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数形结合的思想方法与高考数学解题技巧

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范铯

【摘要】数形结合思想即图解法，也就是根据已知条件画出相应的图像，再凭借几何图形的直观性来解题.“数”与“形”不仅充分反映了事物两个方面的差异化属性，其也是数学知识的两种关键表现形态.本文简要概括了数形结合思想方法的同时，探究了其在高考中的重要性，并借助三个经典例题展现了高考数学解题技巧中数形结合的体现.

【关键词】数形结合;思想方法;高考数学;解题技巧

中国著名数学家华罗庚有句名言，即“数形结合百般好，隔离分家万事休”，这句话充分说明了数形结合的思想方法对数学解题的重要性.灵活恰当地使用数形结合思想，能够快速解决集合、函数、方程及线性规划等多个领域的问题.高中生们在高考数学的解题过程中，充分利用数形结合的方法，可以在节省时间的同时降低错误率.

一、数形结合思想方法概述

无论是在小学还是中学，数形结合思想方法在数学解题中的使用频率都非常高.其实这种思想具体指的就是按照隐藏于数和形当中的对应关系，凭借数与形之间的相互转化来妥善处理复杂数学问题的一种宏观理念.灵活恰当地运用数形结合的思想，能让学生在面对许多复杂的数学问题时豁然开朗，而且往往算法简便清晰.总而言之，数形结合的思想方式可以将数学问题化繁为简，从抽象转为具象，有助于学生抓住数学问题的核心，所以其是数学灵活性以及规律性的高度融合[1].

二、能够运用数形结合思想解决的高考数学试题

从最近几年来的高考试题当中不难发现，高考数学知识越来越重视对数形结合思想的考查.很多抽象性极强的数学问题，若灵活运用数形结合的方式进行解答，那么便能够在短时间内迎刃而解，事半功倍，高中生们在考试中可以節约大量的时间.数形结合的关键在于探索“以形助数”，很多考题都与其密不可分.

如今在高考数学试题中，数形结合思想主要应用在六种类型的内容当中.第一种是关于一元二次方程解的分布的考查;第二类是不等式的求解;第三类是函数零点问题以及方程根问题的考查;第四类是求解函数的最值（最大值、最小值）和取值范围;第五类是参数值域的求解问题;最后一类则是复数的模的研究[2].

对以上六种高考数学问题，若是灵活运用数形结合的思想方法，可以在短时间内获得最优化的解题方式，规避复杂且烦琐的计算，节省了解题的时间，特别是在选择题和填空题的求解过程中优势明显.若要有效形成数形结合的思维模式，广大高中生们在平时做练习的过程中就应当养成画图的好习惯，在思考时也要做到心中有图，见数思图[3].

三、经典高考数学例题分析

（一）参数值域的求解问题

例1 如果有关x的方程x2+2kx+3k=0的两个解均在（-1，0）以及（3，0）之间，求解k的值域.

题目解析设f（x）=x2+2kx+3k，其函数图形和横轴x轴相交的两个点，便是方程x2+2kx+3k=0的两个解.首先建立平面直角坐标系，于x轴上标出（-1，0）以及（3，0）这两个点，并且画出相应的二次函数图像（详见图1）.接着按照图像，将端点位置函数值的不等式列出来，也就是对称轴位置函数值的不等式以及解的判别式不等式.这道题目能够借助于解的存在定理，对解的判别式进行讨论.最后一步则是求解不等式，进而获取参数的值域.

粗略解答从f（x）=x2+2kx+3k的函数图像可以发现，倘若要使得两个解均位于（-1，3）之间，就必须让f（-1）>0，f（3）>0以及f（-k）<0均成立.求解不等式后得-1

（二）方程根的问题

题目解析这道题的目的是求得根的个数，即判断f（x）=a|x|与f（x）=|logxa|这两个函数的图像存在几个交点即可.这道题为选择题，只要画图函数图像便可获取答案.函数图像如图2所示，不难看出两个函数图像总共有两个交点，因此，方程总共有两个实根，故选择B项.此题也是数形结合思想方式解题的一个典型案例，若是在高考数学中遇见此类试题，画出函数图像便可获得答案，省去了解方程的烦琐步骤.

（三）函数最值问题

例3 若实数x与实数y满足二元二次方程（x-2）2+y2=3，那么求yx的最大值.

题目解析二元二次方程（x-2）2+y2=3具有非常明显的几何意义，其在平面直角坐标系当中表现为一个圆，圆心是（2，0），半径为3（详见下图3）.yx=x-0y-0代表的是圆上（x，y）这一点和原点（0，0）的连线的斜率k.这样一来，通过数形结合思想的运用，代数问题便随之转化成了几何问题，点A将（2，0）作为圆心，在半径长为3的一个圆上运动，求解直线OA斜率的最大值.从图3中不难看出，角A位于第一象限，由几何知识可知，直线在与圆相切的情况下，直线OA的斜率达到最大值.经过运算可得，xy=tan60°=3.

四、结语

总而言之，在历年的数学高考试题中，可以用数形结合思想直接解答的选择题约占一半，不难发现数形结合思想的掌握已日趋重要.广大高中生在日后的学习中，应当充分发挥数形结合思想方法在解题中的作用，在优化学习模式的基础上，丰富高考数学解题技巧，提升自身解决数学难题的效率.

【参考文献】

[1]刘美.高中数学解题技巧之“数”“形”结合策略[J].数学大世界（下旬版），2017（6）：77.

[2]李沁蓉.高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略的分析[J].速读（上旬），2017（2）：126.

[3]陈樱芷.关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略[J].环球人文地理，2016（20）：319-320.

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