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标题

直线与圆位置关系的应用

范文

田钰

【摘要】学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现. 而高中人教版教材中这部分内容，是在原有的基础知识上再加深拓展。在高一学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法。解决问题的方法主要是几何法和代数法。

【关键词】高中数学;直线与圆;位置;关系

直线与圆位置关系这章节要求学生掌握直线和圆的位置关系的性质和判定，因为它是本单元的基础，如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的，也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础。在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点。另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同，这一点到直线和曲线相切时很重要，学生较难理解。

一、直线与圆位置关系的判断

直线与圆的位置关系的判断依据比较简单，直线与圆有两个公共点时，那么直线和圆相交;直线和圆有唯一公共点时，那么直线和圆相切;直线和圆没有公共点时，那么直线和圆相离。

例如：设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直线l的方程（m+1）x-my-1=0，对任意实数m，圆C与直线l的位置关系是 ? ? ? 。

分析：求出直线恒过的定点，确定点与圆心的距离与半径的关系，推出结论。

解：由直线l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直线恒过（1，1）点，

圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圆心（1，1），所以圆C与直线l的位置关系是：相交。

故答案为：相交。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了转化思想，将直线与圆的位置，转化为点与圆的位置来解决。

二、圆上的点到直线距离

求圆上的点到直线距离，学生在遇到没见过的题目时，往往不知道从何下手，点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，何时达到最大或最小值，要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论。

例如：圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是 ? ?。

分析：先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。解：圆心（0，0）到直线的距离为：=1，∴圆上的点到直线的最小距离为：5-1=4。

故答案为：4。

考点：直线与圆的位置关系

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系。考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想。

又如：圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（ ? ）

A.2 B.1+ C.2 D.1+2

分析：此题考查解析几何初步中的圆和直线的相关知识、点到直线距离公式、数形结合能力和等价转化能力;圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是：圆心到直线的距离加上半径，此圆的标准方程是（x-1）2+（y-1）2=1，圆心是（1，1），半径是1，所以dmax=+1=+1，所以选B。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径。

三、截距相等问题

截距相等问题，首先考虑截距都为0的情况，截距不为0时要考虑符号必须相同，截距不同于距离，距离是非负的，而截距可以是负的。

例如：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（ ? ）

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

分析：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的2条直线，还有斜率为-1的两条直线。

解：由圆的方程（x-3）2+（y-3）2=8，可得圆心坐标为C（3，3），半径是r=2，由|OC|==3>r，故原点在圆外。当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意。当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）。

则圆心到直线的距离d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条。

综上可得，与圆（x-3）2+（y-3）2=8 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中，过原点的切线有两条，斜率为-1的切线也有两条;共4条。

故选A。

点评：考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题。

四、直线与圆相交

例如：若直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为（-2，3），则直线l的方程为 ? 。

分析：由圆的方程找出圆心C的坐标，连接圆心与弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由圆心与弦AB中点的连线的斜率，求出直线l的斜率，再由直线l过AB的中点，即可得到直线l的方程。

解：由圆（x+1）2+（y-2）2=100，得到圆心C的坐标为（-1，2），由题意得：圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直，

∵弦AB的中点为（-2，3），圆心C的坐标为（-1，2），

∴圆心与弦AB中点的连线的斜率为=-1，

∴直线l的斜率为1，又直线l过（-2，3），

则直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0。

故答案为：x-y+5=0。

点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，正确处理直线与圆的位置关系时解题的关键，考查计算能力。

本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。本节的主题是直线和圆，在解析几何中，直线与圆的关系是一个非常重要的知识点，可以对学生的思维有一个很好的锻炼。

【参考文献】

[1]刘耀忠.例谈求直线方程的常用方法[J].新高考（高一语数外）;2011年Z1期

[2]周栋梁.“显而易见”下的缺失——《直线与圆的位置关系》听课后的感想[J].中学数学2013年02期

（作者单位：江苏省姜堰中学）

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