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标题	一道高中学业水平考试题的解法与推广
范文	唐钰淇 【摘要】数形结合是一种重要的数学思想，数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例，提出此问题的几种常用解法，并将该问题推广到一般情形，得到几个基本结论。 【关键词】高中数学；数形结合；代数法；几何法；三角函数法 2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为：如图1，过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、，求的最大值。 一、几种解法 解法一：代数法 设直线的方程为，与圆的交点为、，满足，即，由韦达定理有 ，， 则，， ① 直线与直线垂直，设其方程为 ，与圆的交点为、.类似可推得 ② 由①和②有 ③ 当时，上式右边取得最大值，即最大值为. 另外，也可由①和②得 ④ 根据基本不等式有 即的最大值为4，此时，，两直线与轴的夹角均为45度. 解法二：几何方法一 如图2，设圆心为，连接、、、，作交于点E，交于点，则点、分别是、的中点. 由于，则四边形是矩形. 故， 则. 由基本不等式有. 解法三：几何方法二 如图2，根据圆的切割线定理，有 即⑤ 因为OEPF为矩形，故 即⑥ 由⑤⑥可得，则 从而可得. 解法四：三角函數法 如图2，设， 则， 则 ⑦ 当时，式⑦右边取得最大值1，即最大值为1，故的最大值为4. 二、一般情形推广 将此问题推广到一般情形如下： 问题：过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、，求的最大值. 解：如图2，设直线与直线的方程分别为和，与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一，可得 ，， ，， ， ， 我们不难得到 且必须满足. 根据基本不等式，的最大值为. 同时还得出如下结论： 结论1：、两线段中点连线的长度为定值，等于原点到圆心的距离. 证明：、两线段的中点分别为、.则 . 结论2：、两线段中点连线的中点，与原点和圆心连线的中点重合. 证明：设原点和圆心连线的中点为，的中点为，则 ， 因此的中点坐标与点的坐标相同. 根据结论2可以得出： 推论：、两线段的中点均在以为圆心，半径为的圆上. 结论3：等于连线所围区域面积的2倍. 证明：（1）当，即原点在圆之外，如图2，连线所围区域即阴影部分. 则. （2）当，即原点位于圆内，如图3，所围区域为圆内接四边形. （3）当，即原点位于圆上，、与原点重合，所围区域为直角三角形，因此 . 三、结束语 数形结合问题一般可以采用代数法、几何法、三角函数法求解，也可运用几种方法联合求解。在学习中，我们要根据实际情况灵活运用。对于某些具体问题，我们可以通过推广拓展至一般情形，从而更深入地分析和解决问题。
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