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标题 2019年全国高考理科数学模拟试题
范文

    戴红

    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 全卷共150分. 考试用时120分钟.

    第Ⅰ卷(选择题,共60分)

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

    1. 已知集合A={x∈R│x2-3x+a>0},且2?埸A,则实数a的取值范围是()

    A.(-∞,2]? B.[2,+∞) ? C.(-∞,-2] ? D.[-2,+∞)

    2. 已知向量■与■的夹角为■,且■=1,■=2,若(3■+?姿■)⊥■,则实数?姿=()

    A. -3 B. 3 C. -■ D. ■

    3. 设a>0,b>0,则“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的()

    A. 充分不必要条件

    B. 必要不充分条件

    C. 充要条件

    D. 既非充分又非必要条件

    4. 如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”. 图中的“aMODb”表示a除以b的余数,若输入a,b的值分别为195和52,则执行该程序输出的结果为()

    A. 13 B. 26

    C. 39 D. 78

    5. 设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()

    A. y=3x+1 ? B. y=3x-3 C. y=-3x+1 D. y=-3x

    6. 已知x=■是f(x)=asinx+bcosx一条对称轴,且最大值为2■,则函数g(x)=asinx+b()

    A. 最大值是4,最小值为0 B. 最大值是2,最小值为-2

    C. 最大值可能是0? ? ? ? ?D. 最小值不可能是-4

    7. 在等差数列{an}中前n项和为Sn,且S2019=-2019,a1011=1,则a2019的值为()

    A. 1008 B. 2018

    C. 1009 D. 2017

    8. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()

    A. ■ ? ?B. ■

    C. ■? ? D. ■+1

    9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点,另两个顶点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为()

    A. ■+1B. ■C. ■+1D. ■

    10. 将A, B, C, D,E五种不同的文件随机地放入编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,则文件A, B被放在相邻的抽屉内且文件C, D被放在不相邻抽屉内的概率为()

    A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

    11. 已知变量x, y满足约束条件x+2y-3≤0,x+3y-3≥0,y-1≤0,若目标函数z=ax+by(a≠0)取得最大值时的最优解有无穷多组,则点(a,b)的轨迹可能是()

    12. 函数f(x)在定义域(0, +∞)内恒满足:①f(x)>0;② 2f(x)

    A. ■<■<■ ? ? ? ? ?B. ■<■<■

    C. ■<■<■? ? ? ? ? ? D. ■<■<■

    第Ⅱ卷(非選择题,共90分)

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.

    13. 已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则此圆锥的侧面积为___________.

    14. 抛物线y2=8x的准线为l,点Q在圆C: x2+y2+6x+8y+21=0上,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+PQ的最小值为___________.

    15. 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,E为PC的中点.若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为■,则PA的长为______________.

    16. 用max{a、 b}表示a、b两个数中的最大数,设f(x)=max{x2,■}(x≥■),那么由函数y=f(x)的图像、x轴、直线x=■与x=2所围成的封闭图形的面积是___________.

    三、解答题:本大题共六小题,共计70分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

    17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(?棕x+?渍)(A>0,?棕>0,?渍< ■)的图像与y轴交于(0, 2),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0, 4)和(x0+■, -4).

    (1)求函数f(x)的解析式及x0的值;

    (2)若锐角?兹满足cos?兹=■,求f(?兹).

    18.(本小题满分12分)某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为■、■、■,且各轮问题能否正确回答互不影响.

    (I)求该同学被淘汰的概率;

    (Ⅱ)該同学在选拔中回答问题的个数记为?灼,求随机变量 ?灼的分布列与数学期望.

    19.(本小题满分12分)如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED//PA,且PA=2ED=2.

    (Ⅰ)证明:平面PAC ⊥平面PCE;

    (Ⅱ)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°,求二面角P-CE-D的余弦值.

    20.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C: ■+■=1(a>0, b>0)的一个焦点为F1(3, 0), M(4, y)(y>0)为椭圆上一点,△MOF1的面积为■.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A、 B两点,且以线段AB为有经的圆恰好经过原点?若存在,求出的方程,若不存在,说明理由

    21.(本小题满分12分)函数f(x)=x2+mln(x+1),

    (1)当m=-4时,求函数f(x)的单调减区间;

    (2)若函数f(x)有两个极值点x1, x2,且x1

    选考题:请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

    22.(本小题满分10分)选修4-4:? 坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为(■, ■),直线l的极坐标方程为?籽cos(?兹-■)=a,且点A在直线l上.

    (1)求a 的值及直线l的直角坐标方程;

    (2)圆c的参数方程为x=1+cos?琢,y=sin?琢(?琢为参数),试判断直线l与圆的位置关系.

    23 .(本小题满分10分)选修4-5:? 不等式选讲

    已知函数f(x)=x+1.

    (1)解不等式:f(x)≤2x;

    (2)若不等式f(x)-x-2≥a的解集为非空集合,求a的取值范围.

    2019年全国高考理科数学模拟试题参考答案

    一、选择题:A;B;A;A;D;C;D;B;A;C;D;D.

    二、填空题:13. ■?仔;14.■-2;15. 2或■;16. 3-■.

    三、解答题:

    17.(1)依题意得A=4,∵ (x0+■)-x0=■,∴ f(x)的周期为?仔,从而?棕=2. 由2=4sin(2·0+?渍)及?渍<■得?渍=■.

    ∴ f(x)=4sin(2x+■).

    由2x0+■=■,得 x0=■.

    (2)∵ cos?兹=■,?兹∈(0,■),∴ sin?兹= ■.

    f(?兹)=4sin(2?兹+■)=4sin2?兹cos■+4cos2?兹sin■.

    =2■sin2?兹+2cos2?兹=4■sin?兹cos?兹+4cos2?兹-2

    =■.

    18. 解析:(Ⅰ)记“该同学能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i=1, 2, 3),

    则P(Ai)=■,P(A2)=■,P(A3)=■,

    所以该同学被淘汰的概率为:

    P=P(A1+A1A2+A2A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)

    =■+■×■+■×■×■=■.

    (Ⅱ)?灼的可能值为1, 2, 3,P(?灼=1)=P(A1)=■,P(?灼=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=■×■=■,P(?灼=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=■×■=■.

    所以的分布列为:

    数学期望为E?灼=1×■+2×■+3×■=■.

    19. 证明:(Ⅰ)连接BD,交AC于点O,设PC中点为F,连接OF,EF.

    因为O,F分别为AC,PC的中点,所以OF∥PA,且OF=■PA.

    因为DE∥PA,且DE=■PA,所以OF∥DE,且OF=DE.

    所以四边形OFED为平行四边形,所以OD∥EF,即BD∥EF.

    ∵ PA⊥平面ABCD,BD?奂平面ABCD,所以PA⊥BD.

    ∵ ABCD是菱形,所以BD⊥AC.

    ∵ PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC. 因为BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.

    因为FE?奂平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.

    (Ⅱ)因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2.

    所以AC=AB, 故△ABC为等边三角形. 设BC的中点为M,连接AM,

    则AM⊥BC. 以A为原点,AM, AD, AP分别为x, y, z轴,建立空间直角坐标系A-xyz. 则P(0, 0, 2),C(■, 1, 0),E(0, 2, 1),D(0, 2, 0),

    ■=(■, 1, -2),■=(-■,1,1),■=(0,0,1).

    设平面PCE的法向量为■=(x1,y1,z1),则■·■=0,■·■=0,

    即■x1+y1-2z1=0,-■x1+y1+z1=0.令y1=1,则x1=■,z1=2.所以■=(■, 1, 2).

    设平面CDE的法向量为■=(x2, y2, z2),

    则■·■=0,■·■=0,即z2=0,-■x2+y2+z2=0.令x2=1,则y2=■,z2=0,所以■=(1, ■, 0).

    cos〈■, ■〉=■=■=■.

    设二面角P-CE-D的大小为?兹,由于?兹为钝角,所以cos?兹=-■,

    即二面角P-CE-D的余弦值为-■.

    20.(1)∵ ■=■,∴ ■y=■?圯y=1.

    ∵ M在椭圆上,■+■=1……(1)

    ∵ F1是椭圆的焦点,∴ a2=b2+9……(2)

    由(1)(2)解得:a2=18,b2=9,

    椭圆的方程为■+■=1.

    (2)OM的斜率k=■,设l的方程为y=■x+m,

    联立方程组y=■x+m,■+■=1整理得9y2-16my+8m2-9=0.

    设A、 B两点的坐标为(x1, y1), (x2, y1),则y1+y2=■,y1y2=■.

    以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

    该圆经过原点∴ x1x2+y1y2=0.

    x1x2=(4y1-4m)(4y2-4m)=16y1y2-16m(y1+y2)+16m2

    ∴ x1x2+y1y2=16y1y2-16m(y1+y2)+16m2+y1y2

    =17y1y2-16m(y1+y2)+16m2=■-■+16m2=0,

    解得m=±■.

    經检验,所求l的方程为y=■x±■.

    21. 解析:(1)依题意知函数定义域为(-1,+∞),f′(x)=2x+■=■,当m=-4时,令f′(x)=■<0,得:-2

    故函数f(x)的单调减区间(-1, 1).

    (2)若函数f(x)有两个极值点x1、 x2,且x1

    知0

    ■=■=2x2ln(x2+1)-■.

    令?渍(x)=2xln(x+1)-■,x∈(-■,0),

    ∴ ?渍′(x)=2ln(x+1)+■,令g(x)=2ln(x+1)+■,

    ∴g′(x)=■=■,令h(x)=x2+3x+1.

    又∵ x∈(-■, 0), (x+1)3>0,h(x)在(-■, 0)单调递增且h(0)>0,h(-■)<0,

    即存在x0∈(-■, 0)使得h(x0)=0即x∈(-■,x0),g′(x)<0,x∈(x0, 0),g′(x)>0,

    g(x)在(-■, x0)单调递减,g(x)在(x0, 0)单调递增.

    又g(0)=0,g(-■)<0,∴ x∈(-■,0),?渍′(x)<0,

    ∴ x∈(-■,0),?渍(x)在(-■,0)单调递减,又∵ ?渍(0)=0 ?渍(-■)=ln2-■,

    故所求范围为(0, ln2-■).

    选做题:

    22. 解析:(1)由点A(■, ■)在直线?籽cos(?兹-■)=a上,可得a=■.

    所以直线l的方程可化为?籽cos?兹+?籽sin?兹=2,

    从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

    (2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,

    所以圆心为(1, 0),半径r=1.

    以为圆心到直线的距离d=■<1,所以直线与圆相交.

    23 . 解析:(1)f(x)≤2x?圳? x+1≤2x?圳x+1≥0,x+1≤2x或x+1<0,-(x+1)≤2x?圳x≥1,

    ∴ f(x)≤2x的解集为{x│x≥1}.

    (2)f(x)-x-2≥a?圳x+1-x-2≥a ∵x+1-x-2≤(x+1)-(x-2)=3,∴ a≤3.

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更新时间:2025/3/10 12:13:34