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标题 一道高考模拟题的多视角探究
范文

    张志刚

    

    

    [摘? ?要]文章对一道三角最值问题进行多视角讨论,以引导学生深刻剖析题设条件,敏锐捕捉解题灵感,触发思维萌芽,多方位搭建解题思路,从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质.

    [关键词]高考;模拟题;解法探索

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058(2021)17-0034-02

    波利亚说:“掌握数学就意味着善于解题.”罗增儒教授说:“解题是数学工作者数学活动的基本形式和主要内容,解题是数学工作者的一个存在目的,解题是数学工作者的一个兴奋中心.”解题的重要性不言而喻.下面笔者通过对一道三角最值问题的多视角讨论,引导学生深刻剖析题设条件,敏锐捕捉解题灵感,触发思维萌芽,多方位搭建解题思路,从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质,启发学生学会解题、善于解题,积累实战经验.

    一、试题呈现

    2019年河南安阳市一模试题:

    [9sin2α+1cos2α]的最小值是().

    A. 18 B. 16 C. 8 D. 6

    二、解法探索

    本题设计简洁清新,构思别具匠心,难度适中,解题角度宽广,富含数学思想,凝聚命题专家的智慧.解答时可充分挖掘问题与隐含条件的关系,既可转化为一般函数最值的常规解法,又可充分利用三角函数的性质(如有界性),灵活多变,耐人寻味.

    视角1:常数代换

    解法1:“1”的代换.挖掘隐含条件“[sin2α+cos2α=1]”,进行“1”的代换,再用基本不等式求得最值.

    [9sin2α+1cos2α=9sin2α+1cos2αsin2α+cos2α][=9cos2αsin2α+sin2αcos2α+10 ][≥29cos2αsin2α?sin2αcos2α+10=16],当[9cos2αsin2α=sin2αcos2α]即[α=±π3+kπk∈Z]时取等号.故选B.

    解法2:三角函数的定义法.设[f(α)=9sin2α+1cos2α],易求得[f(α)]的定义域是[αα≠kπ2, k∈Z].设[α]的终边与单位圆的交点是[P(x, y)(xy≠0)],则[x2+y2=1].

    [f(α)=9sin2α+1cos2α=9y2+1x2 ][=9y2+1x2x2+y2 ][=9x2y2+y2x2+10≥29x2y2 · y2x2+10=16],当且仅当[9x2y2=y2x2]即[x=±12],[y=±32]时取等号.

    点评:追本溯源,回归三角函数的定义:将关于[sin α与cos α]的最值问题转化为实数[x]、[y]的最值问题,达到简化计算的目的.

    解法3:直接代换.令[a=sin2α],[b=cos2α],则[a+b=1(a>0, b>0)],

    [9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+1b(a+b) ][=9ba+ab+10][ ≥29ba·ab+10=16],当[9ba=ab]即[a=34],[b=14]时取等号.

    点评:上述3种解法均是利用二维形式的基本不等式求解,解题过程中一定要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”是否同时成立,尤其是验证“=”能否成立,如果“=”不能成立,就不能用基本不等式求解,而需改用其他方法,如单调性法.

    解法4:柯西不等式法.

    [9sin2α+1cos2α=3sin α2+1cos α2sin2α+cos2α][≥3sin αsin α+1cos αcos α2=16],

    当[3sin αcos α=1cos αsin α]即[α=±π3+kπk∈Z] 时取等号.

    视角2:变元代换

    令[a=sin2α],[b=cos2α],则[a+b=1(a>0, b>0)],

    [9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa(1-a)].

    解法5:函数单调性法.令[t=9-8a],由[a∈(0,1)]得[t∈(0,1)],[設? f(t)=9sin2α+1cos2α=9-8aa(1-a)=64t-t2+10t-9] [=64-t+9t+10],[f(t)]在(1,3)上递减,在(3,9)上递增,故[f(t)min=f(3)=16].

    解法6:导数法.[设 f(a)=9sin2α+1cos2α=9-8aa(1-a)],[a∈(0,1)], [f′(a)=(-4a+3)(2a-3)a2(1-a)2],[a∈(0,1)],

    当[a∈0,34]时,[ f′(t)<0],[ f(t)]单调递减;

    当[a∈34,1]时,[ f′(t)>0],[ f(t)]单调递增;

    [f(a)min=f34=16].

    点评:解法5、解法6都是通过消元,将二元函数转化为[a]的单元函数,不同之处是:解法5是利用函数单调性求最值,解法6是借助导数判定单调性进而求得最值.

    解法7:消元法.[9sin2α+1cos2α=9sin2α+11-sin2α=9-8sin2α-sin4α+sin2α],令[t=9-8sin2α],[t∈(0, 9)],

    [设? f(t)=9sin2α+1cos2α=9-8aa(1-a)=64 t-t2+10 t-9],下同解法5.

    解法8:消元法.[9sin2α+1cos2α=91-cos 2α2+11+cos 2α2=4(4cos 2α+5)1-cos22α],令[t=4cos 2α+5],由[cos 2α∈(-1,1)]得[t∈(1, 9)],[设 f(t)=9sin2α+1cos2α=4t1-t-542=64t-t2+10t-9],下同解法3.

    点评:解法7、解法8都是直接从三角恒等变换入手,将解析式化为[sin α]或[cos 2α]的函数,没有进行“[a=sin2α],[b=cos2α]”的代换,解法殊途同归,但运算量稍大,对学生计算能力和恒等变化有一定要求.同时在解法5、解法7、解法8中均遇到了“[一次二次]”型分式函数值域(最值)问题,处理方法均是对一次式实施换元.

    视角3:判别式法

    利用这种方法解题的关键是构造关于某个变量的二次方程,通过判别式大于等于零求得参数的最值.

    解法9:判别式反解法.本题中由[sin2α∈(0,1)]得[9sin2α>9,1cos2α>1],从而[9sin2α+1cos2α>10],排除C、D项;

    令[a=sin2α],[b=cos2α],则[a+b=1(a>0, b>0)],

    [9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa(1-a)=m],

    则变形为关于[a]的方程[ma2-(m+8)a+9=0],则该方程有解,当[m=0]时,[a=98?(0,1)],不合题意.

    当[m≠0]时,[Δ=-(m+8)2-4m×9≥0],解得[m≤4]或[m≥16],

    又由上知[9sin2α+1cos2α>10],故[m≥16],即[9sin2α+1cos2α]的最小值是16,选B.

    视角4:间接法

    解法10:间接排除法.上同解法9排除C、D项;令[9sin2α+1cos2α=16](※),即[9sin2α+11-sin2α=16],解得[sin2α=34],即[α=±π3+kπ(k∈Z)]时取等号.故方程(※)有解,故选B.

    点评:解法9、解法10是间接法,首先利用弦函数的有界性排除部分选项,至于A、B选项的甄选可转为方程的根的问题.

    三、教学反思

    上述单调性、基本不等式、导数、判别式法、换元法等均为解决值域(最值)问题的常见解法.尤其是對于双变量最值问题,基本不等式是个强有力的工具.利用的难点在于充分利用定值条件,对式子进行恒等变形(如“1”的代换、拆分、重组、系数配凑等),使之可用基本不等式的形式.

    反之,如果教师囿于狭隘的解题观,就题论题,过分强调“固定题型固定解法”,则容易导致学生思维定式,导致解答失败.

    对于诸多高考真题和模拟题,教师可充分发挥其意境高深悠远、再生能力强、探究空间大的优势,在完成基础的解答后,指导学生立足于问题的本质,多角度地对题目进行“二次开发”,启迪学生运用开放性、创新性的思维方式应对问题情境,综合运用各种方法,提出新视角、新观点、新设想,创新性地解决生活实践或学习探索情境中的各种问题,为数学核心素养的落地提供支撑.

    (责任编辑 黄春香)

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更新时间:2025/3/14 16:05:07