多分辨奇异值分解在滚动轴承振动信号解调分析中的应用

    罗洁思 张绍辉 李叶妮

    

    

    

    摘要：针对滚动轴承在自身谐振干扰及强背景噪声影响下，滚动轴承损伤时引起调制现象难以检测的问题，提出基于多分辨奇异值分解（Multi-resolution Singular Value Decomposition，MRSVD）的包络解调方法。该方法首先采用MRSVD方法将振动信号逐层分解获得具有不同分辨率的近似信号和细节信号，经理论分析得到的第一个细节信号主要成分为噪声，且最后一个近似信号主要成分为谐波干扰。进一步结合峭度指标从其他细节信号（第一个细节信号除外）中提取其中隐藏的周期性冲击信号，根据周期性冲击信号的包络解调谱进行轴承故障的诊断。仿真分析和应用实例证明了该方法的有效性。

    关键词：故障诊断;滚动轴承;多分辨奇异值分解;信噪比;解调分析

    中图分类号：TH165+.3;TH13 3.3;TN911.7

    文献标志码：A

    文章编号：1004-4523 （2019） 06-1114-07

    DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 021

    引言

    当滚动轴承的内圈、外圈或滚动体有损伤时，随着轴承的周期性旋转，损伤表面与其他元件表面在接触过程中会发生周期性脉动冲击，激起内、外圈的固有频率振动[1-2]，其振动信号中往往出现周期性的瞬态冲击信号，形成调制现象，频谱上表现为固有频率两侧出现等间隔的调制边频带[1，3]。因此，对轴承故障振动信号中的周期性冲击成分进行提取和解调，根据解调谱的强度和频次判断轴承损伤程度和部位是轴承故障诊断广泛使用的一种方法[3-4]。

    各种信号处理方法已被用于从轴承故障振动信号中提取故障特征信息，如EMD[5]、小波分析（WT）[6]、及它们的各种改进算法[7-10]、稀疏分解[11-12]、流行学习[13]、谱峭度[14]、包络分析[15-19]等。上述方法从时域、频域、或时一频联合域检测由轴承故障引起的周期性冲击特征表现出的调制现象。然而，在故障诊断的初期阶段，故障特征较微弱，加之环境噪声和系统固有谐波振动的影响，使得共振带内的周期性冲击振动并不明显，上述方法的有效性也大打折扣。因此，有些学者研究采用信号预处理的方法从轴承故障振动信号中去除噪声和谐波振动干扰，提取共振带内与故障有关的周期性冲击特征[19-23]。目前，大多采用基于频率的信号预处理方法，即试图将噪声、谐波振动、周期性的冲击振动分解到不同的频带。事实上，噪声分布频带较广，共振频带也存在噪声干扰，谐波振动与周期性冲击振动也并不一定是频域可分的。

    鉴于噪声、谐波振动、周期性冲击振动在奇异值分解后有不同的奇异值特征，本文将新近提出的一种信号处理方法——多分辨率奇异值分解方法（MRSVD） [24]用于轴承故障振动信号的预处理，从奇异值角度将噪声与谐波振动干扰从轴承故障振动信号中去除，可解决上述预处理方法遇到的频率不可分问题。本文第二部分的理论分析表明：若对包含噪声、谐波振动、周期性冲击振动的轴承故障振动信号进行多分辨率奇异值分解，分解结果的第一个细节信号主要成分为噪声，最后一个近似信号的主要成分为谐波振动。

    因此，本文采用MRSVD方法对滚动轴承振动信号进行预处理，拟去除其中的背景噪声信号和谐波干扰信号，并结合峭度（ Kurtosis）指标从其他（除第一个细节信号外的）细节信号中提取振动信号所包含与故障有关的的周期性冲击成分，最后根据周期性冲击成分的Hilbert解调谱进行滚动轴承的故障诊断。仿真分析和应用实例表明该方法能在强背景噪声及谐波振动干扰的影响下有效提取轴承故障引起的周期性冲击成分，凸显故障特征。

    1 多分辨奇异值分解

    MRSVD是在奇异值分解的基础上，结合矩阵二分递推结构原理，参考小波多分辨率分析思想，将信号分解到不同层次子空间的一种信号分解方法。该算法的具体步骤如下：

    （1）对待分析信号A0=（x1，x2，…，xN），構造行数为 2 的 Hankel 矩 阵 H0 =

    （2）对矩阵H0进行奇异值分解，可以得到且只能得到两个奇异值，分别记为σ1，σ2，其中σ1>σ2。从σ1，σ2分别可得到两个信号分量，记为A1，D1。这两个分量信号A1，D1对原始信号的贡献量是有轻重之分的，其中A1较D1对原信号的贡献量大，是信号的主要成分，它反映了此次分解时从原始信号获取的主要概貌，类似于小波分析中的近似信号，称其为SVD近似信号，D1则反映此次分解时从原信号获取的细枝末节，这类似于小波分析中的细节信号，称其为SVD细节信号。

    保留细节信号D1，对近似信号A1继续构造行数为2的Hankel矩阵Hi，进行下一层次的奇异值分解，如此逐层递推就可以得到一系列SVD细节信号和近似信号。

    信号的MRSVD分解过程如图1所示。

    2 MRSVD在滚动轴承故障诊断中的应用研究

    2.1 MRSVD的消噪与抗谐波干扰原理分析

    滚动轴承振动信号通常包含三种信号分量，即由故障引起的周期性冲击信号，由设备自身振动产生的谐振信号以及背景噪声信号。假设采集得到的滚动轴承振动信号为x（i）。x（i）可以表达为

    x（i）=S（i）+n（i）+h（i），i=1，2，…，N（1）式中 s（i）为周期性冲击信号，n（i）为背景噪声信号，h（i）为谐振信号，N为信号长度。

    根据式（1），信号x（i）构造的Hankerl矩阵H可以表示为

    H=Hs+Hn+Hh

    （2）式中 Hs，Hn，Hh分别为信号S（i），n（i），h（i）构造的Hankerl矩阵。在MRSVD中，Hankerl矩阵的行数为2，其特点为：下一行矢量比上一行矢量仅仅滞后一个数据点。下面分别对这三类信号的Han-kerl矩阵奇异值分解进行分析：

    （1）对于谐振信号h（i）而言，它所构造的Han-kerl矩阵两行将高度相关，矩阵的秩为1，若Hh奇异值分解后得到两个奇异值为σ=（Hs）=（σs，ξ），则有ξ为一很小的正数，且σs》ξ。即谐振信号h（i）的能量主要被分配至第一个奇异值中，只有很微小的一部分被分配到第二个奇异值中。

    （2）对于噪声信号n（i）而言，其自相关函数为Rn（τ）=d2δ（τ），其中d为n（i）的标准差，δ（T）为单位脉冲函数。对于噪声信号n（i）所构造的Hankerl矩阵而言，尽管相邻两个行矢量同样只滞后一位，但是它们根本不会相关，矩阵的秩为2，它的两个奇异值接近相等，可表示为σ（Hn）=（σn，σn）。

    （3）对周期性冲击信号S（i）而言，它所构造的Hankerl矩阵两行具有一定的相关性，但相关程度次于谐振信号h（i），记Hh奇异值分解后得到的两个奇异值为σ（Hh）=（σhb，σhs），其中σhb为两个奇异值中的大者，σhs为两个奇异值中的小者。

    综合以上分析，对信号x（i）所构造的奇异值矩阵H，其奇异值矢量满足下式

    σ（H）≤σ（Hs）+σ（Hn）+σ（Hh）=

    （σs+σn+ σhb，ξ十σn+σhs）

    （3）

    实际上，由于奇异值矩阵H的行数很小，近似有σ（H）≈（σs+σn+σhb，ξ十σn+σhs）。近似信号和细节信号的能量与其奇异值的平方呈正比，从式（3）可知，MRSVD第一次分解获得的细节信号Di对应的奇异值为ξ十σn+σhs，其成分主要为噪声信号和小部分的周期性冲击信号，且D1包含的噪声信号的总能量占x（i）所包含的噪声总能量的一半。近似信号A1对应的奇异值为σs+σn+σhb，与信号x（i） 一样，近似信号A1包含了噪声成分、谐振成分和周期性冲击成分，对其做进一步的分解，得到下一层次的细节信号D2，D2同样包含了噪声信号（D2包含的噪声信号的总能量占Ai所包含的噪声总能量的一半）和小部分的周期性冲击信号，逐层分解得到的下一层细节信号的噪声能量将比上一层细节信号的噪声能量减少一半，即Dj较Dj-1具有更高的信噪比，其周期性的冲击成分将慢慢凸显。由于每次分解谐振信号都只有非常微小的能量（ξ2/（σs十ξ）2→0）被分解到细节信号中，因此对谐振信号h（i）而言，它的大部分能量将被保留在最后一层近似信号中。

    综合上述分析，对强背景噪声影响下的滚动轴承信号而言，其分解得到的第一个细节信号D1主要为噪声信号，其峭度系数大约为3，随着分解层次的深入，细节信号所包含的噪声成分逐层减小，周期性冲击成分逐层增加，因此峭度系数会随着层数的增加而增大，当峭度系数达到某个最大值后，又将随着分解层数的增加而减少，这是因为残余的近似信号中包含的周期性冲击成分也在逐层减小，这将在仿真分析中得到证实。

    本文结合峭度指标，从MRSVD分解得到的细节信号中选取峭度值最大的几个进行和运算，则和信号的成分主要是与故障相关的周期性冲击振动信号，若对该和信号进行Hilbert解调，即可从解调谱上对轴承故障进行诊断。

    2.2MRSVD的分解层数的确定

    由2.1节的分析可知：MRSVD的分解层数太少，得到的细节信号将包含有较多的噪聲干扰。然而分解层数也不是越多越好，分解层数多计算量也将增大，与滚动轴承故障诊断的实时性要求不符;且分解层数过多，分解结果将出现伪信号。因此本文中MRSVD的分解层数在分解过程中自适应获取，当细节信号的峭度值达到最大，即当前近似信号若继续分解得到的下一层细节信号的峭度值出现下降趋势时，分解层数则确定为当前分解层数加5即可。

    3 仿真分析

    为了验证基于MRSVD的包络解调方法的有效性，下式所示的数学模型将被用于模拟滚动轴承故障振动信号[11]。式中 n（t）为噪声信号，采用Matlab函数awgn.m进行添加;h（t）为谐波干扰信号，其包含N个谐波信号，且第j个谐波信号的幅值和频率分别为Bj，fj。由故障引起的周期性冲击信号共包含2M+1个冲击，式（4）中Am为第r个冲击的幅值，β为由结构阻尼引起的衰减系数，Tp为与故障特征频率相对应的时间周期，即故障特征频率fe= l/Tp，u（t）为单位冲击函数，ωr为激励频率，τi为第i个均值为零，方差介于（0. Ol Tp，0.02Tp）的随机变量，此变量是由滚子随机滑移引起的。表1和2列出了式（4）中信号s（t），h（t）所涉及参数的取值。

    设置采样频率为20000 Hz，采样点数为20000，对其进行数字化采样，添加噪声使得信噪比为-6dB，得到离散信号的时域波形及其Hilbert包络解调谱分别如图2（a），（b）所示。由于噪声和谐振干扰的影响从图2（a）无法判断滚动轴承故障，图2（b）所示的Hilbert解调谱将不包含故障信息的谐波信号以其各谐振分量的频率之差作为解调信号而解出，而实际故障特征频率在图2（b）中并未凸显。

    对图2所示的仿真信号及其包含的周期性冲击分量、噪声分量、谐振分量分别构造行数为2的Hankerl矩阵，记为H，Hs，Hn，Hh，分别对H，Hs，Hn，Hh进行奇异值分解，各自得到的两个奇异值如表3所示。表3所示的数值结果与本文2.1节中对3类信号（周期性冲击信号、噪声信号、谐振信号）的奇异值分析是相吻合的，即谐波信号的分解得到的两个奇异值相差较大，噪声信号分解得到的两个奇异值数值大小接近相等，周期性冲击冲击信号分解得到的奇异值存在大小之分，但两者差值既不会太大，也不会接近于零。

    对图2所示的仿真信号进行MRSVD分解，设置分解层数为15，得到的各层细节信号对应的奇异值及其峭度系数分别如图3（a），（b）所示。由图3（a）可见，前几个细节信号的奇异值下降速度较快，这是因为开始时噪声的去除比较迅速，之后随着层数的增加细节信号的奇异值下降变得越来越平缓，这表明噪声的去除随着分解层数的增加而变得缓慢。如图3（b）所示，第一个细节信号由于包含了大量的噪声，其峭度系数接近等于3。之后随着分解层数的增加，峭度值也在增加，这是因为细节信号所包含的噪声成分逐层减小，周期性冲击成分逐层增加。在分解层数为5时，细节信号的峭度值达到最大，之后峭度值又将随着分解层数的增加而减少，这是因为残余的近似信号中包含的周期性冲击成分在逐层减小。因此，本文2.1节中对细节信号的峭度值分析结论在图3（b）中得到验证。

    图4为仿真信号MRSVD分解得到的第一层细节信号的时域、频域波形图，图4信号主要成分为噪声信号。因此，频谱图上看不出任何凸显的频率。图5为仿真信号MRSVD分解得到的最后一层近似信号的时域、频域波形图。正如本文2.1节所言“谐振信号的大部分能量将被保留在最后一层近似信号中”，因此图5（b）中凸显的频率为谐波频率fi，f2，f3。

    从仿真信号MRSVD分解得到细节信号中选取峭度值最大的5个进行和运算，其和信号的时域波形及其Hilbert包络解调谱如图6（a），（b）所示。图6（a）所示信号主要成分为与故障有关的周期性冲击振动信号，对其进行Hilbert解调，可凸显故障特征频率，因此从图6（b）可明显地看到故障特征频率及其倍频。

    结合2.2节及图3（b），MRSVD分解层数只需设置为1 0即可。

    4 实测信号分析

    为了验证MRSVD在实际应用中的有效性，从如图7所示的实验台上采集外圈故障滚动轴承振动信号，其中轴承的相关参数如表4所示，表4中BPFO （ballpass frequency，outer race）和fr分别表示外圈故障特征频率、转轴旋转频率。由于实际轴承振动信号通常混有噪声和谐波干扰，为了模拟更真实的工况，采用图7所示转盘来引入谐振成分，即利用转盘的不平衡引起频率为转轴旋转频率fr的谐振信号。实验测试时，断开传感器信号调节器的连接，使得测试信号未经过滤波与放大，含有更多的噪声成分，并且测试信号还包含了频率为电力线频率（60 Hz）的谐波干扰信号。

    设置采样频率为20 kHz，采用点数为2 0000，转轴旋转速度为1440 r/min，则有fr=24 Hz，BPFO一85. 728 Hz，采集得到的含有噪声及谐振干扰的振动信号的时域波形及Hilbert包络解调谱分别如图8（a），（b）所示。对图8（b）缩小其坐标轴的显示区间，得到图9所示的细节图。从图9中能清楚地看到由于转子不平衡引起的谐振频率24 Hz及电力线频率60 Hz，但却无法看到轴承外圈故障特征频率。

    对图8（a）所示的实测信号进行MRSVD分解，取其分解结果中峭度值最大的5个细节信号求和信号，得到如图10 （a）所示的去噪声和谐波干扰后的周期性冲击振动，其Hibert包络解调谱如图10（b）所示，进一步缩小图10（b）中频谱的显示区间，得到图11所示的频谱图。从图11所示的频谱图上可以明显地看到轴承外圈故障特征频率及其倍频，进而判断轴承发生了外圈故障。

    5 结 论

    本文提出了一种基于MRSVD的包络解调方法，并将该方法应用于强背景噪声及谐波干扰影响下的滚动轴承振动信号的解调。仿真分析和应用实例均表明：该方法可从含有噪声和谐振成分的滚动轴承振动信号中提取与故障有关的周期性冲击振动，进而从解调谱上凸显故障特征频率。

    所提方法存在以下优点：（1）该方法根据噪声、谐波振动、周期性冲击振动在奇异值分解后表现出不同的奇异值特征去除滚动轴承振动信号中混有的噪声及谐波干扰，从而提取与故障有关的周期性冲击振动信号。因此，該方法与传统的基于频带滤波的共振解调方法不同，无需预先知道故障引起的共振频带信息，并可解决噪声、谐波振动、周期性冲击振动的频率不可分离问题;（2）该方法计算效率高，除了计算行数为2的矩阵奇异值分解外，该方法仅涉及矩阵的加、减运算。

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