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用欣赏的眼光看数学

范文

龚辉

【摘要】数学难学似乎是不争的事实，破解这一难点的关键是让学生喜欢数学，懂得欣赏数学.本文由浅入深地探究了在数学课堂教学过程中展现数学美的方法，使学生能够感受和欣赏数学美，从而把数学的美育功能真正落实在数学课堂上.

【关键词】欣赏;数学欣赏

数学能被欣赏吗？大家会说：数学是一堆枯燥的数字和公式、抽象的概念和定理和解不完的数学题.看来，数学是谈不上欣赏.这就是目前数学教学的尴尬——数学不好学，也不好教！

怎么办？

数学的抽象性就像一堵高墙，把美的数学世界和大家隔绝了.数学教育家张奠宙先生将数学分为“教育形态的数学”和“学术形态的数学”.作为一线教师，如何将学术形态的数学教得有血有肉、生动活泼，发挥数学的教育功能，是数学欣赏的重任，也是使学生喜欢数学、欣赏数学的关键.

下面笔者从欣赏数学美的三个层次谈一点体会.

一、美观

这主要是数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，给人的感官带来美丽、漂亮的感受.

几何学常常带给人们直观的美学形象.几何图形中“圆”是全方位对称图形，美观、匀称.从“一石激起千层浪”到“大漠孤烟直，长河落日圆”，以及毕达哥拉斯学派说：“显然，在一切平面图形中，圆是最美的”.

在代数方面也很多.例如，（a+b）·n=a·n+b·n;ba·dc=bdac;a+b=b+a;（a·b）n=an·bn等.這些公式和法则非常对称与和谐，同样给人以美观感受.

二、美好

“美观”的数学对象，必须进到“美好”的层次，才真正跳出浅层次的欣赏角度.圆，从结构上看是极其美观的，从性质上看它也十分美好.世间万物都在变化之中，但只说事物在“变”，不说明什么问题，科学的任务是要找出“变化中不变的规律”.“圆”中的许多定理和结论，例如，圆周角定理就是一种典型的运动不变性.这是一个多么美妙的结论.又如，韦达定理，一元二次方程有无穷多个，各个方程对应的根（若存在）也有很多，韦达定理则是架设在已知和未知之间沟通天堑之桥.难怪张奠宙先生这样点评：“求解数学问题，好比猜谜.一个好的谜语，谜面是已知的信息，谜底则是我们寻求的与谜面相适应的未知结果.大自然给我们展示了谜面，而把谜底留给人们去探索.人类的智慧就是在探索和解释大自然谜底的过程中展现出来的.韦达定理显示了人类智慧的‘大美，它没有可供视觉欣赏的美感，却有震动心灵令人叫好的美觉”.

不美观的数学对象其实很多.例如，一元二次方程的求根公式，不对称、不和谐、不美观.但是，当我们了解它、运用它时，就会感到它的价值.和韦达定理一样，它的“内秀”在于揭示了根的万能求法，而有趣的是，数学家由此尝试一元高次方程的求根公式，除了一元三次方程外，其他的方程居然不能通过各项系数经过有限次的四则运算和乘方、开方运算得到.所以说，数学中有的结论你会觉得它形式上很难看，但本质却是美好的.

在课堂教学中，外观上美观的数学结果，我们有时还会说一说，但是有些不美观，但实际上非常美好的东西往往避而不谈.

三、美妙

美妙的第一个层面是巧妙.

不论是几何或是代数，一个个数学结论如鬼斧神工，浑然天成.例如，三角形的3条高都交于一点、九点圆等，这些都是很美妙、令人惊奇的结论.如前面提到的一元二次方程的求根公式，恰好用到了中学阶段的六个基本运算：加、减、乘、除、乘方和开方，“意料之外”却又“情理之中”.

我们都会有那样的感受：一条辅助线使无从着手的几何题豁然开朗，一个技巧使百思不得其解的不等式证明得以通过.这时的快乐与兴奋真是难以形容，也许只有用一个“妙”字加以概括.

美妙的第二个层面是精妙.

爱因斯坦说过“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重？理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性.至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中”.精妙在于数学的理性精神，既要讲推理，更要讲道理.例如，三角形的内角和是180?，拼一拼、量一量算不算数，到底要不要证明？对顶角相等这种一望而知的命题要不要证明等.我国古代数学家认为这些近乎公理，所以避而不谈，只管应用.而古希腊数学家认为需要证明，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明.两相对照，才知道古希腊理性精神的伟大.徐光启看到利玛窦传入的《几何原本》后，发现其严密的逻辑体系、叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同，被这种数学理性精神所震撼，认为：“窃百年之后，必人人习之”“以当百家之用”.

从“显然正确因而，不必证明”，到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃，也是数学区别于其他学科的一个本质特点.

美妙的第三个层面是奇妙.

数学美的“高端”欣赏在于：在看不见数学的地方运用了数学以及数学与人文意境的沟通.

二次大战后的美国出现的三项伟大成就：维纳（NorbertWiener）发表的《控制论》、香农（ClaudeShannon）发表的《信息论》和冯·诺依曼（JohnvonNeumann）的计算机方案.其实，令人折服的不仅是他们三个人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献，而是这三项成就，不是通常我们所解决的那些数学问题.普通人无法想象：打电报传送的信息，可以是数学研究的对象;用大脑控制手去拾地上的铅笔，可以构成“数学控制论”;研究数字电子计算机会改变时代的发展.因此，在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题，那就是“大”的数学创造.

“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”将“无限”刻画得栩栩如生：“无边落木”指“所有的落木”，是实无限的集合;“不尽长江”则是潜无限，它没完没了，不断地“滚滚”而来.正好契合了线段上无限个点和直线上无限个点的区别.

研究数学的意境，就像张奠宙先生做数学如解谜一般，丘成桐教授看数学如读史书一般.达到这一步，学生才算真正感受到数学美的真谛，被数学所吸引，喜欢数学，热爱数学.

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