标题 | 一道高中学业水平考试题的解法与推广 |
范文 | 唐钰淇![]() ![]() 【摘要】数形结合是一种重要的数学思想,数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例,提出此问题的几种常用解法,并将该问题推广到一般情形,得到几个基本结论。 【关键词】高中数学;数形结合;代数法;几何法;三角函数法 2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为:如图1,过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、,求的最大值。 一、几种解法 解法一:代数法 设直线的方程为,与圆的交点为、,满足,即,由韦达定理有 ,, 则,, ① 直线与直线垂直,设其方程为 ,与圆的交点为、.类似可推得 ② 由①和②有 ③ 当时,上式右边取得最大值,即最大值为. 另外,也可由①和②得 ④ 根据基本不等式有 即的最大值为4,此时,,两直线与轴的夹角均为45度. 解法二:几何方法一 如图2,设圆心为,连接、、、,作交于点E,交于点,则点、分别是、的中点. 由于,则四边形是矩形. 故, 则. 由基本不等式有. 解法三:几何方法二 如图2,根据圆的切割线定理,有 即⑤ 因为OEPF为矩形,故 即⑥ 由⑤⑥可得,则 从而可得. 解法四:三角函數法 如图2,设, 则, 则 ⑦ 当时,式⑦右边取得最大值1,即最大值为1,故的最大值为4. 二、一般情形推广 将此问题推广到一般情形如下: 问题:过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、,求的最大值. 解:如图2,设直线与直线的方程分别为和,与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一,可得 ,, ,, , , 我们不难得到 且必须满足. 根据基本不等式,的最大值为. 同时还得出如下结论: 结论1:、两线段中点连线的长度为定值,等于原点到圆心的距离. 证明:、两线段的中点分别为、.则 . 结论2:、两线段中点连线的中点,与原点和圆心连线的中点重合. 证明:设原点和圆心连线的中点为,的中点为,则 , 因此的中点坐标与点的坐标相同. 根据结论2可以得出: 推论:、两线段的中点均在以为圆心,半径为的圆上. 结论3:等于连线所围区域面积的2倍. 证明:(1)当,即原点在圆之外,如图2,连线所围区域即阴影部分. 则. (2)当,即原点位于圆内,如图3,所围区域为圆内接四边形. (3)当,即原点位于圆上,、与原点重合,所围区域为直角三角形,因此 . 三、结束语 数形结合问题一般可以采用代数法、几何法、三角函数法求解,也可运用几种方法联合求解。在学习中,我们要根据实际情况灵活运用。对于某些具体问题,我们可以通过推广拓展至一般情形,从而更深入地分析和解决问题。 |
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