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线性空间结构的研究途径

范文

赵云平

【摘要】本文从多个角度介绍了线性空间结构的研究途径，其结果对我们把握整个线性空间的结构是很有用的.

【关键词】线性空间;结构;角度;途径

高等代数一般包括两个部分：线性代数初步及多项式代数.而线性空间是线性代数的主要研究对象，也是线性代数最基本的概念之一，它是向量空间概念的抽象和推广，线性空间的知识在高等代数中处于核心地位.简单的说，线性空间就是这样一种集合，其中任意两个元素的和构成集合的另一个元素，任意元素与任意数相乘后得到集合的另一个元素.线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，内涵极其丰富.它是数域上的一个特殊的代数系统，有着许多特殊的结构和性質，这些结构和性质是一般代数系统没有的，因此深入研究线性空间的结构很有必要.

1 从基的角度

线性空间的基是线性空间的一个基本属性，是我们认识线性空间的一个重要信息.如何把线性空间的全体元素表示出来？线性空间的构造如何？借用几何的语言，把线性空间元素叫作向量，而向量有加法运算和数量乘法运算，由此引出了基的概念.

定义1 设V是数域K上的线性空间，V中的向量组α1，α2，…，αr如果满足下述两个条件：

①α1，α2，…，αr线性无关;

②V中的每一个向量都可由α1，α2，…，αr线性表出，则称α1，α2，…，αr是V的一个基.

有了基的概念之后，利用基，只要求出线性空间的一个基，那么线性空间V中的每一个向量都可以由这个基线性表示出，而且表示方法是唯一的，因为V中的每一个向量都清楚了，因此整个线性空间的结构就把握了.

例如，向量组e1=100，e2=010，e3=001是K3的一个基，则K3中任何一个向量都可由它线性表出，若α=3-25，则α=3e1-2e2+5e3.n维线性空间V的基是不唯一的，V中任意n个线性无关的向量都是V的一组基;任意两组基向量是等价的，就是两个向量组可以相互线性表出，即第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一个向量组的向量的线性组合.

不仅如此，基的概念还解决了线性方程组有无解的判定及解集的结构问题.

2 从子空间的角度

在许多问题中，我们所研究的线性空间往往由某个更大的线性空间的一个适当大小的非空子集构成，即所谓的子空间.线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是很重要的.线性子空间是线性空间这一抽象概念生发出的重要知识点.

子空间有两种运算，一个是子空间的交，一个是子空间的和，和里面的一种重要的特殊类型叫作直和.线性子空间的直和是线性子空间之间的一种特殊运算，直和是一种要求更高的和，子空间的直和是子空间和的一种强调形式.当我们对元素分解不唯一时，有些问题不好处理，因此引出直和的概念.直和的意义在于每一个元素分解的唯一性.

上述定义、定理表明，如果线性空间V等于它的子空间V1，V2，…，Vm的直和，那么V的每一个向量就可以表示成V1的一个向量加V2的一个向量……加Vm的一个向量，这种表示方法是唯一的，并且V1的一个基、V2的一个基……Vm的一个基合（并）起来就是整个空间V的一个基.也就告诉我们，如果能把整个线性空间做直和分解，把可能很大的线性空间分解成若干比较小的或特殊的子空间，那么线性空间V的结构就通过它的子空间的结构构建起来，因为小的子空间的基比较容易找，把它们合起来就是整个线性空间的基，而且线性空间V的每个向量表示成这些子空间向量的和，且表示方法唯一.实际上，每一个有限维线性空间都有直和分解，又因为线性空间的基不唯一，所以线性空间的直和分解也不唯一.

例如，过点O的平面V1与过点O的直线V2，这两个子空间也有和，即V1+V2=V，V1和V2的和就等于整个几何空间，而V1+V2中的每个向量α可唯一分解成α1+α2，其中α1∈V1，α2∈V2（也就说以α为对角线的平行四边形有且仅有一个）.可见整个几何空间可以做直和分解，那么整个几何空间的结构自然就清楚了.线性空间的直和分解思想是研究线性空间结构的核心工具，将线性空间分解为其子空间的直和是一种重要的研究途径.

3 从同构的角度

同构是高等代数中的一个重要工具.同构概念是对于线性空间而言的，是描述不同对象集合之间结构相同的数学概念，借助同构思想可以让复杂问题简单化.线性空间的同构就是将数域K上所有线性空间进行分类，把本质上有相同结构的线性空间归为一类，在这一类中挑选一个比较简单的具体的线性空间来研究它的性质，则跟它同一类的其他线性空间也有同样的性质.利用同构概念可以对性质相同的一类线性空间进行整体研究，可以由此知彼，减少工作量，为研究线性空间结构提供新的途径.

同一个数域K上的两个线性空间本质上有相同的结构，从集合的角度来讲，就是它们元素之间有一个双射，这是起码的条件，有了双射还远远不够，因为线性空间有加法、数量乘法两种运算，所以还要求σ保持加法，保持数量乘法.这里有一个重要的充要条件，同一数域上两个有限维线性空间同构当且仅当维数相等，说明维数相等一定同构，维数不等一定不同构.

同构的意义在于，在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质.从这个意义上说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.维数相同的各线性空间的差异仅在于它们向量的表现形式有所不同，而这种向量表现形式的不同对线性空间结构来说没有任何实质性的影响.这样，我们就可以利用线性空间的同构把数域K上的所有线性空间进行分类来研究线性空间的结构.

例如，数域K上的任一个n维线性空间V与Kn是同构的.可见同构类完全被维数决定，维数相同的正好在一个类里面，有0维、1维……n维，也就是自然数组成的集合与线性空间的同构类组成的集合建立了一一对应的关系，自然数0对应0维同构类……这个同构类能被自然数决定，有一个自然数就有一个同构类，整个线性空间被维数分得如此干净利落.如果要研究n维线性空间V的结构，那就找它的代表Kn去研究，Kn的结构清楚了，那么n维线性空间V的结构自然就清楚了，因为维数相同的线性空间在一个同构类里面，它们有相同的性质.同构的线性空间有着紧密的联系，结构相同，并且由一个线性空间的性质可以推得与之同构的另一个线性空间的很多性质.这就是研究线性空间结构的第三条途径——线性空间的同构.

4 从商空间的角度

为了方便研究线性空间V的结构，给出V的一个划分，即在V中建立一个二元关系（是一个等价关系），此时，所有等价类（V的一个子集）组成的集合给出了V的一个划分，把一个等价类看成一个元素，从而引出商空间的概念.

定理3表明，只要知道商空间是有限维的，而且知道它的一个基，那么把基里面的陪集代表生成一个子空间U，那V就可以做这样的直和分解，等于子空间W和这个U的直和.这就体现了用商空间研究线性空间的结构，有一个直和分解，那V的结构就比较清楚了.在这里V和W没说是有限维的，因此这个定理中的V和W可以是有限维，也可以是无限维，但是要求商空间V/W是有限维.

5 结语

本文总结并分析了研究线性空间结构的不同途径，这对线性空间结构的细化分析具有指导意义.

【参考文献】

[1]丘维声.高等代数：第三版：上册[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]丘维声.高等代数：第三版：下册[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]左连翠.高等代数[M].北京：科学出版社，2017.

[4]陈小松.高等代数[M].北京：清华大学出版社，2014.

[5]庄瓦金.高等代数教程[M].北京：科学出版社，2014.

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