连接界面迟滞非线性特征的动力学分析
王东 范宣华
摘要：连接界面上多物理场、非线性等力学行为是引起复杂结构动力学的主要原因，会引起结构的刚度软化和幅变阻尼。利用Iwan模型描述连接界面黏滑摩擦行为引起的迟滞非线性特征，采用数值积分获得连接结构非线性力学行为影响的传递特征，将绝对加速度的传递特征转化为相对加速度的幅频和相频特征，进而辨识出连接结构随频率变化的等效刚度和阻尼特征，并且研究了不同激励幅值对连接界面非线性动力学行为的影响。结果表明：Iwan模型能够较好地描述连接面的刚度软化和幅变阻尼特征，随着激励幅值的增加，连接界面的动力学行为由微观黏着控制逐渐转化为宏观滑移控制，等效刚度逐渐下降，表现为结构刚度的非线性软化特征;等效阻尼在微观滑移阶段逐渐增加，但在宏观滑移阶段却有所下降，表现为幅变阻尼的特征。
关键词：连接界面;迟滞非线性特征;黏滑摩擦;Iwan模型;软化刚度
中图分類号：T H113.1;0322
文献标志码：A
文章编号：1004-4523 （2019） 06-1060-07
DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 015
引言
连接广泛地应用于各类复杂的机械结构中，界面上复杂的接触机理是造成结构复杂非线性动力学行为的主要原因[12]。由于整体装配结构中连接界面局部非线性环节的存在，直接进行复杂装配结构的非线性动力学分析还存在很大困难。振动环境下，连接界面在法向可能出现接触、分离和碰撞等行为;在切向可能存在摩擦、黏着和滑动等行为[3]。
研究者们通过试验和理论研究发现接触面存在单位周期能量耗散一激励力幅值的幂级数关系以及激励力一位移非线性软化刚度特性等典型的非线性行为[1，4-5]。Chen等通过二维直板模型的精细有限元仿真，得出了位移和激励力的非线性软化刚度特性，并且得出整个接触面上相对位移随着切向激励幅值变化的规律，说明了接触面上微观滑移发生的过程[6]。Gaul等通过试验验证了激励力一位移的非线性软化刚度特征，发现随着切向载荷增大，界面逐步从微观滑移进入部分滑移状态，当切向载荷达到临界滑动载荷时，界面整体发生相对滑动[7]。Mindlin最早理论分析了弹性体接触时在切向存在的微观滑移行为，推导了切向力和单位周期能量耗散的表达式，并设计试验进行验证，得出切向力幅值和单位周期能量耗散的立方关系[8]。Hartwigsen等发现单位周期能量耗散和切向激励力幅值不是立方关系，而是介于2-3之间的幂级数[9]。Sandia实验室通过螺栓试验最后确定幂级数的范围为2.5—2.9[1，10—11]。
基于唯象模型的建模方法是从宏观力学现象出发，采用系统辨识理论和方法推导出的力学模型[12-13]。其着重在利用确定的数学模型复现连接界面的典型非线性特征，如Iwan弹簧滑块、Lugre毛刷模型、Valanis模型等[11，14-15]。其中，Iwan模型能够较好地描述连接界面的黏滑过程，且模型参数具有一定的物理意义，因而被广泛的应用[16-18。Iwan模型是采用若干个由弹簧和滑块组成的Jenkins单元串联或并联组成弹簧滑块系统，然后引入概率密度函数描述单元临界滑移力的分布特性，进而根据准静态受力平衡关系导出降阶的描述界面载荷和相对位移的本构关系[19-20]。Segalman采用幂函数描述Iwan模型滑块临界滑移力分布，提出了一种描述连接界面黏滑行为的4参数模型[21]。Song等对Iwan模型并联一弹簧，用来描述连接界面发生宏观滑移之后的剩余刚度，提出一种修正的Iwan模型，进而建立一种可以直接应用到连接梁结构的有限元仿真程序中的连接梁单元[22-23]。李一堃等提出一种6参数Iwan模型描述连接界面剩余刚度和能量耗散的非线性特征[24-25]。王东等提出了一种改进的Iwan 4参数模型，能够统一Segalman和Song模型描述连接界面典型非线性特征[26-27]。
本文针对连接界面的黏滑摩擦行为，采用Iwan模型描述其典型的迟滞非线性特征，建立含有局部非线性连接的动力学方程。利用数值积分获得非线性动力学行为影响的基础激励载荷作用的传递特征，将绝对加速度响应的传递特征转化为相对加速度的幅频和相频特征，进而辨识出连接结构频率相关的等效刚度和阻尼特征，并且研究了不同激励幅值对连接界面非线性动力学行为的影响。
1 等效动力学特征辨识
利用谐波激励扫频实验获得在给定激励载荷下结构的传递特性，基础激励载荷控制的结构动力学方程可表示为
My+Cy+Ky=-Mx6
（1）式中 M，C，K分别质量、阻尼、刚度矩阵。y为相对于基础激励的位移响应，y=x -xb0Xb为基础激励位移，x为绝对位移响应。
采用模态叠加法将物理坐标系下的运动方程进行模态坐标变换，利用模态振型对式（1）进行解耦，其中系统的阻尼为比例阻尼，转换成模态坐标系下一系列单自由度运动方程[28]
式中 η为模态坐标下相对位移响应。ξ为模态阻尼，ω为模态频率。γ为模态参与因子，γ=-φTM。φ为矩阵（K/M）的特征向量。
考虑结构中非线性动力学行为的影响，式（2）中模态阻尼、频率往往是随着激励频率、幅值变化的。可以采用拟线性动力学系统分析方法在各频率点进行等效。按照线性系统的处理方法，在给定基础谐波激励xb的作用下，稳态响应η可以表示为
ηj=γ jHj（ω）xb
（3）式中 Hj（ω）为j阶传递函数，定义为
利用模态叠加法，可以得到原物理坐标系下的稳态响应为
y=φ η （5）
原物理坐标下自由度k的绝对加速度可表示为
xk=yk+xb
（6）
基础输入激励载荷自由度j与输出响应自由度k之间的传递特性函数Gk-j（ω）可表示为
Gk-j（ω）=φkφTjHj+1
（7）
将式（4）带入式（7），传递函数的幅频和相频特征可以表示为
对于式（8）和（9），在每个频率状态需要求解一含有（ωjξj）的2阶方程组，包括4组解，直接求解频率相关的刚度和阻尼特征比较困难。本文采用与基础激励载荷和相对加速度之间的传递特征辨识频率相关的刚度和阻尼特征，定义为
将式（11）带入式（10），频率相关的刚度特征ωj可表示为
由式（12）可知，对于给定的幅频和相频特征，其刚度解存在两种情况。根据式（11）的正负值判别ωi与所求ω的关系，所获得的频率相关的刚度特征可以表示为
将式（13）带入到式（11），频率相关的阻尼特征ξi可表示为
对于式（14），當ωi=ω时，t anβ将趋近于无穷大，造成（O×∞）的结果，无法求解出确定的阻尼特征。因此，利用式（10）进行直接求解，阻尼特征可以表示为
在实验扫频获得传递特性时，无法直接获得相对加速度与基础激励之间的传递特征，但可以通过绝对加速度的传递特性进行转换。在频域分析中，绝对加速度的传递特征可以表示为
相对加速度和基础激励之间的幅频和相频特征可以表示为：
将式（17），（18）带入式（13），（14），（15）可以获得激励相关的刚度和阻尼特征{ωj，ξj}。式中 g表示基础激励载荷输入的幅值。夕表示其他边界和几何非线性的贡献。
如图1所示，二自由度弹簧振子模型用来描述频率相关的刚度和阻尼特征的辨识过程，其动力学方程为式中 m为运动部分的质量，c joint为频率相关的阻尼系数，kjoint为频率相关的刚度系数，xa为运动部分的位移响应，Xb为基础激励载荷控制的位移。对以上动力学方程进行正则化处理式中
随机分布函数用来表示与激励相关的刚度和阻尼特征，频率和阻尼的上下限分别为0. 75-1. 25和0. 15-0. 25。
由式（22）中刚度和阻尼计算传递函数的幅频和相频特征，如图2所示，均值（（t）joint=1，ξjoint=0.2）的结果作为比较也绘在其中。利用式（17），（18）将绝对加速度的传递函数转换为相对加速度的传递函数，并利用式（13），（14），（15）辨识频率相关的刚度和阻尼特征，流程如图3所示，辨识结果如图4所示。结果表明，辨识的结果与给定的刚度和阻尼参数完全吻合，从而验证了辨识过程的正确性。
2 连接界面非线性模型
连接界面在法向和切向载荷联合作用下，由于接触压力沿接触表面分布的不均匀性，在接触区域形成滑移和黏着区域两部分，如图5（a）所示。由于这些黏滑摩擦行为，连接界面上将出现力一位移的迟滞非线性，表现为结构的非线性软化刚度和幅变阻尼。
王东等[26-27]利用Iwan模型描述连接界面典型非线性特征，如图5（b）所示。x，q分别为界面的相对位移和临界滑移力，7为Jenkins单元的数目。连接界面的柔性采用Iwan模型进行描述。
在单向加载时，连接界面恢复力的表达式为式中 fq为系统发生宏观滑移时对应的临界宏观滑移力，x为临界滑移力分布的幂指数，a为界面宏观滑移后的剩余刚度，k为微观黏着的刚度贡献。
在周期性载荷作用下，由黏着和滑移行为引起的非线性恢复力可分为加载和卸载过程，如图6所示。式中 x0为加载激励幅值F0对应的相对位移，定义为
3 结构动力学分析
典型搭接结构在法向预紧和切向周期性载荷联合作用下，采用Iwan模型描述连接界面黏滑摩擦行为引起的迟滞非线性，其动力学方程表示为式中 fIwan表示Iwan模型循环加载过程中的非线性恢复力，a为激励力幅值，w为激励角频率。
将式（23）-（25）带人式（27），抽离非线性恢复力中的线性项（akx），式（27）可表示为式中 ε为线性恢复力和非线性恢复力权系数，介于O至1之间，当e取1时，系统将退化为线性系统。
对式（28）运动学方程进行正则化处理，两边同时乘以（k/mfq），可得式中
令x=kx/fq，式（23）正则化的非线性恢复力为 将式（30）代入到式（29），可得式中正则化的迟滞恢复力为式中 fo为周期激励作用过程中正则化的最大恢复力，x0为正则化的最大位移响应。
对于式（ 32），f0的最大值为1，当
时，fu/l≤1，满足宏观滑移前的条件。但是如果激励幅值较大，结构最大位移响应将大于1，导致
，那么式（32）将不再适
用，此时的迟滞恢复力为
4 结果与讨论
根据以上的推导过程，采用数值积分方法（RK四阶）获得非线性系统的绝对加速度响应的传递特征，再转化为相对加速度的相频和幅频特征，辨识出频率相关的刚度和阻尼特征。仿真参数取作：ω0=1，ξ=0.0 1，ε=0.2，γ=O，f0=1，x0=1。激励角频率范围为0. 8-1.2;正则化的激励幅值为0.Ol/0. 02/0. 04/0. 08/0. 2/0. 5/1.O。获得的相对加速度响应的幅频和相频特征如图7所示。
由图7可知，随着激励载荷幅值的增加，幅频特征函数最大值对应的“共振频率”逐渐减小，从而表现出刚度的软化特征，但其峰值却先减小再增加。计算相对位移响应的频响曲线，结果如图8所示。
由图8可知，随着激励幅值的增加，相对位移响应的最大值逐渐增加。由式（30）和（32）可知，当相对位移小于1时，搭接界面只发生黏着行为;当相对位移大于1时，界面将发生宏观滑移。因此，当激励载荷幅值不大于0. 08时，连接结构的传递特性主要受黏着行为的影响;当激励幅值大于0.5时，传递特征主要受宏观滑移行为的影响;介于0. 08与0.5之间的传递特性由黏着和滑移行为共同影响，同时受到激励频率的影响。根据仿真获得的幅频和相频特征辨识出与频率相关的等效刚度和阻尼特征，结果如图9所示。
由图9可知，在整个激励频率范围内，随着激励幅值的增加，所辨识出的与频率相关的刚度逐渐下降（1. 05降至0.9），与黏着和滑移行为的影响无关。对于所辨识出的与频率相关的阻尼，在黏着行为影响下（a 0.5）却有所降低，从而表现为幅变的阻尼特征。
由图9所辨识出的与激励幅值、激励频率相关的等效刚度、阻尼特征可知，Iwan模型能够较好地描述连接界面黏着和滑移行为引起的刚度软化和幅变阻尼特征，并且体现黏着和滑移行为的影响。
5 结 论
本文利用Iwan模型描述连接界面的典型迟滞非线性特征，将基础激励的绝对加速度响应的传递特征转化为相对加速度的幅频和相频特征，从而辨识出非线性行为影响的刚度和阻尼特征。结果表明：
（1） Iwan模型能够较好地描述连接界面黏着和滑移行为引起的刚度软化和幅变阻尼特征，所辨识出的与激励频率、幅值相关的刚度、阻尼特征能够揭示非线性动力学行为的影响。
（2）随着激励幅值的增加，刚度逐渐减小，与黏着和滑移行为无关，表现为非线性软化刚度特征;而阻尼在黏着阶段逐渐增加，在滑移阶段却有所减少，同时受到激励频率的影响，表现为幅变阻尼的特征。
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