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利用二次函数巧解找规律题

范文

杨铭

中图分类号：G4? 文献标识码：A? 文章编号：（2020）-27-384

最近两年，全国多数地市的中招考试都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。那有没有一种方法既快速又准确地做出找规律的题目呢，下面就介绍利用二次函数巧做找规律题的方法。

例1：（2007年深圳中考）刘老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下

输入数据123456……输出数据1/22/73/144/235/346/47……? 那么，当输入的数据是7时，输出的数据是？。

大家可能一看这题，就能看出來输入7时，输出的数据分子肯定是7，分母可能经过7-2=5，14-7=7， 23-14=9，34-23=11……一下子就能找到规律，第7个的分母应该是62，所以答案是7/62。但是如果他问第1000个数字是什么？还用上面的方法那么这就不是一个很容易的事了。但如果大家用二次函数可以解出任意一个。

很简单，将x=1， y=2; x=2， y=7; x=3，y=14，代入y=-ax2+bx+c中很容易解到函数关系式为y=x2+2x-1。然后将x=1000代入就很容易得到第一千个数字的分母。

例2：观察图中正六边形网的变化规律：

（1）完成下表

正六边形网的圈数12345……小点总数……

（2）如果用n表示六边形网的圈数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么m和n的关系是什么？

这道题如果用观察、分析、归纳的办法来找规律就显得非常困难，因为在结果中n的次数是2次，下面我们就用二次函数来解，你会发现问题变得很容易下手，结论也易于得出。

解：

（1）填表

正六边形网的圈数12345……小点总数618366090……? （2）将x=l， y=6; x=2， y=18; x=3， y=36代入y=ax2+bx+c中得到函数解析式为y-3x2+3x即m=3n2+3n

例3：第九届希望杯全国数学邀请赛初一第1试（1998）第25题

将1，-1/2，1/3，-1/4，1/5，-1/6，……按一定规律排成下表：

第1行??????????? 1

第2行????????? -1/2??? 1/3

第3行?????? -1/4?? 1/5 -1/6

第4行 1/7?? -1/8???? 1/9? ?-1/10

第5行? 1/11 -1/12?? 1/13 -1/14? 1/15? 从表中可以看到，第4行中自左向右第3个数是1/9，第5行中自左向右第2个数-1/12。那么，第199行中自左向右第8数是？;第1998行中自左向右第11个数是？。

从题中不难发现每个分数分子都是1，且当分母为偶数时是负数，分母为奇数时是正数。然后寻找分母的规律，我们将每一行第一个分数的分母提出来1， 2，4， 7， 11……将x=1， y=1; x=2， y=2; x=3， y=4代入y=ax2+bx+c中得到函数解析式为y=1/2x2-1/2x+1，再将x=199带入解析式得y=19702，再加7得19709。因此，第一空答案为1/19709。第二空求出y之后加10得1995014，答案为-1/1995014。

掌握此种方法对解决类似的找规律题可取到事半功倍的效果。

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