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立体几何中翻折问题的处理策略

范文

肜彬

立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其对同学们的复习备考能有所帮助。

一.翻折后位置关系的判定

例1 如图1，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，现将△ADE沿AE所在的直线折起，则下列说法正确的是____ 。（写出所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥平面DEC;

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN⊥AE;

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有AB∥MN;

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD。

解析：由已知，在未折叠的原直角梯形中，AB//DE，BE //AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE=AD，折叠后如图2所示。

①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP。因为M，N分别是AD，BE的中点，所以P为AE的中点，故NP∥EC。又MP∩ NP=P，DE∩EC=E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确。

综上，说法正确的是①②④。

点评：解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，特别要注意不变中的直角。

二、翻折后角度的计算

例2 如图3，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F分别在BC，AD上，且E为BC的中点，现将四边形ABEF沿EF所在的直线折起，使二面角AEFD的大小为60°，如图4，求直线AF和平面ACD所成角的正弦值。

解析：由已知可知，折叠后仍有EF⊥AF，EF⊥FD，AF ∩ FD=F，则 EF⊥平面AFD，所以∠AFD为二面角A-EF-D的平面角，即∠AFD=60°。

如图5，过点A作AO⊥FD于点O，因

点评：翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点A的位置，也就确定了点A在底面上的投影，从而翻折后形成的空间图形的结构也就确定了，这样就可方便以后的计算与证明。

三，翻折后距离的计算

例3 如图6，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分则为AB，CD的中点，将△DEA沿DE所在的直线折起，使得点A在平面DCBE上的投影落在直线EF上，如图7，求点C到平面ADE的距离。

点评：处理翻折问题时，一定要将翻折前后的图形相对照进行分析，找准翻折前后中的不变量，弄清哪些要在原平面图形中进行计算，哪些要在翻折后的立体图形中进行计算，这是处理翻折问题的一般性方法。

立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据問题的需要再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。

（责任编辑王福华）

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