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以生为本，引导学生经历推理的过程

范文

苗世彩

摘?要：本文是探索三角形相似条件的一节课堂实录。本节课的学习，可以让学生经历和体验知识的形成过程，了解数学研究问题的方法，领会数学思想，获得数学活动的经验，同时发展学生的空间观念，培养学生推理能力。

关键词：初中数学;三角形相似;条件;课堂实录

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）05-050-2

前几天，笔者有幸参加了一次校级学科教学研讨活动，本次活动的程序是：（1）承办学校开设一节研究课，两校老师听课：（2）参评学校教研组在指定的地点研讨（评价本节课教学设计以及上课情况，对本节课教学提出修改的建议或教学设计建议）：（3）两学校教研组汇报及答辩。现呈现该课教材分析、教学实录（含板书）及教学反思，与同行交流。

一、教学实录

师：我们知道，如果两个三角形相似，那么他们的对应角就相等，对应边就成比例。反过来，两个三角形只有满足什么条件，它们才能相似呢？这就是我们这节课所要研究的——探索三角形相似的条件。

（活动探究）

师：活动1，（1）在练习本上先画3条互相平行的直线l1、l2、l3，再任意画2条直线a、b，使a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F。如右图：

（2）度量所画图中AB、BC、DE、EF的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？请与同学交流。

生1：ABBC=DEEF

师：如果任意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的长度。这些比值还相等吗？

（老师动画演示发现它们的比值还是相等的）

师：思考：除此之外，你还能得到哪些线段成比例？（小组讨论）

生2：ABAC=DEDF，BCAC=EFDF，

师：回答的很好，如果画4条、5条……互相平行的直线，重复上面的过程，你发现的结论还成立吗？

生：仍然成立。

师：有的同学画的是如下两种图形，这两个图形与我们最初画的图形有什么区别？它们是不是依然有以上的结论呢？

（学生仔细观察与讨论）

生3：只需要将直线b向左移动就会出现以上图形，所以它们的对应线段依然成比例，结论还是成立的。

师：不错，实践告诉我们一个基本事实平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

板书：∵l1∥l2∥l3

∴ABAC=DEDF，BCAC=EFDF，ABBC=DEEF

师：如图，ED∥BC，AB=5，AC=7，AD=2，求：AE的长。

学生自己动手解决此题，感受一下用平行线分线段成比例求线段的长度。

师：活动2，如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系？

（学生先进行思考，老师巡视）

师：证明△ADE与△ABC相似，到目前为止我们只能用定义，由平行可知：∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠DAE=∠BAC，ADAB=AEAC，只要证ADAB=DEBC，就可以了，同学们思考，如何证？

生4：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，这样DE平移到BC上，然后利用平行线分线段成比例证出，ADAB=DEBC。

师：非常棒！在这一题中，我们需要把不在同一直线上的线段平移到同一条直线上，利用刚刚学的结论解决此题，对于ADAB，是连接这两个比例式的中间比，即桥梁，从而此题得证。

（教师板演解题过程）

解：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F。

∵DE∥BC，DF∥AC，∴ADAB=AEAC，ADAB=CFBC（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），∵四边形DFCE是平行四边形，∴DE=CF，ADAB=AEAC=DEBC

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∵∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE。

师：通过上面的证明过程，我们得到如下的结论：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。

老师板书：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，记为：“A型”。

师：那同学们看一下变式，在△ABC中，点D、E分别在BA、CA的延长线上，且DE∥BC。试说明△ADE与△ABC相似的理由？

生5：过点E作DC∥EF交于BC的延长线于F，同例1的解法。

师：非常好，这位同学借鉴例1的解法，那同学们还有没有不同的解法？

生6：作AF=AE，AH=AD，连接FH，分析：△ADE≌△AHF，△AHF∽△ACB。

师：这两位同学用各自的方法出色地解决了此题，此图像我们用英文字母“X”来表示，因此，我们可将其称之为“X型”图。

二、教学评价

1.动手操作，自主发现

动手操作是课程内容不可缺少的一部分，是向学生传授学科知识的媒介，是教学目标达成的主要途径，是调动学生兴趣的主要动力，以活动为主线或以讲授为主线，这是不同教学流派分歧的主要表现之一。本节课在教学设计的一个突出特点就是把新知放在活动中，学生通过动手度量，找出对应线段成比例，再用类比、探究等方法得出平行线分线段成比例定理。这一活动围绕一个基本图形展开，目的明确，循序渐进，通过平移让学生感受到由特殊到一般数学思想。

2.精选例题，循序渐进

数学活动，特别是数学思维活动能有序进行的关键是例题的设计。要想使探究活动层层递进，井然有序，教师必须设计好既能启发学生思考又能与新知联系紧密的例题。本课例1是苏科版本的例题，是一个大题，解决此题只能用三角形相似的定义，利用平行很容易把三个角证出，但是对于边对应成比例，对一部分同学来说有点难度，特别是证明ADAB=DEBC，能够想到将DE平移到BC上是一大难点，需要利用活动中得出的平行线分线段成比例这一结论，同时需要借助中间比（桥梁）来转化，因此，教师通過例1的学习培养学生数学逻辑思维以及逆向思维，从而丰富了学生的数学思想方法。

3.总结反思，提升能力

解题后及时总结反思，是帮助学生积累知识的有效方法，也是巩固新知的有效途径。执教者非常重视授课后的反思，如活动探究后得出基本事实，对于这一基本事实有部分同学难以消化，可以出几个填空或简单的计算题小试牛刀从而加深对基本事实的理解以及应用。执教者对例1进行变式，让学生结合例1的思想解决此题，同时引导学生尝试用不同的方法解决此题，通过一题多解，培养学生思维的分散性，通过不同解法的“优选”，优化学生的思维结构。在解决例1时，执教教师注重学生的符号语言的完美性以及逻辑思维的严谨性，通过解此题的过程，感受转化、数形结合的思想方法，更加体现了数学的“美”。

[参考文献]

[1]刘东升.“开放”需要“放开”“对话”促进“生成”[J].初中数学教与学（人大），2013（02）.

[2]石树伟.为了改善学生的学而设计[J].中国数学教育（初中版），2013（1/2）.

（作者单位：南京市江宁区铜山中学，江苏南京210000）

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