| 标题 | 三角恒等变换技巧 |
| 范文 | 张琦 三角恒等变换问题在历年高考和自主招生试题中屡见不鲜，主要考查考生的逻辑推理和运算求解能力.主要是通过三角公式进行等价变换以达到化简、求值、证明的目的.其实三角恒等变换说起来就那么几个公式——虽然多，但是有规律;就那么几个套路——不是正用就逆用;但从实际考试效果看，还是有相当一部分考生不能在短时间内找到解决问题的最佳方案.针对这些问题，本文着重分析各类试题中有关三角恒等变换的问题，主要剖析命题切入点，以及围绕三角恒等变换的解题方法和思路. 学习三角恒等变换过程中，最难的是对公式的理解及灵活运用上.要想得心应手的应用三角公式，关键在于构建公式网络，理解其内在联系及相互转化关系. 本部分内容里，考生需要理解任意角三角函数的定义，以及同角三角函数的基本关系.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.在此基础上，能运用上图所述公式进行简单的恒等变换. 一、活用定义，巧妙解题 定义是对数学对象本质特征的刻画，因此定义是研究问题的基础和出发点，是揭示概念内涵的逻辑方法. 我们已经通过单位圆定义法得出了任意角三角函数的定义，从定义也导出了同角三角函数的基本关系式和诱导公式，为我们进一步研究三角函数性质奠定了基础.从这个意义上说，牢固掌握三角函数的定义是学好三角函数的根本保证. 考题1. 已知角？琢的终边经过点（-4，3），则cos？琢=（ ?） A. B. C. - D. - 【解析】根据余弦函数定义，cos？琢=y，其中y是角？琢的终边与单位圆交点的纵坐标，根据三角形相似可知y==-.答案选D. 【点评】本题是课本例题的一个改编，课本原题为“已知角？琢的终边经过点（-3，-4），求角？琢的正弦、余弦和正切值.”主要考查考生对单位圆定义法、三角形相似的判定定理的理解.从而进一步体会三角函数“终边定义法”与“单位圆定义法”一致性. 相关链接1. 已知tan？琢=2，那么cos2？琢= ? ? ? ? ? ?. 【解析】cos2？琢====-. 【点评】本题为“知切求弦”题型，基本的解决思路是根据同角三角函数的基本关系式，列出方程tan？琢==2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢，cos？琢的值，从而根据二倍角公式cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得结论.但是按这种方法解题时，需要注意tan？琢=2时，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分类讨论，但是结果是一致的.此外，本题也是标准的二次奇次式问题，也可以直接化弦为切，从而求值，也就是上面的解析.与此类似，2014丰台一模理第9题：“已知tan？琢=2，则的值为_____.”也是类似的解法. 二、化切为弦，关注通法 根据同角三角函数的基本关系式，我们知道tan？琢=，由于正弦和余弦的性质是我们熟悉的，所以在这样转化之后问题通常可以获得解决.其实通过“化切为弦”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径. 考题2. 设？琢∈（0，），？茁∈（0，），且tan？琢=， 则（ ?） A. 3？琢-？茁= B. 3？琢+？茁= C. 2？琢-？茁= D. 2？琢+？茁= 【解析】tan？琢=？圳=？圳sin？琢cos？茁=cos？琢（1+sin？茁）？圳sin？琢cos？茁-cos？琢sin？茁=cos？琢？圳sin（？琢-？茁）=cos？琢; ∵？琢∈（0，），？茁∈（0，），∴-<？琢-？茁<; 又∵cos？琢>0，∴0<？琢-？茁<; 所以？琢-？茁=-？琢，即2？琢-？茁=.答案选C. 【点评】本题是一道标准的化切为弦问题，全面考查了考生对“化切为弦”思想的了解，以及两角差的正弦公式.此外，考生也必须明白“对于锐角？琢，？茁，如果sin？琢=cos？茁，那么？琢，？茁互余”.本题另外一种解法如下： tan？琢=======tan（+）. ∵？琢∈（0，），？茁∈（0，），∴<+<; 所以+=？琢，即2？琢-？茁=. 除本题外，考生尝试用不同方法解决课本练习“求证：=”. 相关链接2. 4cos50°-tan40°=（ ?） A. B. C. D. 2-1 【解析】 4cos50°-tan40°= == = ==.答案选C. 【点评】解决本题，考生不仅需要注意“化切为弦”，同时还得注意sin？琢=sin（？仔-？琢），同时注意到系数2倍的关系，整理即可. 三、正难则反，公式逆用 按常规的思路，大家习惯公式的正用，而不习惯“倒着想，反着用”.如果说公式的正用是拆分的过程，那么公式的逆用则是合并的过程.从思维上来讲，公式的逆用，体现了逆向思维，是一个配凑的过程，更体现了构造的思想，因此要求更高. 公式逆用中，考题最常涉及的当属辅助角公式了.在用辅助角公式时经常会涉及到三角函数中的二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式.由于内容丰富，所以本部分内容命题形式不拘一格，对考生有比较高的要求. 考题3. 已知函数f（x）=cosx·sin（x+）-cos2x+，x∈R. （Ⅰ）求f（x）的最小正周期; （Ⅱ）求f（x）在闭区间[-，]上的最大值和最小值. 【解析】（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx·（sinx+cosx）-cos2x+ =sinxcosx-cos2x+ =sin2x-（1+cos2x）+ =sin2x-cos2x =sin（2x-）. 所以，f（x）的最小正周期为T==？仔. （Ⅱ）因为x∈[-，]，所以2x-∈[-，]. 于是，当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值; 当2x-=-，即x=-时，f（x）取得最小值-. 所以，函数f（x）在闭区间[-，]上的最大值为，最小值为-. 【点评】本题不难，属常规问题.第（Ⅰ）问需要考生注意公式化简.而第（Ⅱ）问则需要注意三角函数定区间的最值问题.请各位考生注意，三角函数一章的公式必须熟练掌握.而在第（Ⅰ）问化简时考查知识点主要包括：正用两角和的正弦公式、逆用二倍角公式、逆用两角差的正弦公式.这种类型问题非常常见，大多数省市高考题均有涉及. 相关链接3 ?化简cos20°·cos40°·cos80°. 【解析】=cos20°·cos40°·cos80°= = = = =. 【点评】观察本式特征，20°与40°之间为二倍角关系，40°与80°之间也为二倍角关系. 所以我们尝试应用二倍角公式，添加分母，并同乘sin20°，则能很好利用正弦的二倍角公式.最终约分可得结果. 四、抓住整体，重点突破 前面我们已经构建了三角恒等变换的公式网络，这些公式意图通过已知的形如单角？琢，？茁的三角函数值来求出形如复合角“？琢±？茁，2？琢”等的三角函数值.出于公式的简洁性要求，更是出于角之间相互明了关系的表示，这里的已知角？琢，？茁写成了单角的形式，但这并不意味着具体问题中的角一定就是这样的简洁形式，我们还是要从整体着眼，关注整体间的关系. 考题4. 设？琢为锐角，若cos（？琢+）=，则sin（2？琢+）的值为 ? ? ? ? ?. 【解析】∵ 0< ？琢 <，∴ < ？琢 +<+=. ∵ cos（？琢+）=，∴ sin（？琢+）=. ∴ sin（2？琢+）=2sin（？琢+）cos（？琢+）=2··=. ∴ cos（2？琢+）=. ∴ sin（2？琢+）=sin（2？琢+-）=sin（2？琢+）cos-cos（2？琢+）sin=·-·=. 【点评】本题中有？琢与2？琢的两倍关系，但是2？琢+与？琢+之间不是两倍关系，所以我们需要对其进行进一步整理.，2（？琢+）=2？琢+-到这一步，命题者的思路就清楚了：先用关于角？琢+的二倍角公式求出角？琢+的正弦值和余弦值，再用两角差的正弦公式即可求出结果.与本题类似，有很多问题都可以类似解决，如“设tan（？琢+？茁）=tan（？茁-）=，则tan（？琢+）= ? ? ? ? ? ?.”只需要知道？琢+=（？琢+？茁）-（？茁-）即可. 相关链接4. 已知函数f（x）=sin（3x+）. （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间; （Ⅱ）若？琢是第二象限角，f（）=cos（？琢+）cos2？琢，求cos？琢-sin？琢的值. 【解析】 （Ⅰ）因为函数y=sinx的单调递增区间为[-+2k？仔，+2k？仔]，k∈Z， 由-+2k？仔≤3x+≤+2k？仔，k∈Z，得-+≤x≤+，k∈Z. 所以，函数f（x）的单调递增区间为[-+， +]，k∈Z. （Ⅱ）由已知， 有sin（？琢+）=cos（？琢+）（cos2？琢+sin2？琢）， 所以sin？琢cos+cos？琢sin=（cos？琢cos-sin？琢sin） （cos2？琢-sin2？琢）， 即sin？琢+cos？琢=（cos？琢-sin？琢）2（sin？琢+cos？琢）. 当sin？琢+cos？琢=0时，由？琢是第二象限角，知？琢=+2k？仔，k∈Z. 此时，cos？琢-sin？琢=-. 当sin？琢+cos？琢≠0时，有（cos？琢-sin？琢）2=. 由？琢是第二象限角，知cos？琢-sin？琢< 0，此时cos？琢-sin？琢=-. 综上所述，cos？琢-sin？琢=-或-. 【点评】本题第（Ⅰ）问考查正弦函数的单调性，第（Ⅱ）问考查三角函数的恒等变换.在第（Ⅱ）问中，考生需要注意我们要求的是cos？琢-sin？琢这个整体的值，所以我们不需要单独求得sin？琢与cos？琢的值.此外，在整理的过程中，要注意转化的等价性，换句话说，不能直接认为cos？琢+sin？琢≠0从而直接约分. 五、树立目标，提高效率 三角恒等变换是有一些基本的模式，但是如果以为掌握了这些所谓的方法和技巧，就能够通过套用“公式或套路”就能够顺利解决问题，那就大错特错了.要想顺利的解决三角恒等变换问题，出来熟悉公式网络以外，还要有强烈的目标意识，在目标的引领下，将已知条件进行转化，逐步推进，直至导出结论. 考题5. 对于任意的？兹，求32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹的值. 【解析】因为32cos6？兹=32（）3=4cos3 2？兹+12cos2 2？兹+12cos2？兹+4， -cos6？兹=-4cos3 2？兹+3cos2？兹， -6cos4？兹=-12cos2 2？兹+6， -15cos2？兹=-15cos2？兹， 所以，各式相加，得32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹=10. 【点评】初次接触本题，大多数考生都会感觉无从下手，因为这里的函数虽然都是余弦，但是角包括了？兹，2？兹，4？兹，6？兹，如果想把角都化简到？兹，明显工作量太大，毕竟涉及到了6倍角.所以我们把目标定位2？兹，这样4？兹是2？兹的二倍角，6？兹是2？兹的三倍角，？兹是2？兹的半角，操作起来必然事半功倍. 六、适当推广，提高能力 现在很多的考生都要参加各个学校组织的自主招生考试，自主招生试题与普通高考试题比起来，出题形式更加灵活，知识面更广、更深，对考生的能力要求更高. 考题6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ? ? ? ?. 【解析】因为cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=， sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=; 所以sin（x+y）=. 【点评】本题需要考生了解和差化积公式.其实，补充上和差化积与积化和差公式，以及万能公式的知识网络如下： 相关链接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）. 【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……① 由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………② 两式相加，得2-2cos（x+y）=+=， 所以cos（x+y）=1-=. 又由sinx+siny=，得2sincos=…………③ 由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④ 两式相除，得tan=-， 所以sin（x-y）== -=-. 【点评】本题要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知条件只需要平方处理，也会包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的时候，则需要考生对和差化积公式有相当的了解. （作者单位：北京市第十二中学） 责任编校 徐国坚 -cos6？兹=-4cos3 2？兹+3cos2？兹， -6cos4？兹=-12cos2 2？兹+6， -15cos2？兹=-15cos2？兹， 所以，各式相加，得32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹=10. 【点评】初次接触本题，大多数考生都会感觉无从下手，因为这里的函数虽然都是余弦，但是角包括了？兹，2？兹，4？兹，6？兹，如果想把角都化简到？兹，明显工作量太大，毕竟涉及到了6倍角.所以我们把目标定位2？兹，这样4？兹是2？兹的二倍角，6？兹是2？兹的三倍角，？兹是2？兹的半角，操作起来必然事半功倍. 六、适当推广，提高能力 现在很多的考生都要参加各个学校组织的自主招生考试，自主招生试题与普通高考试题比起来，出题形式更加灵活，知识面更广、更深，对考生的能力要求更高. 考题6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ? ? ? ?. 【解析】因为cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=， sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=; 所以sin（x+y）=. 【点评】本题需要考生了解和差化积公式.其实，补充上和差化积与积化和差公式，以及万能公式的知识网络如下： 相关链接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）. 【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……① 由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………② 两式相加，得2-2cos（x+y）=+=， 所以cos（x+y）=1-=. 又由sinx+siny=，得2sincos=…………③ 由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④ 两式相除，得tan=-， 所以sin（x-y）== -=-. 【点评】本题要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知条件只需要平方处理，也会包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的时候，则需要考生对和差化积公式有相当的了解. （作者单位：北京市第十二中学） 责任编校 徐国坚 -cos6？兹=-4cos3 2？兹+3cos2？兹， -6cos4？兹=-12cos2 2？兹+6， -15cos2？兹=-15cos2？兹， 所以，各式相加，得32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹=10. 【点评】初次接触本题，大多数考生都会感觉无从下手，因为这里的函数虽然都是余弦，但是角包括了？兹，2？兹，4？兹，6？兹，如果想把角都化简到？兹，明显工作量太大，毕竟涉及到了6倍角.所以我们把目标定位2？兹，这样4？兹是2？兹的二倍角，6？兹是2？兹的三倍角，？兹是2？兹的半角，操作起来必然事半功倍. 六、适当推广，提高能力 现在很多的考生都要参加各个学校组织的自主招生考试，自主招生试题与普通高考试题比起来，出题形式更加灵活，知识面更广、更深，对考生的能力要求更高. 考题6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ? ? ? ?. 【解析】因为cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=， sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=; 所以sin（x+y）=. 【点评】本题需要考生了解和差化积公式.其实，补充上和差化积与积化和差公式，以及万能公式的知识网络如下： 相关链接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）. 【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……① 由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………② 两式相加，得2-2cos（x+y）=+=， 所以cos（x+y）=1-=. 又由sinx+siny=，得2sincos=…………③ 由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④ 两式相除，得tan=-， 所以sin（x-y）== -=-. 【点评】本题要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知条件只需要平方处理，也会包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的时候，则需要考生对和差化积公式有相当的了解. （作者单位：北京市第十二中学） 责任编校 徐国坚 |
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