]

    活动4：小结，由此得出正弦定理：在任意一个三角形中，各边与所其对角的正弦值的比相等，即满足关系式

    ∴[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

    活动5：定理另证（让学生小组合作完成，请学生上台讲解）

    如图，分别在CA、BA的延长线上取点G、E，使CG=BE=1如图（5），分别以C、B为圆心CG和BE为半径作弧，交直线于M、N，分别过G、A、E作直线BC的垂线，垂足分别为H、D、F，请利用三角形相D似的比例关系来证明[bc]=[sinBsinC]。

    解：易得GH=sinC，EF=sinB

    记b=AC，c=AB，

    由[bCG]=[ADGH]，[cBE]=[ADEF]

    两式相除，结合CG=BE知：[bc]=[EFGH]=[sinBsinC]

    此方法是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁的证明方法，即同径法。

    活动6：题后反思：（1）比较两种证法，有什么共同的地方？哪种方法更容易？

    （2）在第2种证法中为什么作弧，不作弧能否证明？以此问题作为引入数学史的桥梁。

    三、引入数学史，这部分用微课形式展示

    十八世纪之前，正弦始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的线段，受此影响，对正弦定理的证明基本上都是通过作圆的弦来实现的。直到1748年，欧拉在《无穷分析引论》中指出“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。比如，以角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得线段MP（即函数线）与OP相互之间的比值即该角的（下转第122页）（上接第118页）正弦。欧拉的定义实际上将正弦定义为直角三角形的直角边与斜边的比值，这一发展立即带来了正弦定理证明的简化。如图（6）：sinB=AD∶AB，sinC=AD∶AC立即就有sinB∶sinC=AC∶AB这一证明这是数学简洁美的典范，不足的是脱离了外接圆，失去了正弦定理的完整形式。

    那么正弦定理的完整形式是什么呢？以此问题作为桥梁进一步引入数学史。还是从希帕克斯说起。

    活动7：思考：添加外接圆怎么证明正弦定理？

    引导回答：作弦的垂径或者辅助直径。

    方法1：设R为三角形ABC的外接圆的半径如图（7）

    作OE⊥BC，OF⊥AC，OG⊥AB……

    [A][B][C][D][O][a][b][c][图（8）][图（7）] [A][C][B][D][E][F][O]

    方法2：如图（8），过C做外接圆的直径CD，连接BD，则三角形CBD为直角三角形∠A=∠D，sinA=sinD=[BCCD]=[BC2R]，

    ∴[BCsinA]=2R同理[ACsinB]=2R，[ABsinC]=2R

    ∴[BCsinA]=[ACsinB]=[ABsinC]=2R。

    数学史知识：我国清代数学家梅文鼎在他的著作《平三角举要》中也证明了正弦定理，以上的证明方法一就是梅文鼎的证明思路之一。16世纪法国数学家韦达（1540～1603）也独立发现了外接圆法。20世纪初，“外接圆法”演化为“辅助直径法”。而在上面的方法二也就是辅助直径法。

    本文通过对正弦定理的教学，对任意三角形边角关系问题的探究，对正弦定理的来源和历史证明方法的鉴赏及正弦定理应用的例题设置，引导学生自主探索知识的生成，让学生思之有向，思之有序，思之有理，思之有创，让学生不断感悟，使课堂教学有了深度、广度。实践了素质教育的八字方针：精讲、善导、引思、激趣，让学生在合作中学习，在探究中创新，在互动中深化，使学生在整个学习中成为真正的主人。

    参考文献：

    [1] 张小明.正弦定理的证明：从历史到教学[J].数学通报，2015（7）.

    [2] 汪曉勤.20世纪中期以前的正弦定理历史[J].数学通报，2016（1）.

    （作者单位：广东省湛江市第一中学? ?524038）