一石激起千层浪

2022.10.29

赵桃芳

摘要：本教学案例是苏科版七年级下册第7章第5节《探索四边形内角和与外角和》的第二课时。在案例教学中使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归四边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。

关键词：多边形内角和定理; 教材; 转化; 激发; 数学思维

中图分类号：G633.6 ? ? ? ? ? 文献标识码：A ? 文章编号：1006-3315（2020）5-038-001

一、案例呈现

探索“四边形内角和”的教学，介绍如下：（以小组为单位展开探究活动）

提出问题：三角形的内角和为180°，那么四边形的内角和是四少度呢？

学生在学习探索四边形的内角和的时候，已学习了三角形内角和定理、三角形相关知识，在前面特殊四边形性质的探索过程中，也体会了转化思想在解题中的应用，所以具备了进一步学习的基础。随着几何知识学习的逐步深入，学生具备了一定的解决几何问题的方法，本节课需要用到图形转化，四边形内角和定理的探索，需要学生结合图形发现规律。所以在教学中教师引导学生推导四边形内角和公式的方法是将四边形分割为四个三角形，将四边形的内角和转化为我们所熟知的三角形内角和来解决。

探索活动：（先独立思考再小组合作交流完成）

学生交流：（组间交流，教师课件展示几种学生方法）

学生1：取四边形上任意一个顶点，连接除相邻的两点，则四边形的内角和可转化为三角形内角和之间的关系，即四边形ABCD的内角和等于2个三角形内角和之和：2×180°，从而四边形内角和为（4-2）×180°=2×180°，再列举其它四边形可以归纳总结出n边形内角和为（n-2）×180°。

学生2：在四边形内任意找一点O，连接各个点，则四边形的内角和可转化为三角形内角和之间的关系，即四边形ABCD的内角和等于4个三角形内角和减去一个周角的度数：4×180°-360°=4×180°-2×180°=（4-2）×180°，再列举其它多边形可以归纳总结出n边形内角和为（n-2）×180°。

学生3：在四边形的一条边上任意取一点P，连接这点与各顶点的线段，把四边形ABCD分成了3个三角形，所以此四边形的内角和等于三个三角形的内角和减去一个平角的度数，即：3×180°-180°=2×180°，归纳之后得到n边形的内角和为（n-2）×180°。

学生4：在四边形外取一点P（点P不在n边形任一边的延长线上），连接此点与各顶点，得到三个三角形（不含△CPD），所以此四边形的内角和等于五个三角形的内角和减去△CPD的内角和，即3×180°-180°=2×180°，归纳之后得到n边形的内角和为（n-2）×180°。

教师点评：在刚才的探索活动中，大家有不同的方法求四邊形的内角和，这些看似不同的方法有没有相似之处？综述学生的发现，不难发现，推导四边形的内角和公式，都是利用转化思想而得，即把四边形分成若干个三角形，从而将四边形问题转化为三角形问题来解决，这种思想对于学好数学是极为重要的，而且对学生理解及掌握知识有一定的帮助，有利于教师的教学和学生的学习。

学生交流：我们是把四边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出四边形内角和为360°，从而使问题得到解决。

教师小结：精彩，同学们把四边形内角和的问题“化归为三角形的内角和”，把四边形内角和也纳入到解决新情景的认知基础中，从而对“化归为已经解决问题”有所领悟。

二、案例反思

俗话说“一石激起千层浪”，对于这个简明而又富于启发性的案例，我有以下分析：

1.在教学中要挖掘教材的“石”，回归数学知识点的本质

本案例教师在引导学生讨论这“一题四解”的背后，抓住教材的“石”——“化归为三角形的内角和”，有助于学生把握四边形的基础知识，提高分析问题、解决问题的能力，培养思维的创造性和深刻性。

数学教学素材具有较强的知识性、典型性和可变性，通过对例题的挖掘和拓广，不仅可以得到一批“源于课本，而又高于课本”的好题，又能疏通知识之间的联系，而且对培养学生的思维品质，拓宽思路，提高整体教学水平具有十分重要的作用。因此在数学教学中，有目的有意识地引导学生将习题进行变换或拓广，将有助于开阔学生的解题思路。

2.通过针对性变式问题教学，激起学生数学思维的“千层浪”

通过针对性变式问题教学，给学生创设了猜测、推理的空间，让学生在数学学习中把相关的数学知识联系起来，真正让学生把数学学“活”起来。对教材的拓广和引申，通过这些拓广、变换，不仅让学生加深了对这道教材的理解，掌握了这—类问题的规律与内在联系，同时对减轻学生负担，从“题海”中解脱出来，让教师真正实现由“教教材”向“创造性地使用教材”的观念和行为的转变。

3.在教学中教师的启发引导有助于学生数学思维的形成

一节数学课能否达到满意的效果，教师的设问引导、启发激励学生进行思维是极为重要的一环。特别是学习行为习惯较差的初中学生，他们好动、注意力容易分散，如果让他们干巴巴地坐着听讲，即使教师上课讲得再精彩生动，他们也会开小差。在本案例中的学生讨论显化了数学内容和数学方法所隐含的本质思想——化归，如果没有这一提炼，学生的认识停留在“一题四解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段。因而教师应激起学生的数学思想方法的浪花是必要的。这应该是教师提炼数学实质内在要求。教师在组织、引导教学下，大部分学生就理解了“化归为三角形的内角和”，领悟“数学思想方法”不能单靠“内隐学习”，教师提供机会、设计平台很重要。

总之，教师通过一次次、一层层地，有兴趣、有意义、有思考价值地投“石”，激起学生数学思维的浪花。不仅在新的知识与学生基础之间架起了桥梁，而且活化了数学课堂，有效培养了学生的数学思维，提升课堂效率。