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2022.08.18

张贝李志平

[摘? 要] 文章通过改编两个正方形的旋转的实验探究题，研究一类正多边形与直角三角形、扇形等图形的旋转形成的重叠面积的变化问题，希望能对一线教师教学旋转相关知识有所启示.

[关键词] 正多边形;扇形;旋转;重叠面积;变式

正多边形是九年级学生熟悉的图形，由正方形的旋转拓展到正三角形、正五边形、正n边形的旋转，由特殊到一般地设计一些有规律的问题，通过让学生实践操作、猜想、证明、验证，让学生亲身经历知识自然生成的过程，进一步提升学生对正多边形边角关系、全等三角形、旋转变换等知识的理解，让其透过旋转表象理解常见正多边形的性质，归纳共性，提升解题能力，提高学生数学逻辑思维、直观想象等核心素养. 原题选自人教版八年级下册第63页实验与探究中有关正方形的小实验，通过旋转一类图形后重叠部分面积的变化问题，让学生透过表象看到本质.

原题

如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是又是正方形A1B1C1D1的一个顶点，而且两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，想一想，这是为什么？

该实验考查正方形的四个角是直角，对角线互相垂直平分且相等等性质，在正方形的背景上结合三角形全等的判定和性质来发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养. 本题只是考查了面积相等，那么除了面积相等我们还可以探究在旋转过程中相等的线段等结论，因此可以在结论和条件上做些适当的变式.

变式

变式1? 如图2，点O是正方形ABCD对角线的交点，将直角三角形GHI的直角顶点H与点O重合，转动三角板使两直角边始终与AD，CD相交于点F，E.

（1）求证：OF=OE;

（2）试探究四边形OEDF的面积是一个定值，并求出这个定值.

注? 在原题中涉及两个正方形，但在旋转正方形A1B1C1D1过程中只用到了正方形的其中一个角是直角的性质，为此，笔者把原题中的正方形A1B1C1D1改编为直角三角形，在结论上增加考查在旋转过程中除了面积的不变性外还有始终相等的线段的不变性.

变式2? 如图3，点O为正五边形ABCDE的中心，以O为顶点的扇形PFI绕点O无论怎样转动，要使它与正五边形ABCDE的重叠部分的面积总保持不变，问扇形PFI应满足什么条件？请说明你的理由.

注? 变式2把原题中的正方形变为正五边形和扇形，把题设和结论进行倒置，以探究旋转过程中重叠面积不变的核心是要保证△OHD与△OGC全等，其实质是要让绕点O旋转的那个角等于中心角.

变式3? （1）如图4（a），已知∠DOE=120°，把∠DOE的顶点放在正三角形（面积为S1）的中心点O，并将∠DOE绕点O旋转，试求出∠DOE与正三角形重叠部分的面积.

（2）如图4（b），已知∠GOH=90°，把∠GOH的顶点放在正方形（面积为S2）的中心点O，并将∠GOH绕点O旋转，试求出∠GOH与正方形重叠部分的面积.

（3）如图4（c），已知∠POI=72°，把∠POI的顶点放在正五边形（面积为S3）的中心点O，并将∠POI绕点O旋转，试求出∠POI与正五边形重叠部分的面积.

（4）如图4（d），当 ∠MON=_______度，把∠MON的顶点放在正六边形（面积为S4）的中心点O，并将∠MON绕点O旋转，则∠MON与正六边形的重叠部分的面积为________.

（5）根据（1）（2）（3）（4）的规律，猜想当一个角为________，把这个角的顶点放在正n边形（面积为Sn）的中心点O，并将这个角绕点O旋转，可以得出：这个角与正n边形的重叠部分的面积为________.

注? 根据正方形是特殊的平行四边形，也是一个正多边形，点O是正方形的中心，OA，OB，OC，OD分别是正方形外接圆的半径，∠AOB，∠BOC，∠COD，∠AOD分别是外接圆的中心角，OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD，所有的正多边形都具有这些性质，因此，笔者把题设中的正方形改编为正三角形、正五边形、正六边形，由特殊到一般地去探究这一类正多边形旋转面积不变的共性.

變式4? （1）如图5（a），正三角形（半径为a1，面积为S1）的中心点O和圆心角为240°的扇形DOG（半径为b，且b>a1）的顶点重合，使扇形DOG绕点O旋转，求出图中重叠部分的面积.

（2）如图5（b），正方形（半径为a2，面积为S2）的中心点O和圆心角为180°的扇形GOI（半径为b，且b>a2）的顶点重合，使扇形GOI绕点O旋转，求出图中重叠部分的面积.

（3）如图5（c），正五边形（半径为a3，面积为S3）的中心点O和圆心角为144°的扇形POM（半径为b，且b>a3）的顶点重合，使扇形POM绕点O旋转，求出图中重叠部分的面积.

（4）猜想：如图5（d），正六边形（半径为a4，面积为S4）的中心点O和圆心角为________度的扇形MON（半径为b，且b>a4）的顶点重合，使扇形MON绕点O旋转，图中重叠部分的面积为_________;

（5）根据（1）（2）（3）（4）的规律，猜想当圆心角为_______度的扇形，把这个扇形的顶点放在正n边形（半径为b，且b>an）的中心点O，并将这个扇形绕点O旋转，可以得出：这个扇形与正n边形的重叠部分的面积为_______.

注? 变式4在变式3的基础上继续拓展到扇形的圆心角是正多边形的中心角度数的整数倍时，再将有关图形适当组合，就可以得到一系列在旋转过程中，重叠部分面积不变的若干问题.

小结

通过对课本实验题进行适当的改编，让题目变活了，学生的思维容量增大了，课堂也丰富了，更激发了学生探究的欲望. 教师可以通过变式训练让学生在学习过程中发现问题的本质，加深对同类型、同系列数学问题的理解，帮助学生总结归纳解这一类题的方法和规律.

总之，在课堂教学中我们要让学生有深度和广度地思考有价值的数学问题，鼓励学生大胆猜想、验证与证明. 教师对一道题不能就题论题，要进行适当的拓展和延伸，在拓展和延伸过程中要渗透转化、建模、从特殊到一般等数学思想，最终达到提升学生分析问题、解决问题的能力的目的.