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高职院校极限运算初学者常犯错误例析

范文

袁建华

[摘要] 函数极限计算方法繁多，初学者不可避免地会常犯一些错误。对常见错误进行了归类，剖析了错误原因。

[关键词] 高职；极限计算；错误原因

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）09-0162-02

极限是高等数学的基础，高等数学的主要概念（导数、积分、级数等）本质上都是特殊的极限，故正确理解极限的概念、掌握极限的运算是学好高等数学的关键。学习极限的核心任务就是极限的计算，然而由于初学者对极限的概念、性质和运算法则等理解不透，运算中会经常出现各种各样的错误。为帮助高等数学初学者解决学习高等数学的“拦路虎”，增强学好高等数学的信心，下文对常见错误进行了归类分析。

一、不注意四则运算法则使用条件产生的错误

例1.计算极限■（■-■）

常见错误：因为■■=∞，■■=∞

所以原式=■■-■■=∞-∞=0

错误分析：运用两函数差的极限运算法则时，要求两函数的极限均存在，而本例中函数y=■和y=■在x■1时均为无穷大量，属极限不存在的情况，上述做法中忽视了两函数差的极限运算法则的使用前提条件，从而导致了错误。

正确解答：原式=■■=■■

=■■=■

例2.计算极限■（■+■+…+■）

常见错误：原式=■■+■■+…+■■

=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0

错误分析：极限的和运算法则，仅可推广到有限个函数的和的情形，但上述解法中没有注意到这是一个无限项和的极限问题，错误地运用了有限个函数和的极限运算法则，从而导致了错误的产生。

正确解答：因为■≤■+■+…+■≤■

而■■=■■=1，■■=■■=1

故由夹逼准则可得 ■（■+■+…+■）=1

二、不注意函数特殊性的而造成的错误

例3.计算极限■■

常见错误：因为■ arctan■=■

所以原式=■=■=■

错误分析：求分段函数在分段点处的极限时，学生一般都会想到先分别研究左右极限，但对初等函数，往往会忽视这一点。而有一些特殊函数，如反三角函数、三角函数以及指数函数有时在特殊点处左右极限是不一样的。如本例中■arctan■=■，■arctan■=-■。上述做法中就忽视了先进行左右极限的讨论，因而造成了错误的产生。

正确解答：因为■■=■=■=■

■■=■=■=0

所以■■不存在。

三、不注意偶次根式意义造成的错误

例4.计算极限■■

常见错误：原式=■■ （分子分母同除x）

=■=3

错误分析：本例上述做法中没有注意到题目中的根式是二次根式以及在■时x是负的，这种情况下x是不能变成x2放到根式内的，所以这时分子分母同除-x才有意义，故上述做法是错误的。

正确解答：原式=■■=■=1

例5.计算极限■■

常见错误：原式=■■=■

错误分析：本例上述做法中没有注意到题目中的根式是二次根式，在■时是sinx正的，此时2sin2x开方开出来应是■sinx，而当■时，sinx是负的，此时2sin2x开方开出来应是-■sinx，故■时2sin2x开方开出来应是■|sinx|而不是■sinx，故该做法错了。

正确解答：因为■■=■■=■

■■=■■=-■

所以■■不存在。

四、运用等价无穷小替换法不注意替换原则造成的错误

例6.计算极限■■

常见错误：■■=■■=1

错误分析：运用等价无穷小替换法求极限，首先必须是无穷小才行。用等价无穷小替换法求极限，大大简化了运算步骤，因此学了等价无穷小替换法，学生就经常想用等价无穷小替换来求极限。但初学者往往看到常见形式，不管它是不是无穷小，拿到手就替换，本例上述做法就是这样。事实上sinx与ex-1在■时均非无穷小量，故不能进行等价无穷小替换。上述做法中忽视了等价无穷小替换的前提，因而造成了错误。

例7.計算极限■■=（其中a，b均为正整数）

常见错误：■■=■■=■

错误分析：本例中，虽然sinax与sinbx均为无穷小量，但ax与bx均非无穷小量，故sinax与ax、sinbx与bx都不是等价无穷小，故将sinax、sinbx分别用ax、bx替换是错误的，从而上述做法是错误的。

正确解答：令x=π-t，则

■■=■■=■■

=（-1）a-b■■=（-1）a-b■■=（-1）a-b■

例8.计算极限■■

常见错误：■■=■■=0

错误分析：运用等价无穷小替换法求极限，一般只对分子分母中的无穷小因子进行整体等价替换，对代数和中的无穷小项不进行替换。本例上述做法中忽视了等价无穷小替换规则，对sinx、tanx分别进行了等价无穷小替换，从而造成了错误。

正确解答：■■=■■

=■■=-■

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]陈文灯.高等数学辅导[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2004.

[3]施光燕.高等数学讲稿[M].大连：大连理工大学出版社，2005.

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