数学教学中概念教学的重塑

    羌达勋

    摘要：现代发生学认为，概念的学习以学习者的经验为基础，是学习者自主建构的过程。高中数学课堂长期以来过于注重实用，一味地在应试的层面上对学生进行机械训练而未将概念的发生、发展过程以及产生背景、规定和限制的条件等内容完整地呈现给学生，教学效果不佳。从教学诊断出发，注重概念的生成与学生发现、提出、分析及解决问题能力的培养，能为概念教学找到合理的实施途径。

    关键词：概念生成；数学教学；概念教学；教学诊断

    中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：2095-5995（2018）02-0044-03

    一、引言

    我国的高中数学课堂，长期以来过于注重实用，即强调通过大量的训练、讲解、测试等应试手段，强化知识的掌握与巩固。这一方法虽然有利于学生在考试中取得较好的成绩，但也导致了教学内容多浮于皮表，深度学习难以生发。笔者基于多年的教学管理经验，认为一味地追逐实用性训练，而轻视深入的概念授受，教学效果往往事倍而功半，甚至会扼杀学生的既有兴趣和固有才能。教师与学生的付出与成果呈负相关，整个教学的秩序和生态均陷入低效、负能的尴尬状态中。数学教学要摆脱这样的困局，关键要重塑概念教学理念，进而调整教学策略和行为。下面是苏教版高中《数学》必修4“弧度制”概念教学的一个片段，本文以此为例展开论述：

    师：我们曾在初中学习过角的度量。大家回忆一下，1°的角是如何定义的？

    生：1°的角是指周角的1/360。

    师：嗯，这种定义的原理，我们称为“角度制”。现在，我们再来学习一种全新且较为常用的单位制：弧度制。

    师：“弧度”写作“rad”。通常情况下，长度等于半径长的弧所对的圆心角，就叫作1弧度的角。同时，AB弧的长等于半径r，其所对的圆心角就是1弧度的角。假设圆心角∠AOC所对的弧长l=2r，其弧度数就是l/r=2r/r=2。

    师：现在，请同学们利用这一知识，进行合理地迁移：圆周角的弧度数应如何表达，平角与直角呢？

    生：圆周角的弧度数应为2π，平角为π，直角为π/2。

    师：这样我们就知道，任一0°到360°的角的弧度数，均服从于0≤x<2π的关系。如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l=4πr时，我们就应先求出其绝对值，然后在前面加上“—”号，即-l/r=-4πr/r=-4π。

    综上所述，任一角α的弧度数的绝对值|α|均等于l/r，其中l是以角α为圆心角时所对的弧长，r是半径。这种度量角的单位制叫作弧度制。

    这堂数学课的教学片断，在当前的数学教学中非常常见，但其忽视了概念生成的本然规律性。教师虽然很用心地阐释定义，但这只是教师基于个人的理解设计的教学，没有让概念的学习从学生的知识经验出发。从皮亚杰的发生学原理来看，这一教学的问题在于学生没有参与到概念的建构过程之中，学生只是被动接收、复制。同时，分析这一教学片断也可以发现，教师对学生的既有经验估计不足，甚至可能是刻意忽视，没有充分地分析学生的认知背景，而且教学忽视了概念的由来过程，只是把精力放在应试训练上，即追求所谓的“概念教学最小化”和“习题讲解最大化”。

    从学生的角度看，他们大都认为概念教学单调、乏味，疏离个人的既有经验、认识习惯和表达习惯。正是由于这种亲和性的丧失，逐渐导致学生对概念不求甚解，抱着死记硬背的态度，严重影响了数学学习的科学性与有效性。在此情形下，学生只会针对特定的题型，模仿教师的解法，“依葫芦画瓢”，而为了画出更多的“瓢”，师生不得不共同陷入无休止的“题海鏖战”中。

    数学作为一门起源于实用诉求的学科，虽然对思维能力、想象能力等提出了很高的要求，但它的基本概念一定来源于生活和生产的现实需要。数学教学中之所以出现概念难、概念空、概念虚等“囚徒困境”，其根本原因是数学教师没有做到概念的生活化解构和情景性还原，甚至部分教师只知道解题，闷头把自己炼成解题高手，因而不能用清晰、简明和生活化的语言诠释概念及其本质属性，这样就导致学生对数学概念只知其然而不知其所以然。长此以往，学生的数学学习兴趣被消磨殆尽，逐渐沦为只会做题的“机器”。

    《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解。……在教学中要引導学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。”[1]数学概念教学的目的不是就概念教概念，更不是为了应试之需而生搬硬套概念，而是帮助学生真正理解数学概念，掌握数学思维方法，进而提升数学学习能力。因此，要使学生真正理解和掌握数学的独特术语，教师就必须在此环节上多下功夫，把概念教学作为数学教学的重中之重。

    二、注重正本清源，还原“概念立场”

    数学概念大都产生于生活生产的实际，都有其生发的具体的知识背景。教学中教师若舍弃背景知识铺垫，而直接抛给学生一连串的概念，学生是难以理解与接受的。而这种做法确是当前数学教学的常态，教师的这种路径依赖常常使学生感到概念是“空降”而来的，除了对概念野蛮地生吃活剥以外，也白白错过了许多本可以培养能力、启发思维的机会。

    现实教学中，很多教师由于对概念的生成性没有足够的认识，尤其是忽视了概念本身的逻辑性和精确性，喜欢给学生“植入”各类概念，背离了概念教学的初衷。任何数学概念的产生都需要一定的过程，这一过程是众多数学家的质疑、摸索与探讨的过程。基于此，如果教师能适当还原概念的形成机理与过程，让学生去重新经历概念形成的过程，必将有效提升概念教学的效率。布鲁纳指出：“当基本概念以正规形式出现在儿童面前时，他们如果事先没有从直觉上加以理解，对这些概念则将无能为力。”[2]事实上，由于概念天然的抽象性不利于学生理解，于是，强化概念在“直觉”和“感官”上的还原，就显得尤为重要。例如，在“弧度制”引入时，教师可以做如下设计：

    师：在历史上，数学家们最初以“弧”为数学语言，定义和研究三角函数。这样就出现：当长度与半径的弦所对的圆心角是60°，那么长度等于半径的弧所对的圆心角则是多大呢？其大小与所在圆的半径是否有关联性？

    生：角的度数与圆的半径无关。

    师：它和60°角孰大孰小？

    生：由于长度等于半径的弦所对的圆心角，比长度等于半径的弧所对的角要大一些，所以这个角一定比60°小。

    教师用“60°角”作为一个直观形象的工具，并以数学史相关知识为背景，让学生在质疑、对比和论证的过程中获得对“弧度制”概念的深层理解，产生了很好的教学效果。与此相类似，在函数、方程式、概率论等不同的数学分支领域中，教师在教授概念时巧妙地结合些文化史、生产史、军事史等相关知识，用看似发散的、跨界的知识进行类比和迁移，可以实现概念的精确聚焦，帮助学生还原概念的产生过程，加深对抽象概念的理解。从实践上说，概念聚焦的本身是数学学习实现举一反三的奥秘所在。如果数学教师都能这样进行概念教学，那么学生自然就能掌握扎实的数学基础知识，其在解题中自然就能游刃有余。从这个意义上看，数学教学须站在“概念立场”上来完成，这一立场是以学生学习为中心的“学生立场”，能真正实现学生学习效率的提升。因此，概念不应再作为数学教学设计的铺垫而存在，它本身就应该站在教学舞台的中心。

    三、树立问题意识，推动“概念建模”

    数学概念从源头看，多源自于实际问题的解决需要，尔后才有学术性概念，譬如，古埃及尼罗河流域因河水定期涨落而形成的土地丈量几何学等。因此，从起源上来看，数学问题和数学概念往往蕴含着浓厚的生活气息。从心理学上看，学生数学概念的形成，通常是从具体到抽象、从特殊到一般、从片面到全面的复杂的思维过程，甚至中间还会有反复。所以，课堂教学中教师不能急于抛出概念，甚至在讲不清概念时就进行练习。科学的教学方式应先设计具有难度梯度的探究性活动，再帮助学生通过讨论、分析等过程建立概念模型，直至最终形成概念。我们不妨仍看上述案例，继续设计，如下：

    师：弧长等于半径（r）双倍的圆心角的弧度数，应是多大？弧长等于三倍半径、k倍半径呢？长度为l的弧，其弧度数该如何计算？

    （积极引导学生探究确定：公式α=l/r可表示正角的弧度数，而如果考虑了角的旋转方向，任何一条弧均对应正、负两个角。故弧长l、半径r、圆心角α三者之间的关系是|α|=l/r。）

    师：1弧度的角是否等于1°呢？

    生：不等，1°和1rad是两个不同大小的角。

    师：那为了不出现混乱，当用角度制表示角时，同学们记得一定要加上符号“ ° ”。同时，由于周角的弧度数是2π，而在角度制下为360°，请大家思考：1°和1rad可以如何换算？

    生：由于360°=2πrad，所以180°=πrad，也即1°=π/180rad。若角度化弧度，則是1rad=（180/π）°[3]

    这一教学设计中，教师逐渐加深难度提出问题，引导学生思维逐渐深入，类似于苏格拉底的“产婆术”。学生在教师的引导下，慢慢熟悉概念，并从概念的字面意思逐渐深入到概念的内核，在探索和发现中找到思维的乐趣，并最终对概念完成了有效建模。

    四、拓展概念外延，实现“概念挖掘”

    概念的外延主要表示概念所指称的范围。学生每学习一个新概念，就会对旧概念进行更新与调整。众所周知，数学概念具有高度抽象性和概括性。这对学生深度理解数学概念构成了不小的挑战，许多情况下，一个数学概念的学习很难一次完成，这需要数学教师提供不同领域的知识做背景，引导学生深入探究，或把数学概念分割成若干层级，分层级进行教学，帮助学生理解。比如，教学“弧度制”中的弧长公式时，教师若直接传授概念，学生通过加强记忆和反复训练，也可以在一定程度上理解该概念，但效果不佳。而且这种理解是浅层的，学生缺少利用已有的知识重构“弧长公式”的过程，学生不能把这一概念纳入自己已有的认知结构中完成同化或顺应，这种非意义学习容易随着时间的消逝而遗忘。所以，教师在教学中可以借助角度制下的弧长公式和扇形面积公式，再结合弧度制的概念，以“弧度”换算公式中的“角度”，通过知识的迁移，突破概念的外延，实现对弧度概念的深度挖掘，学生也易于理解与接受。

    《普通高中数学课程标准（实验）》正式提出了数学教师须落实“四基”——基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，促进学生关键能力的发展与完善。毋庸讳言，概念教学就是“四基”教学的重要组成，教师应以此为基础，在教学中把新概念与学生已有知识产生有机联系，实现学生的有意义学习，培养其发现和解决数学问题的基本思维和方法，引导其认识数学的学科思想和本质，最终实现学生的全面健康成长。

    参考文献：

    [1] 教育部基础教育课程教材专家委员会.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：99.

    [2] 徐明.如何进行初中数学概念的教学[J].考试周刊，2013（63）：81.

    [3] 胡慧敏.弧度制第一课[J].数学通报，2009（1）：32-33.

    （责任编辑：夏豪杰）